几类分数阶偏微分方程的谱方法研究

论文摘要

分数阶模型能够较精确地刻画具有记忆与遗传特性的物理现象,目前已广泛应用于量子力学、系统控制、经济学以及生物医学等领域.由于分数阶算子具有非局部性质,使得解析求解分数阶模型变得非常困难,因此构造稳定、高效的数值方法显得尤为重要.谱方法是全局方法且能达到高精度,比较适合用来求解带有非局部算子的分数阶微分方程.本文研究求解几类分数阶偏微分方程的谱方法,包括分布阶时间分数阶慢扩散方程、非线性空间分数阶Schr（?）dinger方程以及非线性空间分数阶Ginzburg-Landau方程.本文的工作主要包括如下四个方面:（1）构造求解二维分布阶时间分数阶慢扩散方程的Galerkin-Legendre谱方法.我们首先用复合Simpson公式离散分布阶积分将原问题转化为多项时间分数阶慢扩散方程,然后利用L2-1σ公式去逼近多项Caputo分数阶导数.结合L2-1σ公式中系数的性质和能量方法,我们证明了该格式是无条件稳定且收敛的.（2）讨论求解分数阶Schr（?）dinger方程的多辛Fourier拟谱方法的收敛性.我们通过将Fourier拟谱方法改写成矩阵形式,然后利用离散的能量方法和截断技术,给出了多辛Fourier拟谱方法在离散L2范数意义下的误差分析.对辛Fourier拟谱方法的收敛性也获得了类似结果.（3）研究求解非线性耦合分数阶Schr（?）dinger方程的Legendre谱方法.我们构造了能够同时保持质量和能量守恒的线性化Legendre谱格式,证明了该格式在L2范数意义下是无条件收敛的.数值实验结果表明该格式能长时间保持质量和能量守恒,且在时间方向具有二阶精度,同时在空间方向具有谱精度.（4）考虑求解分数阶Ginzburg-Landau方程的Legendre谱方法.我们首先构造了求解一维分数阶Ginzburg-Landau方程的线性化Legendre谱格式,并分析全离散格式的唯一可解性、数值解的有界性及L∞范数意义下的收敛性.然后我们进一步构造了分裂步ADI谱格式来求解二维问题.最后通过数值实验来说明这些格式的有效性.总之,本文不仅进一步发展了求解分数阶Schr（?）dinger方程的保结构Fourier拟谱方法,而且构造了几种高效的Galerkin-Legendre谱格式来求解几类分数阶偏微分方程,还对离散格式进行了严格的理论分析.这些数值格式具有计算精度高且计算量少的特点,为数值求解分数阶偏微分方程提供了有效途径.

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文章来源

类型: 博士论文

作者: 费明发

导师: 黄乘明

关键词: 分布阶时间慢扩散方程,分数阶方程,谱方法,适定性,守恒性,稳定性,收敛性,谱精度

来源: 华中科技大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学,数学

单位: 华中科技大学

基金: 国家自然科学基金(N0.11771163)

分类号: O241.82

DOI: 10.27157/d.cnki.ghzku.2019.005035

总页数: 115

文件大小: 1840k

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标签：分布阶时间慢扩散方程论文;  分数阶方程论文;  谱方法论文;  适定性论文;  守恒性论文;  稳定性论文;  收敛性论文;  谱精度论文;