——从“正弦和余弦”的教学案例谈起
临澧县教研室夏顺清
如何构建有效课堂，是一线教师在课堂教学中思考最多的问题，这里所说的构建有效课堂是指通过课堂教学使学生在知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三者的协调发展.下面就以所听的一节“正弦和余弦”课为例，并试图通过案例分析和重新设计，谈谈在数学教学中如何揭示数学本质，构建有效课堂的问题．
一、教学案例片段
师：(课件演示)
如图1，一艘轮船从西向东航行到B处时，灯塔A在船的正北方向轮船从B处继续向正北方向航行2000m到达C处，此时灯塔A在船的北偏西65°的方向；试问：C处和灯塔A的距离AC约等于多少米(精确到10m)？
师：由题意知道△ABC是直角三角形，其中∠B＝90°,∠A＝65°，∠A所对的边(简称对边)BC＝2000m，如何求斜边AC的长度呢？
师：上述问题就是：知道直角三角形的一个为65°的锐角和这个锐角的对边长度，想求斜边长度.大家能否用已学的直角三角形的有关知识来解决这一问题呢？
师略作停顿，接着说：为了解决这个问题，我们来探究在直角三角形中，65°角的对边与斜边的比值有什么规律？
师：(在黑板上演示)
1.师画一个直角三角形，其中一个锐角为65°；
2.师用有刻度的直尺量65°角的对边与斜边的长度，让学生说出度量的结果，并记录下来；
3.学生计算65°角的对边与斜边的比值，师要求学生的计算结果保留两位小数；
4.学生说出计算结果.65°角的对边与斜边的比值都是约等于0.91.
师：你从以上事实发现了什么？
生：在有一个锐角为65°的直角三角形中，65°角的对边与斜边的比值是一个常数，它约等于0.91.
师：你能证明这个结论吗？
……
二、案例分析
在本教学案例片段中，教师试图通过教材上探究版块的内容，引导学生对如何发现锐角的对边与斜边的比值是一个常数展开探究，从而突出概念的形成过程．从教学的视角看，这节课的数学活动调动了学生学习的积极性，学生的参与度比较高．但从数学的视角看，这节课的教学没有抓住数学概念的本质，整个探究活动中，学生看教师画图，度量，只是记下数据进行计算．问题产生的主要原因是教师没有透彻地领悟概念的本质，教学中抓不住“本质”就会让课堂成为无效的课堂．
三、案例重设
基于以上的认识，我认为本节课这部分的教学要设计好两个活动：一是数学建模活动，即把实际实际问题转化为数学问题，为新概念的学习作铺垫；二是建构探究活动，即引导学生在通过自己画图，度量和计算发现在任意直角三角形中，锐角的对边与斜边“比值不变”的规律(即概念的本质)，从而为概念的形成创造的条件．
下面是本人指导下的一次教学尝试．
师：(课件演示)
如图1，一艘轮船从西向东航行到B处时，灯塔A在船的正北方向轮船从B处继续向正北方向航行2000m到达C处，此时灯塔A在船的北偏西65°的方向；试问：C处和灯塔A的距离AC约等于多少米(精确到10m)？
[活动1](数学建模)
师：根据题意和图1把这个实际问题转化为数学问题吗？
1.学生同桌交流，把自己的转化过程说给同桌听，然后形成统一的意见.
2.全班交流.
3.在学生交流后，教师小结：根据题意和图1这个实际问题可以转化为解直角三角形的问题，即已知在△ABC是直角三角形中，∠B＝90°,∠A＝65°，∠A所对的边(简称对边)BC＝2000m，求斜边AC的长度.
为了解决这个问题，下一步我们来探究在直角三角形中，锐角的对边与斜边的比值有什么规律？
[活动2](探究活动)
1.每个学生画两个不同的直角三角形，分别量出其中一个锐角的对边长度和斜边长度(精确到0.1).
2.计算锐角的对边与斜边的比值(精确到0.01):
＝？
3.四个学生一组交流计算结果，组长记录，观察组长的记录，在组内交流每个人都有什么发现.
4.全班交流.每个小组的组长简要说一说组内活动的情况，重点说直角三角形中选定的锐角的度数，锐角的对边长度和斜边长度以及它们的比值及发现.
