积分观测数据下抛物型反源问题的研究

论文摘要

由于众多工程领域的实际需求,近三十年来,反问题已成为应用数学中发展和成长最快的领域之一。反问题是多种多样的,且在经典意义下往往都是不适定的,反问题的不适定性成为了研究的重点及难点。其中,热传导方程的反演问题便是反问题的一支重要分支,已有众多的数学家对其进行了研究。本文从变系数抛物型方程的源项重构问题出发,用不同的方法进行研究,再到退化型抛物型方程的研究。论文中运用新的方法对不同的模型分别进行了研究,得到了不同模型解的存在性,唯一性,稳定性所必须满足的条件及一些重要结论,取得了一定的阶段性成果。本文可以分为五个章节:第一章为绪论部分,对本文的模型及反问题相关研究做了简单介绍。第二章研究一类变系数抛物型方程的源项重构问题,这里的源项仅与时间相关。与以往工作不同,文中的附加条件是关于空间变量积分后得到的,这种类型的附加条件有利于消除随机选择所带来的误差,但同时会导致很多分析方法不可用,如抛物方程共轭理论等。基于变分理论,首先给出了变分公式,并利用变分公式证明了解的唯一性;其次给出了时间离散模型,基于线性离散化的变分形式,导出了一系列先验估计,并证明了弱解的存在性。第三章是在第二章模型的基础上,基于最优理论把原问题转化为最优控制问题进行研究。首先应用变分理论给出了正问题解的正则性证明;其次,将变系数抛物型方程的源项重构问题转化为最优控制问题,并证明了最优控制问题解的存在性,唯一性及稳定性。第四章是在第二章模型的基础上,研究一类积分形式观测数据下,退化抛物型方程的源项反演问题,此类问题广泛出现在具复合材料的热传导现象中。文中,首先对退化模型初边值条件的合理性给出了证明,引入相应的测试函数空间,通过寻求适当的试探函数得到变分公式,并基于变分理论证明了问题解的唯一性;其次,应用向后Euler法给出相应的时间离散模型,并导出一系列先验估计,最终得出解的一些收敛性质及解的存在性证明。第五章是总结与展望部分,对本文工作进行简单小结和进一步展望。本文是对一维抛物型反源问题进行了理论分析,希望对于高维的情形有好的引导作用,并且有待寻求更好的方法使得此类问题的解有更好的稳定性及收敛性质。

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文章来源

类型: 硕士论文

作者: 甄苇苇

导师: 邓醉茶

关键词: 源项重构,变分理论,最优控制,时间离散模型,稳定性,收敛性

来源: 兰州交通大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学,数学

单位: 兰州交通大学

分类号: O241.82

DOI: 10.27205/d.cnki.gltec.2019.000873

总页数: 56

文件大小: 1442K

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