王玲丽[1]2008年在《用非交换图式“两个阶”刻画某些有限单群》文中认为众所周知,群和图之间有着密切的关联.在许多情况下群的性质可以得到一些图的性质,反之亦然.例如,Gruenberg和Kegel(参见文[39])引入了有限群G的素图GK(G)的定义,并根据素图分支得到有限群的一个分类.很多学者利用此分类得到某些单群的纯数量刻画,即用“群的阶和元素的阶”或用“元素的阶”来刻画单群,可参见文[3,5,12,14,20,25,26,27,28,29,31,32,33,34,38,40]有限群G的非交换图(?)(G)亦引起了很多作者的关注.文[22]中给出其定义如下:(?)(G)的顶点集合是G＼Z(G),当两个顶点x与y的换位子不等于单位元时x与y相连.1987年,J.G.Thompson教授提出如下猜想.Thompson猜想设G是有限群,Z(G)=1,M是有限非交换单群,满足N(G)=N(M),则G≌M,其中N(G)表示G中共轭类长的集合.陈贵云教授证明了Thompson猜想对素图非连通的所有非交换单群成立,可参见文[8,9,10,11].对于素图连通的非交换单群,Thompson猜想是否成立,至今没有任何结论.非交换图的概念引入之后,许多学者试图用非交换图来刻画单群.2005年,A.R.Moghaddamfar,W.J.Shi,W.Zhou和A.R.Zokayi在文[22]中证明了对某些群,如A_n,S_n,散在单群,素图非连通的李型单群,若存在另外一个群与其非交换图同构,则这两个群的阶相等.2006年,A.Abdollahi,S.Akbari和H.R.Maimani在文[1]中证明了对某些群,如PSL(2,2~n),Sz(2~(2m+1)),若存在另外一个群与其非交换图同构,则这两个群同构.文中还提出下述猜想:AAM猜想设M是有限非交换单群,G是有限群,满足(?)(G)≌(?)(M),则G≌M.作者在第二章中对AAM猜想进行了讨论,考虑有限单群L_2(q),L_3(q)及一般的素图非连通的有限单群,并讨论了素图连通的度数为10的交错群A_(10),得到如下一些结论:定理2.2.4令G是一个有限群,(?)(G)≌(?)(M),其中M=L_2(q),则G≌M.定理2.3.5令G是一个有限群,(?)(G)≌(?)(M),其中M=L_3(q),则G≌M.定理2.4.3设M是素图非连通的有限非交换单群,G是一个有限群,满足(?)(G)≌(?)(M),则G≌M.定理2.5.7设G是有限群,(?)(G)≌(?)(A_(10)),则G≌A_(10).群的阶和元素的阶是有限群论的基本数量,在有限群尤其是有限非交换单群的结构中起着重要的作用.设G是有限群,π(G)表示|G|的素因子,π_e(G)表示G中元素阶的集合,N(G)表示G中共轭类长的集合.文[39]中给出群G的素图GK(G)的定义,其顶点集合V(GK(G))=π(G),边集合E(GK(G))={p-q|pg∈π_e(G),p,g∈V(GK(G))}.1987年,施武杰教授提出如下猜想:猜想设G是有限群,M是有限非交换单群,则G≌M当且仅当(1)π_e(G)=π_e(M),(2)|G|=|M|.作者在第叁章对上述猜想进行讨论,得到下面的定理3.2.8:定理3.2.8设G是有限群,M=D_n(2),n为偶数,则G≌M当且仅当(1)π_e(G)=π_e(M),(2)|G|=|M|.定理3.2.8对文[40]不能证明的情形给出了补充.在文[19]中,作者引入特征为p的李型单群的素数幂图.我们定义这种图Γ(G):其顶点集合是{r~a|r≠p为素数,a>0是整数,G中存在r~a阶元}.它是由G中的素数幂阶半单元的阶组成.对于图中两个不同的顶点r~a和s~b,若G中存在lcm(r~a,s~b)阶元,则定义r~a和s~b之间有一条边.作者在第四章讨论了关于特征为p的李型单群的素数幂图的连通性,及素数幂图的每个分支为完全图的有限李型单群的分类,得到如下结论:定理4.2.5李型单群的素数幂图的连通分支数至多是5.定理4.3.6设G是一个有限李型单群,其素数幂图的每个连通分支均为完全图,则G为下列群之一:(1)A_1(q),其中q>3;(2)A_2(4);(3)A_2(q),其中(3,q-1)=1;(4)A_3(2);(5)~2A_2(q),其中(3,q+1)=1;(6)C_2(q),其中q＞2;(7)~2B_2(q),其中q=2~(2k+1);(8)G=G_2(q),其中q=3~k.
