几类函数方程在群上解的研究

论文摘要

函数方程是许多金融,物理,几何,代数,测度论等问题的数学模型.如几何中的矩形域问题,多边形内角和问题,金融学中的单利问题等都可用函数方程来刻画.对于各种函数方程的讨论最初只限于在实数或复数域上,后来在各个方向均有突破,如在群,环,域上的讨论,在Banach空间或希尔伯特空间上的结果,以及函数方程的Hyers-Ulam稳定性问题,与测度论,博弈论的相关问题等.本文主要研究了三类带有对合的函数方程,在群上的解并给出解的显示表达式,主要内容如下:第一章主要介绍了函数方程的研究背景,包括了函数方程研究的意义,国内外研究现状,对合函数方程的发展和本文主要内容简介以及符号说明.第二章讨论一类带有一个对合的函数方程f（x）+f（y）=max{f（xy）,f（xσy）}在群上的解.利用函数f在群上的性质,如,对称性,交换性等以完成主要定理的证明.在证明过程中,通过分类讨论,推出矛盾,再利用对合函数的性质进行细致的分析以得到结论.第三章主要考虑一类带有两个对合且对合作用于不同自变量上的函数方程f（Tx+σy+α）+g（x+y+α）=2f（x）f（y）在阿贝尔群上的解,通过分析方程本身的特点,找到满足此种方程解的性质.具体来说,通过逐步的代换,利用阿贝尔群的性质及对合映射的特点将原方程转化为已知结论的相关辅助方程,对辅助方程进行讨论,再将结论应用到最初的方程以完成证明.第四章讨论一类带有两个对合且作用于同一自变量的函数方程f（x+σy+α）+g（x+τy+α）=2f（x）f（y）在阿贝尔群上的解.主要通过已有结果推导出多个与所讨论方程有关的函数方程在阿贝尔群上的解,发现这几类方程的解与群特征和加法函数的关系.利用这些结果,我们得到了所要讨论方程的解,并给出了这些解的具体表达形式.

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英文摘要

1 绪论

1.1 研究背景

1.2 本文主要内容介绍

1.3 符号介绍

2 f（x）+f（y）= max{f（xy）,f（xσy）}在群G上解的研究

2.1 预备知识

2.2 主要定理及证明

2.3 本章小结

3 f（τx + σy + α） + g（x + y + α） = 2f （x）f （y）在阿贝尔群G上的解

3.1 预备知识

3.2 主要定理及证明

3.3 本章小结

4 f（x+σy+α）+g（x+τy+α）=2f（x）f（y）在阿贝尔群G上的解

4.1 预备知识

4.2 主要定理及证明

4.3 附录

4.4 本章小结

5 结论及展望

参考文献

附录A:作者攻读硕士学位期间发表论文及科研情况

致谢

文章来源

类型: 硕士论文

作者: 林霞

导师: 周寿明,赵侯宇

关键词: 函数方程,对合,阿贝尔群,加法函数,群特征

来源: 重庆师范大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 重庆师范大学

分类号: O156

DOI: 10.27672/d.cnki.gcsfc.2019.000058

总页数: 71

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