介观模型和新的机械化学模型的分布最优控制

论文摘要

最优控制理论的发展来源于二十世纪五十年代初关于模拟现实生活在经济学、工程学、应用数学上应用的极大需求.偏微分方程的最优控制理论在科学、工程学和生物学上有广泛地应用,例如,温度控制[65]和超导性研究的Ginzburg-Landau模型控制[48]等等.本文研究了简化介观模型和新的机械化学模型的分布最优控制问题以及退化简化介观模型弱解的存在性.在第一章里,我们研究了 n维退化迁移率的简化介观模型的初边值问题利用Galerkin方法,我们得到问题（1）所对应正则化问题弱解的存在性.通过对正则化问题弱解取极限,我们证明了问题（1）弱解的存在性.观察到迁移率D（u）为更一般的假设,当对正则化问题弱解取极限时,我们遇到对含迁移率项取极限的困难.通过构造集合的方法,我们能对含迁移率项取极限在这个集合中.不同于文献[29],我们提高了弱解的正则性以及得到了在某个集合下l和u的关系.在第二章里,我们研究了简化介观模型在状态约束下的分布最优控制问题最小化 L（y,u）=∫0T[g（t,y）)+h（u（t））]dt（2）满足状态约束F1（y）（?）Q,（3）和状态系统yt+k△2y-△f（y）-K△y+f（y）=Bu,于 QT=Ω ×（0,T）,（4）y（x,0）=y0（x）,x ∈Ω,（5）其中k是正数,f（y）=y3-y和Bu是控制项.借助Galerkin方法,我们证明了状态系统（4）-（6）强解的存在唯一性以及依赖于控制变量的连续性.由于我们所考虑的成本泛函（2）是不连续的,又有状态约束条件（3）,使得直接建立必要最优条件带来了困难.我们所遇到的困难还有关于最优控制问题如何取一些适当的空间.借鉴文献[86,101]定义新的成本泛函,我们通过构造新的成本泛函来逼近成本泛函（2）来研究最优化问题（2）-（6）.这里我们用了不同文献[101]方法得到逼近最优化问题的必要最优条件,最后,通过对我们已得到的必要最优条件取极限,我们得到问题（2）-（6）的必要最优条件.不同于文献[101],我们提高了泛函g（t,y）的定义空间.在第三章里,我们考虑了生物模式下新的机械化学模型在状态约束下的最优控制问题 T最小化 L（u,u,w,μ）=∫[g（t,u（t）,u）)+h（w（t））,μ（t）)]dt（7）满足状态约束F1（u,v）（?）Q,（8）和状态系统ut=Au+αu-u3-ε1uv+B1w,于 QT:=Ω ×（0,T）,（9）vt=-λ（△+1）2v-γv+gv2-v3-ε1/2u2+B2μ,（10）u（x,0）=u0（x）,v（x,0）=v0（x）,x∈（11）其中λ>0,B1w和B2μ是控制项.我们将第二章的方法推广到研究高阶方程组的最优控制,由于方程组带有高阶方程,使得我们研究起来比第二章要复杂许多,尤其是我们得到逼近最优控制问题的必要最优条件时.据我们所知,关于高阶方程组在状态约束下最优控制的研究基本上存在着很少结果.于是我们所遇到的主要困难是关于最优控制问题如何构造一些适当的空间以及泛函9和h将一个空间变量推广到两个时,我们验证一些性质是否还成立.与文献[96]不同的是,我们提高了g（t,u,v）的定义空间.在第四章里,我们研究新的机械化学模型的分布最优控制.即,控制问题在于成本泛函最小化,并将控制问题记作（CP）满足控制约束u∈uad={u∈L∞≤ umin≤u≤umax几乎处处于 Q},（14）和状态系统φt=△φ+-αφ-φ3-ε1φψ+u,于 Q:=Ω ×（0,T）,（15）ψt=-λ（△+1）2ψ-γψ+gψ2-ψ3-ε1/2φ,3于Q,（16）φ（x,0）=φ0（x）,ψ（x,0）=ψ0（x）,x ∈Ω,（18）其中λ>0,β,β2,β3为所给定的非负常数且不全为0,ψQ∈ L2（Q）,ψΩ∈ L2（Ω）为给定的目标函数,umin∈L∞（Q）,umax∈ L∞（Q）为给定的函数并有umin ≤ umax,几乎处处于Q.与模型[18]不同的是,我们所考虑的模型是没有能量泛函.我们还遇到得到先验估计的困难,这是由φ3项所引起的.借助Galerkin方法,我们证明了状态系统（15）-（18）弱解的存在性,并证明了状态系统（15）-（18）强解的存在唯一性以及依赖于控制变量的连续性.通过得到线性化系统解的存在唯一性以及解的稳定性估计,我们证明了控制到状态的算子S的可微性.最后我们得到（13）-（18）的一阶必要最优条件.

论文目录

文章来源

类型: 博士论文

作者: 张小莉

导师: 李辉来

关键词: 简化介观模型,新的机械化学模型,分布最优控制,必要最优条件,一阶必要最优性条件,退化

来源: 吉林大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 吉林大学

分类号: O232

总页数: 157

文件大小: 5570K

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