张庆亮[2]2011年在《某些有限单群的刻画》文中认为众所周知,有限单群是构成有限群的基石,因此利用较为直观和浅显的性质来刻画有限单群,对于我们深入了解它们的性质和结构是大有裨益的.在本文中,我们主要考虑以下数量刻画问题：利用素图拟刻画有限单群；用群阶和元素的最高阶刻画有限单群；用同阶元长度的集合刻画有限单群.本文的研究与施武杰在1987年提出的关于有限单群纯数量刻画的猜想(见[41])以及Thompson问题(见[32])密切相关.本文共分四章,主要有以下内容：第一章介绍本文常用的符号和基本概念.第二章利用素图研究有限单群和非单群,证明了以下结果：定理AG2(q)(q=32n+1)是素图拟可刻画的.定理B2B2(q)(q=2n+1>2)是素图拟可刻画的.定理CE7(q)(q=2,3)是素图拟可刻画的.定理D对称群Sp(p是素数)可由其群阶和素图决定.第叁章用群阶和元素的最高阶刻画有限单群,证明了以下结果：定理E设G是有限群,H是单K3-群,k(G)表示G的元素的最高阶,我们有下列情形成立：(1)如果H(?)L2(7)U4(2),那么|G|=|H|,k(G)=k(H)当且仅当G≌H.(2)如果H≌L2(7),那么|G|=|L2(7)|,k(G)=k(L2(7))当且仅当G≌L2(7)或者G是一个2-Frobenius群,此时,G(?)Z3[Z7[P]],P(?)G,G/P(?)Z3[Z7],P是阶为23的初等交换群,πe(G)={1,2,3,6,7},这里πe(G)表示G的元素的阶的集合.(3)如果H≌U4(2),那么|G|=|U4(2)|,k(G)=k(U4(2)),k1(G)=k1(U4(2))当且仅当G≌U4(2),这里k1(G)表示G的元素的次高阶.定理F|G|=|L2(p)|,k(G)=k(L2(p))当且仅当G(?)L2(p),p=8n±3>3是素数,n是自然数.第四章考虑用同阶元长度的集合来刻画有限单群,证明了以下结果：定理GL2(2n)(n=4,5,7)可由其同阶元长度的集合决定.