组1：我们组四个同学画的八个直角三角形，选定的锐角分别是：25°，31°，45°，65°，33°，67°，65°，80°，通过度量和计算，发现它们的对边与斜边的比值都约等于0.91.
……
教师板书：
全班交流后，学生产生了疑问：每个同学人画的直角三角形大小不一样，选定的锐角也不一样，量得的长度也不一样，但比值为什么相等呢？
师：为什么同学们画的直角三角形大小不一样，但锐角的对边与斜边的比值总相等呢？
你能证明这个结论吗？
……
这个教学片段的教学过程自然流畅，教师设计的数学活动目标非常明确：就是引导学生感悟和揭示数学本质．学生在充分认识和理解数学本质的基础上，自主地完成了概念的建构，这样的教学才能使学生真正做到对数学知识的深入理解和准确掌握．
四、深入反思
教学有三个境界，即授人以业、授人以法、授人以道．授人以业是教师教学追求的最高境界，教师的教学不但要使学生达到知识与方法的融会贯通，而且要把数学的思想方法，本质规律以及内部联系等揭示出来，并内化给学生，让学生形成能力，为学生的终身发展打下基础．高效的数学课堂教学必须揭示数学本质，在课堂教学中强调的数学本质，其内涵一般包括：数学知识的内在联系；数学规律的形成过程；数学思想方法的提炼等方面．那么，在数学教学中如何才能做到揭示数学本质呢？本人认为，教师最重要的是要做好以下三点．
1.准确地把握《课标》
义务教育数学课程标准(2011年版)(本文中简称《课标》)对数学课程结果目标使用了“了解、理解、掌握、运用”等术语表述，对过程目标使用了“经历、体验、探索”等术语表述，这就要求教师确定教学目标时，一定要准确把握《课标》要求，不能随意降低和拨高要求，制定教学目标要全面、准确、具体，只有这样，才能做到揭示数学本质，构建有效课堂.
2.透彻地领悟教材
教材为学生的学习活动提供了基本线索，教材是课程的重要资源，是教师教学的依托，是实现教学目标的依据．教师只有用心钻研教材，才能准确地理解教材的编写意图，把握所教授内容中的数学本质，从而达到构建有效课堂目的．
3.有效地预设活动
作为数学教师，要想拉近数学与学生的距离，教师在教学中必须以有效的数学活动为支撑．那么，怎样的数学活动才是有效的呢?本人主为有效的数学活动应该是以揭示数学本质，发展思维能力为目的，能够激发学生进行火热的思考和主动的探究，在教师的引导下，学生能够深刻地感悟和揭示数学本质并自主地完成知识建构的．这就要求教师在设计数学活动时注意以下三点．
(1)数学活动要有数学内容．《课程》以人的发展为本，提倡向学生充分提供从事数学活动的机会，组织他们主动探索和揭示所学内容的数学本质．因此，构建有效课堂应当紧紧围绕教学内容，利用学生已有的经验，给学生以空间和时间，让学生积极有效地探索和解决新的问题，从而获取新的认识．
(2)数学活动要让学生有数学思考的体验．数学活动必须是有数学味的活动，是学生经历数学化过程的活动．因此，数学活动的一个重要方面是要重视让学生从数学层面上来体验、认识所学内容，理解并掌握基本的数学知识和技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验．让学生从数学层面上来理解数学内容的核心就是揭示数学本质，这一点在数学活动中显得尤为重要．
(3)数学活动要有恰当的形式．数学活动需要通过学生的操作实验、思考讨论、合作交流等一定的形式来完成，但教师要清楚：教学内容决定着活动的形式，活动的形式服务于教学内容，教学内容的核心是数学本质，活动的最终目的是揭示数学本质，这一点不可以本末倒置．一些数学活动之所以效果不好，其根本原因是教师没有抓住所教授内容的数学本质，数学活动不能围绕揭示数学本质而展开，因此，数学活动不但要注重形式，更要注重活动的实质．总之，揭示数学本质，构建有效课堂是数学教学永恒的主题，这一主题应该成为每一位数学教师教学中的座右铭!