林学梅
（深圳市龙岗区横岗中学广东深圳518115）
在解综合题中，若能深入分析、充分理解，思考出多种不同的解题方法，对激发学生的求知欲望，培养和锻炼学生分析问题和解决问题的能力，具有良好的作用。例1：（深圳市中考题）已知：如图1，⊙O的半径为2，半径OA⊥OB，C是半径OB上异于O、B的任意一点，AC交⊙O于D，过D作⊙O的切线交OB的延一长线于E，设OC＝X，DE＝y．
图1图2图3
⑴证明：CE＝DE⑵求y关于x的函数关系式
⑶点c是否存在这样的位置，使△BCD∽△DCE？若存在，求出此时的tan的值；若不存在，请说明理由．
略解：⑴证明（略）
⑵y＝,（0＜x＜2）
⑶分析一：（如图一）若△BCD∽△DCE则有∠CDE＝∠DBC．又CE＝DE，连结OD，此时有∠DCE＝∠CDE＝∠DBC＝∠ODB，故△OBD≌△ECD（ASA），则DE＝OD，即y＝2．此时x＝2－2，由于∠E=180-2∠DCE，∠A=90°-∠OCA，故∠E=∠A，tan＝tan∠A＝＝－1．
分析二：如图一，∠ADB=45°，又△BCD∽△DCE，故∠E=∠ADB=45°，故DE=DO，即y=2,同分析一可知tan＝－1
分析三：若△BCD∽△DCE，则有CD2＝DE•CB＝y（2－x），延长BO交⊙O于F（如图2），又由相交弦定理AC•CD＝BC•CF，得CD＝•故（）2＝y（2－x），又y=解之得x＝2－2，同上可知tan＝－1。
分析四:过D作OE⊥DG,垂足为G,连结OD(如图3),则由OD•DE=OE•DG,得DG=,又由△OAC∽△DCG,得
即又解之得x＝2－2，同上可知tan＝－1。
例2：（江苏泰州市中考题，有改动）已知二次函数y＝－x2＋2kx－（k+2k-6），k为正整数，它的图像与x轴交于点A、B，且点A在原点左边，点B在原点右边．
⑴求这个二次函数的解析式
⑵直线y＝mx+n过点A且与y轴的正半轴交于C，与抛物线交于第一象限内的点D，过点D作DE⊥x轴于点E，已知S△EDB∶D△ACO＝3：1．
①求直线的解析式
②若点O1是△ABD的外接圆的圆心，求tan∠ADO1
略解：⑴y＝－x2+2x+3
⑵依题意，画出示意图．
因直线y＝mx+n过点A（-1，0），
故m＝n．即直线方程为y＝nx+n．
点C坐标为（0，n），（n＞0）．
并设D（a，b），（a＞0，b＞0）．
①分析一：因有三个未知数a、b、n．
依方程思想应有三个方程：点D在直线上，也在
抛物线上，故有b＝na+n①，
b＝-a2+2a+3②，
又因S△EDB∶S△ACO＝3：1，
即（3-a）b∶×1×n＝3：1，
即3n＝（3-a）b③．解方程①②③得：
a＝2，b＝3，n＝1．故D（2，3），
直线方程为y＝x+1．
分析二：考虑到A、D两点是直线与抛物线的交点，故想到直线与抛物线的交点问题．
∴y=nx+n①
y=-x2+2x+3②，把①代入②，
整理得x2+（n-2）x+（m-3）＝0，
此方程两根为-1，a．故（-1）×a＝n-3，
∴n＝3-a，即EB＝3-a＝n．
又S△EDB∶S△ACO＝（3-a）b∶×1×n
＝1/2nb∶×1×n＝3：1，∴b＝3，把b＝3代入抛物线方程可得a＝2，∴D（2，3），直线方程为y＝x+1．
②分析一：△ADE是等腰直角三角形，故过E作EG⊥AD于G，则O1是EG与对称轴x＝1的交点，易得EG的直线方程为y＝-x+2，∴O1（1，1），∴DG＝EG＝1/2AD＝，O1G＝EG-EO1＝.∴tan∠ADO1＝O1G∶DG＝1：3．
分析二：连O1A、O1D，则∠AO1D＝2∠DBE.过O1作AD⊥O1G，可得∠AO1D＝2∠GO1D，即∠DBE＝∠GO1D．故∠ADO1＝∠EDB．∴tan∠ADO1＝tan∠EDB＝BE∶DE＝1：3．
分析三：设抛物线与y轴交于点F，则F（0，3）．又D（2，3），故D、F两点关于对称轴x＝1对称，由对称性可知：点F在⊙O1上，设⊙O1与y轴的另一交点为G,由相交弦定理OA•OB＝OF•OG，得OG＝1，故G（0，1），由此知∠DAG＝∠DAO＋∠OAG＝45°+45°=90°．故DG必过O1，此时有∠ADO1＝∠AFG，故tan∠ADO1＝tan∠AFG＝OA∶OF＝1：3．
收稿日期：2009-12-24