许明春[3]2003年在《有限单群的纯数量刻画》文中提出设G是有限群，π_e(G)表示G中元素的阶的集合，h(π_e(G))表示满足条件π_e(G)=π_e(H)的有限群H的同构类类数，称h(π_e(G))=h(G)为G的h函数。 群G称为可用元素阶的集合刻画的群(可分辨群，不可分辨群)，如果h(G)=1(1≤h(G)＜∞，h(G)=∞)。 在1989年，施武杰教授提出了如下猜想： 猜想设G，H为有限群，H为单群，则G(?)H当且仅当(1) π_e(G)=π_e(H)，(2)|G|=|H|。 作者在第二，叁节对上述猜想进行讨论，得到下面的定理A，定理B： 定理A 设G为有限群，M(q)为Lie型单群~2D_n(q)，n≥4或D_l(g)，其中l为奇数，l≥5．则G(?)M(q)当且仅当(1)π_e(G)=π_e(M(q))，(2)|G|=|M(q)|。 定理B 设G为有限群，S_4(q)为辛型单群．则G(?)S_4(q)当且仅当(1)π_e(G)=π_e(S_4(q))，(2)|G|=|S_4(q)|。 上述猜想是用两个条件对有限单群进行刻画，而不少单群可仅用元素的阶的集合这一个条件刻画，作者在第四节做了这方面的工作，得到如下定理： 定理C 设G为有限群，L=L_3(3~((2m-1)))，m≥2或者G_2(3~n)，则G(?)L当且仅当π_e(G)=π_e(L)。 群G的元素的阶之集合相同，即G的循环子群的阶之集合相同。在2002年，日本数学家S．Abe，N．Iiyori用可解子群的阶的集合代替循环子群的阶的集合，提出如下问题：四川大学博士学位论文 (Abe一Iixori)问题:设G表示有限群， 口:武Ssol(G)):=G的可解子群的阶之集合.假定S为非abel有限单群，且 ard(55。:(G))=二d(55。，(S))那么G是否同构于S? 对上述问题的讨论，就散在单群作者在第五节证明了如下定理:定理D设G是有限群，S是散在单群.假定二d(SS。‘(G))==，d(SS。，(S))，那么G二S.关键词有限群，可解群，元素的阶，单群，同构，素图
邵长国[4]2008年在《用同阶元个数研究有限群》文中提出设G是一个有限群.π_e(G)表示群G的元素阶的集合;M(G)表示群G的最高阶元的集合;m_i(G):=|{g∈G|o(g)=i}|表示G中i阶元的长度(个数),简记为m_i;nse(G):={m_i|i∈π_e(G)}表示群G的同阶元素长度的集合.设M_d(G):={g∈G|g~d=1}.称有限群G_1,G_2是同阶型群当且仅当|M_d(G_1)|=|M_d(G_2)|,d=1,2,….考虑群的数量关系对有限群结构的影响是有限群论中一个重要的课题.许多群论工作者在这方面做了大量工的作.如着名的Sylow定理,Lagrange定理,奇阶群可解定理,Burnside定理等.在1987年,施武杰教授提出了单群的纯数量刻画:仅用有限群元素阶的集合π_e(G)和有限群的阶|G|来刻画有限单群(参见[41],[42],[43],[44],[45],[46],[47],[48],[49],[50],[51],[52],[53],[54],[55],[56]).一些群论工作者用可解子群的阶来刻画单群(参见[1],[36],[59]等).1987年,J.G.Thompson教授在给施武杰教授的一封信中提出了下面的一个问题:Thompson问题设G_1和G_2是有限同阶型群.若G_1可解,G_2是否可解?一些群论工作者从群的最高阶元的个数出发来研究有限群,侧面对Thompson问题进行了研究,得到了一些令人鼓舞的结果(参见[8],[11],[18],[24],[25],[26],[27],[28],[30],[37],[61]).但是,该问题自1990年公开(参见[47])以来,没有人完整地证明该问题,也没有人给出反例.可见Thompson问题的解决是有相当困难的.容易看出如果G_1和G_2是有限同阶型群,必然有nse(G_1)=nse(G_2),|M(G_1)|=|M(G_2)|且|G_1|=|G_2|.目前,我们尚未发现有人用数量集合nse(G)来刻画有限群G.本文分别利用了有限群G的同阶元素长度的集合nse(G)或最高阶元的个数|M(G)|来刻画有限群,取得了一系列结果.本文共分叁章,主要内容如下:第一章:介绍常用符号和术语.