趋化性交错扩散方程的动力学研究

论文摘要

随着反应扩散方程在生态学问题中的广泛应用,学者们渐渐地发现了更多无法用随机扩散来解释的现象.例如,物种会有目的地向着资源丰富的方向移动,更有甚者,物种还会随着风向、水流等外部环境的推动而移动.基于此种考虑,学者们在反应扩散方程中引入了对流项.本文以Lotka-Volterra模型为基础,综合运用Leray-Schauder度理论、极值原理、Gagliardo-Nirenberg不等式、Lyapunov-Schmidt约化方法以及局部分岔理论等方法对几类不同反应扩散对流系统进行了详细研究.主要研究内容分为以下几个部分:首先,我们考虑了齐次Neumann边界条件下具扩散与对流影响的Leslie-Gower捕食食饵模型,对其稳态系统进行了讨论.通过运用Leray-Schauder度理论,我们得到了非常数正稳态解的存在条件.当捕食者的扩散系数与对流影响系数均趋于无穷时,原系统可化为一个在非局部条件限制下的半线性椭圆方程.在一维情形下,我们对系统非常数解的全局分岔结构进行了分类讨论.其次,我们考虑了齐次Neumann边界条件下具趋化影响的竞争系统,（?）其中系统中的参数均为正常数,信号物质的产量函数h具有一定的限制条件.我们主要从两个方面对上述系统进行了分析讨论,分别是全局经典解的存在性与有界性,以及两种不同竞争情形下全局有界经典解的长时间行为.关于解的长时间行为,我们则分别得到了在弱竞争情形下,唯一的正空间齐次稳态解具有全局吸引性的条件,以及在部分强竞争情形下,半平凡常数稳态解具有全局吸引性以及全局稳定性的条件.最后,我们考虑了齐次Neumann边界条件下具食饵趋化的更广泛的捕食食饵模型,这里广泛的意义在于捕食者能够在食饵密度为0的情形下生存.我们证明了在任意的空间维数下,当食饵趋化影响被限制在较小的范围内时,系统经典解的全局存在性及有界性.此外,通过常规的线性化分析,我们得到了常数稳态解（包括平凡稳态解、半平凡稳态解以及正常数稳态解）局部稳定性的相关结果.而对共存稳态解的分析结果说明了食饵趋化项的存在不仅会对其全局渐近稳定性产生负面影响,而且还会影响其附近稳态解/Hopf分岔的存在性及其他性质.通过运用Lyapunov-Schmidt约化方法,我们对系统的稳态解分岔、Hopf分岔以及Hopf/稳态解分岔都进行了详细的分析.特别地,我们还得到了稳定与不稳定的稳态解、时间周期解、拟周期解以及类弧面解.最后我们通过几个例子对所得到的理论结果进行了说明.

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摘要

Abstract

第1章绪论

1.1 研究背景及意义

1.2 研究现状

1.3 本文的主要工作和相关记号

第2章具扩散与对流影响的Leslie-Gower模型的稳态分析

2.1 引言

2.2 解的先验估计

2.3 非常数解的不存在性

2.4 非常数解的存在性

2.5 μ → ∞ 时的极限行为

第3章双物种趋化模型解的全局存在性以及稳定性分析

3.1 引言

3.2 全局存在性

3.3 全局吸引性

1< 1 且a₂< 1 情形'> 3.3.1 a₁< 1 且a₂< 1 情形

2< 1 < a₁情形'> 3.3.2 a₂< 1 < a₁情形

1, a2> 1 情形'> 3.3.3 a₁, a2> 1 情形

3.4 总结与讨论

第4章具有食饵趋化的捕食食饵模型解的稳定性与分岔分析

4.1 引言

4.2 全局存在性及有界性

4.3 常数稳态解

4.4 稳态解分岔

4.5 Hopf分岔

4.6 Hopf分岔与稳态解分岔交互模式

4.7 例子

4.8 结语

结论

参考文献

致谢

附录（攻读学位期间所发表的学术论文目录）

文章来源

类型: 博士论文

作者: 邱焕焕

导师: 郭上江

关键词: 对流,模型,多物种趋化系统,全局存在,食饵趋化,约化,分岔,全局稳定

来源: 湖南大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 湖南大学

分类号: O175

DOI: 10.27135/d.cnki.ghudu.2019.000777

总页数: 105

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