整数矩阵的除数函数的均值估计

论文摘要

利用解析数论的经典方法,本文研究了整数矩阵除数函数在无平方因子数集上的均值,并得到了渐近公式,推广了相关结果.令Mk（Z）表示整数环Z上的k阶矩阵环.我们用τ（k）（C）表示矩阵C=A1A2的不同表法个数.其中C,A1,A2 ∈ Mk（Z）.很多学者对矩阵的表法个数这一问题进行了研究.G.Bhowmik和H.Menzer[2]研究了函数t（2）（n）=∑τ（2）（C）O（?）M2（Z）,|C|=n的均值分布并证明了T2（x）:=∑t（2）（n）=xP2（log x）+△2（x）,n≤x其中△2（x）<<x31/43+ε,P（u）是关于u的二次多项式.目前对△2（x）最好的估计由G.Bhowmik 和 J.Wu[4]给出△2（x）<<x5/8 log4x.A.Ivic[11]研究了余项△2（x）的积分均值∫1x△22（x）dx=O（x2（log x）31/3）,∫1x△22（x）dx=Ω（x2（log2x））.当k≥3时,研究函数t（k）（n）的分布有些困难.于是N.Fugelo和I.Velichko[10]通过构造t（3）（n）的生成级数并得到了渐近公式I.N.Velichko[30]研究了函数t（4）（n）的性质,通过利用Perron公式,得到函数T4（x）和Tk*（x）的估计和其中∑’表示对所有无平方因子数求和,P2（u）是关于u的二次多项式.I.M.Velichko[29]建立了 M2（Z）中矩阵C=A1A2A3表法个数的均值的渐近公式并得到渐近公式中余项的估计其中 △2,3（X）=∑t3（2）（n）-xP5（log x）.在本文中,我们主要研究∑t3（2）（n）在无平方因子数集上的分布.具体来说,n<x得到如下结果:定理1当x→∞时,有渐近公式成立.其中∑’表示对所有的无平方因子数求和.定理 2 令△2,3*（x）=∑n≤x’t3（2）（n）-xP2（log x）,其中P2（log x）是定理 1 中的多项式.那么,当x→∞时,有∫ 1x（△2,3*（x））2cx<<x2（loga x）19/3成立.

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文章来源

类型: 硕士论文

作者: 杨晓伟

导师: 劳会学

关键词: 渐近公式,无平方因子数,整数矩阵除数函数

来源: 山东师范大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 山东师范大学

分类号: O156.4

DOI: 10.27280/d.cnki.gsdsu.2019.000032

总页数: 33

文件大小: 1113K

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