第二章:用nse(G)来刻画有限单群.为叙述方便,分为如下的叁部分.第一部分我们用nse(G)和|G|来刻画某些单群,即得到下面的定理:设G是有限群,M是单群,其中M单K_3-群,单K_4-群,散在单群或L_2(q),其中q是素数或q=2~m且2~m+1或2~m-1是素数,则G≌M当且仅当nse(G)=nse(M)且|G|=|M|.第二部分我们讨论了nse(G)中的元素是连续整数的有限群,给出了完全分类,即下得到了面的定理:设G是有限群,若nse(G)中的元素是连续整数,即nse(G)={1,2,…,n},则n≤3且下面结论之一成立:Ⅰ.当n=1时,G≤C_2.Ⅱ.当n=2时,G≌C_3,C_4或C_6.Ⅲ.当n=3时,G≌S_3.第叁部分我们研究了nse(G)={1,15,20,24}的有限群,得到了下面定理:设G是有限群,则G≌A_5当且仅当nse(G)={1,15,20,24}.第叁章分类|M(G)|=24的有限群.我们得到下面的定理:设G是有限群,k为G的元素的最高阶.如果|M(G)|=24,则G为下列情形之一:1.如果k=4,则下面结论成立:1.1.G=N(?)C_3是一Frobenius群,其核为N,补为C_3,而N≌G_4,G_5或G_6.1.2.G=C_2~4(?)S_3,P_2=D_8×C_2×C_2.2.如果k=5,则下面结论成立:2.1.G≌C_5×C_5.2.2.G是一Frobenius群,其核为P_5(?)G,补为H,其中P_5=C_5×C_5,|H||24.2.3.G≌A_5.3.如果k=6,8,9,12,16,18或24,则|G||2~α.3~β,其中α≤7,β≤4.4.如果k=10,则下面结论成立:4.1.P_5=C_5×C_5(?)G,C_G(P_5)=P_5×C_2,|G/C_G(P_5)||2~2.4.2.A_5×C_2或SL_2(5).4.3.A_5×C_2(?)G,|G|=240.4.4.G/Z(G)≌S_5,|Z(G)|=2.5.如果k=20,则G/C_G(x)≤C_4,C_G(x)=G_5×H,H≌Q_8或S_4.6.如果k=28,则|G||2~4·3·7,P_7(?)G,C_G(P_7)=C_(28)×C_2.7.如果k=30,则|G||2~4·3·5,P_5(?)G且C_G(P_5)=C_(30)×C_2.8.如果k=36,则<x>(?)G,G/C_G(<x>)(?)Aut(C_(36))且C_G(<x>)≌C_(36)×C_2或C_4.9.如果k满足φ(k)=24,则C_G(<x>)=<x>(?)G且G/C_G(<x>)(?)Aut(C_k),其中o(x)=k.
蒋琴会, 陈兆英, 李可峰[5]2018年在《单群PSL_2(7)的特征性质及其初等证明》文中研究指明群的阶、谱及素图是有限群研究的基本工具.利用有限群的数量性质(如群的阶,元素的阶,素图等)来研究群的结构和性质是有限群研究的热点问题.施武杰教授率先提出用纯数量来刻画有限单群,即利用"两阶"来刻画有限单群,并提出了着名的施武杰猜想.目前,该猜想已经完全被解决.然而,回顾以往的工作,作者大多运用了单群的分类定理.尝试不用单群分类定理,仅利用谱来刻画有限单群PSL_2(7),用初等方法证明了G≌PSL_2(7)当且仅当π_e(G)={1,2,3,4,7}.
施武杰, 施武杰, 曹洪平, 曹洪平[6]2002年在《射影特殊酉群的纯数量刻画》文中指出证明了对每一个射影特殊酉群可用它的元的阶之集和群的阶加以刻画.
王华丽[7]2015年在《利用元素阶之和及最高阶刻画群》文中研究指明众所周知,有限单群是构成有限群的基石,因此利用较为直观和浅显的性质来刻画有限单群,对于我们深入了解它们的性质和结构是大有裨益的.在本文中,我们主要考虑用元素的最高阶及元素阶之和刻画有限单群.记m(G)为群G中元素的最高阶,ψ(G)为群G中所有元素阶之和,得到的主要结论如下：定理3.4阶最小的非交换单群A5可以由m(G)和ψ(G)刻画,即：G(?)A5当且仅当ψ(G)=ψ(A5)=211,m(G)=m(A5)=5.定理4.8阶次小的非交换单群PSL(2,7)可以由m(G)和ψ(G)刻画,即：G(?)PSL(2,7)当且仅当ψ(G)=ψ(PSL(2,7))=715,m(G)=m(PSL(2,7))= 7.
