利用贝叶斯反演估计固液耦合系统中的参数

论文摘要

流固耦合模型的参数反演问题是一类兼具极高的实际应用价值和理论意义的数学问题。它在地质科学、机械设计、生物医学等许多行业中都有着广泛的作用。同时,由于流固耦合问题具有很强的非线性性,而参数反演问题又包含很强的不确定性,如何得到一个高效且有效的算法,是十分具有挑战性的。本文围绕如何利用流固耦合模型对血管建模并反演其参数这一问题展开,对一些相关的算法和理论进行了一个比较系统的分析和研究。值得一提的是,虽然模型是基于对血管的模拟建立的,但本文使用的方法也同样可以应用于其他的流固耦合系统。本文从行文逻辑上讲主要分为两大部分,首先是流固耦合正问题的数值求解探索,然后是基于卡尔曼滤波器及其变种进行的反问题的分析。本文的具体工作如下:(1)首先,我们对有限元方法进行了一个简单的介绍,对其核心思路进行了一个相对完备的阐述。本文主要使用P1/P2元进行有限元数值求解,并附上了两个简单的算例说明其具有良好的数值性质,可以满足本文的计算需求;(2)其次,考虑到本文探究的核心模型可以看作是一个流体(血液)与弹性体(血管)的耦合模型,因此,我们利用前述的有限元方法对弹性体问题和流体问题分别进行了一定的分析和实验。除了对模型的认知以外,这里对于弹性体的研究,既为移动网格提供了支持,也为后续验证卡尔曼滤波器效果提供了一个良好的基础模型;(3)在对这两个基础问题有了一定认识以后,我们开始考虑求解其耦合问题。然而除了如何耦合流体场与固体场以外,还有一个技术难题是如何去处理流体区域的移动问题。为了解决这个问题,我们引入了ALE框架并对在此基础上提出了一个几何守恒格式,同时提出了一个纯流体算例对其有效性进行了验证;(4)在上述基础上,我们对血管模型进行了一系列简单的模拟和分析,值得一提的是,我们用的入口边界条件是真实的血液流速数据,我们的实验结果性状良好;(5)第二部分则是站在在系统科学的视角看待问题,于是我们首先对状态空间模型进行了一定的说明,介绍说明了卡尔曼滤波器、无损卡尔曼滤波和容积卡尔曼滤波器的设计逻辑,同时我们设计了一系列实验说明这些滤波器的效果;(6)在此基础上,我们再次对流体固体的一些参数进行单独的反演实验,最后,我们利用它们对第一部分设计的血管模型的参数进行了反演。在这些工作中,以下的一些方法和算例是值得注意的:(1)在介绍ALE的部分中,我们提出了一个在网格速度场随机的情况下计算纯流体问题的算例,这个算例是一个说明ALE优异数值性质的良好算例,同时它也说明了,网格速度与算例本身是相互独立的,传统的思路是符合逻辑但是存在局限性的,当然,不可否认的是,要打破这些局限性,我们需要牺牲一些便利性,即使用更复杂的格式和更多的计算量;(2)我们使用的ALE算法是一种整体算法,然而我们的界面演化和网格移动是显式独立进行的,这使得我们的系统在计算过程中始终是线性系统,在很大程度上减少了计算量;(3)我们在卡尔曼滤波算法验证时设计的带扰动的线性弹性系统也是一个设计良好的算例,然而值得注意的是,它本身的阐述作用大于其蕴含的物理意义,它是为了说明模型本身的建模误差也可以视为一种随机变量参与到信息分析中。总的来说,本文的价值主要体现在如下几个方面:(1)首先,本文展示了一个科学全面循序渐进的研究方法,对一个实际问题,给了从建模到分析到模拟的一个完备的过程,同时在此过程中,每一步都给了较为充分而细致的分析和探究;(2)其次,本文给出了几个有创新意义且性质良好的算例,能够为后续研究者提供参考;(3)最后,在反问题研究中,本文的工作主要都是在离散滤波系统的内进行的。然而它们与连续滤波系统有着许多相似的特性,同时其内涵更丰富。虽然本文并未对该系统进行进一步探究,但它相对于离散滤波问题更具研究价值,是一个良好的课题选择。

论文目录

摘要

Abstract

Chapter 1 Introduction

1.1 Source, background, and significance

1.1.1 Source

1.1.2 Background and Significance

1.2 Research Status

1.2.1 Worldwide Research Status

1.2.2 Domestic Research Status

1.3 Thesis Outline

Chapter 2 Basic Model

2.1 Preliminaries and Notations

2.2 Finite Element Method

2.2.1 Weak Formulation

2.2.2 Numerical Method

2.3 Elastic System

2.3.1 Lame System and its Steady State

2.4 Fluid dynamics and Navier-Stokes Equation

2.4.1 The Stationary Stokes Equations

2.4.2 Fluid Equation and its Weak Formulation

2.4.3 Numerical Simulation

2.5 Summary

Chapter 3 Fluid-Structure Interaction with ALE Method

3.1 Problem Statement

3.2 Formulation

3.2.1 ALE Framework

3.2.2 Conservative Formulation

3.2.3 Fully Discrete Scheme

3.3 Numerical Experiments

3.3.1 ALE Navier-Stokes Example

3.3.2 ALE FSI Numerical Result

3.4 Summary

Chapter 4 Inversion Method

4.1 State-Space Model and Filtering problem

4.2 Kalman Filter

4.2.1 Algorithm

4.2.2 Numerical Result

4.3 Invariant of Kalman Filter

4.3.1 Extend Kalman Filter

4.3.2 Ensemble Kalman Filter

4.3.3 Numerical Examples

4.4 Parameter Estimation of FSI

4.5 Summary

Conclusions

结论

References

Acknowledgements

文章来源

类型: 硕士论文

作者: 尹海安

导师: 张振

关键词: 流固耦合,卡尔曼滤波

来源: 哈尔滨工业大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 力学

单位: 哈尔滨工业大学

分类号: O353.4

DOI: 10.27061/d.cnki.ghgdu.2019.004248

总页数: 71

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