不可压缩Boussinesq方程组及其相关模型的渐近极限问题研究

论文摘要

Boussinesq方程组是常用来描述大气和海洋环流的动力学模型,在数学上它是流体速度场与温度（或密度）耦合而成的方程组.本文主要研究了温度带有非齐次狄利克雷（Dirichlet）边界条件的不可压缩Boussinesq方程组的边界层问题、速度场和温度都带有坏初值条件的Boussinesq方程组的初始层问题、速度场带有无滑移边界、坏初值条件并且温度带有非齐次狄利克雷边界条件的Boussinesq方程组的混合层问题以及速度场、温度和溶质浓度都带有坏初值条件的Boussinesq方程组的初始层问题这四种情况的渐近极限问题.所涉及的主要数学理论与研究方法有奇异摄动理论中的渐近展开匹配方法、截断函数方法、经典的能量方法等以及一些重要的不等式,如Poincare不等式,Cauchy-Schwarz不等式,Holder不等式,Young不等式,Sobolev嵌入定理等第一章,主要介绍不可压缩Boussinesq方程组的物理背景、模型简介、研究进展、预备知识和本文研究内容第二章,研究了矩形区域为H=（0,L1）×（0,L2）×[0,1],速度场带有无滑移边界条件、温度带有非齐次狄利克雷边界条件的不可压缩Boussinesq方程组的边界层问题.由于垂直方向有两个边界,故存在两个边界层.利用奇异摄动理论中的渐近匹配方法和多尺度分析得到了 0阶内函数方程组以及0阶边界层函数方程组,进而利用所得的内函数和边界层函数构造出近似解.最后利用经典的能量方法得到了当热扩散系数趋近于0时,近似解的收敛性估计第三章,研究了三维柱形区域Q=T×[0,1],环T=（R/2π）2,速度场和温度都带有坏初值条件的无量纲化Boussinesq方程组的初始层问题.对带有Rayleigh-Benard对流的Boussinesq方程组进行无量纲化,并结合Boussinesq 近似,考虑Prandtl数趋近于无穷,Boussinesq方程组的无量纲形式与其极限方程组的初始条件并不能匹配,产生了初始层.利用渐近匹配方法构造带有0阶和1阶内函数以及0阶和1阶初始层函数的近似解.进而求解近似解函数性质,结合近似解的方程推导误差方程,借助Gronwall不等式得到了误差函数的收敛性估计第四章,研究了速度场带有无滑移边界条件、坏初值条件以及温度带有非齐次狄利克雷边界条件的Boussinesq方程组的混合层问题.研究与第三章相同的简化模型,考虑Prandtl数趋近于无穷,简化方程组与其极限方程组速度的初始值的不匹配以及温度的边界值的不匹配,产生了初始层以及边界层.首先,构造速度带有初始层和温度带有上边界层、下边界层的0阶近似解,利用奇异摄动理论中的渐近匹配方法求解近似解函数的性质.其次,利用近似解方程组推导误差方程,并对误差函数进行能量估计,得到了无量纲化方程组与其极限方程组的收敛性.第五章,研究了速度场、温度和溶质浓度都带有坏初值条件的Boussinesq方程组的初始层问题.对带有thermosolutal对流的Boussinesq方程组进行无量纲分析和Oberbeck-Boussinesq近似,利用渐近匹配方法,结合经典能量法得到了当Prandtl数趋近于无穷,无量纲化方程组的解的渐近极限收敛性.

论文目录

文章来源

类型: 博士论文

作者: 范晓婷

导师: 徐文青

关键词: 不可压缩方程组,对流,非齐次狄利克雷边界,混合层,边界层

来源: 北京工业大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 北京工业大学

分类号: O175

DOI: 10.26935/d.cnki.gbjgu.2019.000896

总页数: 133

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