曹洪平[8]2002年在《有限单群的数量刻画》文中指出设G是有限群，π_e(G)表示G中元素的阶的集合，h(π_e(G))表示满足π_e(H)=π_e(G)条件的有限群H的同构类类数，|G|表示G的阶。本文证明了下面叁个定理： 定理A 设G是群，H=U_m(q)，q=p~n，p为素数。则G≌H当且仅当(1)π_e(G)=π_e(H)，(2)|G|=|H|。 定理B 设G为有限群，L=L_3(2~m)，m≥1，或L=U_3(2~m)，m≥2。如果π_e(G)=π_e(L)，则G≌L。 定理C 设H是例外型Chevalley群G_2(q)，或扭群~D_4(q)，其中q=p~n，p为素数，则h(π_e(H)∈{1，∞}。
曹慧[9]2009年在《非交换图与有限群的结构》文中研究表明众所周知,群与图之间有着密切的关联。在许多情况下利用群的性质可以得到一些图的性质,反之亦然。例如,Gruenberg和Kegel(参见文[13])引入了有限群G的素图Γ(G)的定义,并根据素图分支得到有限群的一个分类。很多学者利用此分类得到某些单群的纯数量刻画,即用“群的阶和元素的阶”或用“元素的阶”来刻画单群。有限群G的非交换图▽(G)亦引起很多学者的关注。文[2]中给出其定义如下:▽(G)的顶点集合是G＼Z(G),当两个顶点x与y的换位子不等于单位元时x与y相连。2006年,A.Abdollahi,S.Akbari以及H.R.Maimani在文[1]中提出了如下猜想:猜想一设G和H均为非交换有限群。若▽(G)≌▽(H),则|G|=|H|。猜想二设G为有限非交换单群,H为非交换有限群。若▽(G)≌▽(H),则G≌H。近些年来,许多群论学者都在研究有限单群的非交换图,并得到了一些非交换图与单群——对应的结论,但是对于非单群的非交换图与其结构之间的联系是一片空白。本文结合有限群的结构,对非单群也采取了非交换图刻画,建立了某些非单群和其非交换图之间的对应关系。文章分叁节,主要有如下内容:第一节介绍文中常用符号和基本概念,并介绍了本文的研究背景和研究成果。第二节采用群分类定理研究某些非单群的非交换图和其结构。第叁节在证明有相同的非交换图的群同构时,不采用群分类定理研究某些固定阶非单群的非交换图和其结构,而且证实了对于某些非单群,猜想一和猜想二也是成立的。
许明春[10]2006年在《Abe-Iiyori猜想和Ree群~2F_4(q)(Ⅱ)》文中研究指明就一类单群2F4(q)和2F4(2)’证明了Abe-Iiyori猜想．
参考文献：
[1]. 用非交换图式“两个阶”刻画某些有限单群[D]. 王玲丽. 苏州大学. 2008
[2]. 某些有限单群的刻画[D]. 张庆亮. 苏州大学. 2011
[3]. 有限单群的纯数量刻画[D]. 许明春. 四川大学. 2003
[4]. 用同阶元个数研究有限群[D]. 邵长国. 苏州大学. 2008
[5]. 单群PSL_2(7)的特征性质及其初等证明[J]. 蒋琴会, 陈兆英, 李可峰. 西南大学学报(自然科学版). 2018
[6]. 射影特殊酉群的纯数量刻画[J]. 施武杰, 施武杰, 曹洪平, 曹洪平. 中国科学(A辑). 2002
[7]. 利用元素阶之和及最高阶刻画群[D]. 王华丽. 西南大学. 2015
[8]. 有限单群的数量刻画[D]. 曹洪平. 四川大学. 2002
[9]. 非交换图与有限群的结构[D]. 曹慧. 西南大学. 2009
[10]. Abe-Iiyori猜想和Ree群~2F_4(q)(Ⅱ)[J]. 许明春. 中国科学(A辑:数学). 2006