闭黎曼面上指数增长发展方程量化及收敛性

论文摘要

热流是偏微分方程和几何分析中一种非常有效的方法。它在解决椭圆方程解的存在性,尤其在解决临界方程问题中有着广泛的应用。本文主要研究两类非线性发展方程:闭黎曼面上临界指数增长的非线性发展方程和平均场型流。对于前者,我们分析正解的爆破行为,进而得到解的能量恒等式。对于后者,我们研究流的收敛性,进而得到平均场方程在一种临界情形解存在的充分条件。梯度估计是几何分析中一种重要方法,利用梯度估计可以得到Harnack不等式、刘维尔定理等。本文的最后,我们研究非线性f-拉普拉斯方程的梯度估计和刘维尔定理。本文的主要结果是Ⅰ.临界指数增长发展方程的量化问题定理0.1 设（M,g）是闭黎曼曲面。对任一给定的光滑函数u0≥0,方程存在唯一使得Moser-Trudinger能量关于时间间保持不变的长时间解解0 ≤u（x,t）∈Cloc ∞（M ×[0,∞）).存在时间序列tk→∞和常数λ∞≥ 0,使得函数序列u（tk）在H1（M）中弱收敛于u∞,且u∞满足方程-△gu∞+τu∞=λ∞u∞eu∞2进进步,我们有:或者函数序列列（tk）在H1（1）中强收敛剑于u∞且u∞>0λ∞>0;或者存在N ∈N*,I（i）∈N*和两两不同的点x（i）∈M,其中1≤i≤N,使得当k→∞时,有（|▽gu（tk）|2 +τu2（tk））dυg（|▽gu∞|2+τu∞2 dυg+∑i=1 ∞ 4πI（i）δx（l）测度意义下收敛剑。Ⅱ.临界情形平均场型流的收敛性定定理0.2 设设（M,g是闭黎曼曲面,Q是M上的光滑函数满足∫MQQdυg=8π给定υ0（x）∈2+α（M）,假设υ（t）是方程的解。若A（x）+2log h（x）在x0点达到最大值,Q（x0）>2K（x0）,其中K是M的高斯曲率。则存在初值值υ0 ∈C2++（M）,使得υ（t）在H2（M）中收敛到光滑函数υ∞,且满足方程△υ∞-Q+8π eυ∞/∫Meυ∞dυg=0.特别地,我们重新证明了Ding-Jost-Li-Wang[1]的结果。Ⅲ.非线性f-拉普拉斯方程的梯度估计定理0.3 设（M,g,e-fdυg）是n维完备非紧的光滑度量测度空间,Ricfm≥-（n+m-1）H,H≥0.假设h（x）∈ C2（M）,△fh≥0.若1<α<n+m/n+m-2（n+m≥4）,则方程△fu+huα=0的正解u（x）满足利用上述定理,我们可以得到以下的刘维尔定理。推论0.4 设（M,g,e-f dυg）是n维完备非紧的光滑度量测度空间,Ricfm≥0.假设h（x）∈ C2（M）,△fh≥0.若M上存在x0使得h（x0）≥0,则对1<α<n+m/n+m-2（n+m≥4）,方程△fu+huα=0没有非常数的正解。定理0.5 设（M,g,e-fdυg）是n维完备非紧的光滑度量测度空间,Ricfm≥-（n+m-1）H,H≥0.假设h（x,t）是定义在M×[0,∞）上的函数。关于x变量h ∈ C2,关于t变量h ∈ C1.若u（x,t）是M ×[0,∞）上方程（△f-（?）/（?）t）u（x,t）+h（x,t）uα（x,t）=0的正解。当0<α<1时,设h≥0,△fh≥0.则|▽u|2/u2 + 1/αhuα-1-1/αut/u≤m+n1/2α2t+（m+n）（n+m-1）H/2α（1α）.当α≥1时,设-M1≤h≤M3,△fh≥-K1,且|▽h|≤K2.则其中C4>0是一个固定常数,s>α,M2=sup{uα-1（x,t）|（c,t）∈ M ×[0,∞)}.

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摘要

ABSTRACT

第1章引言

第2章临界指数增长发展方程的量化问题

2.1 解的长时间存在性

2.2 渐近行为

2.2.1 弱收敛

2.2.2 强收敛

2.3 爆破分析

2.4 梯度估计

2.5 能量恒等式

2.5.1 简单爆破点的能量恒等式

2.5.2 非简单爆破点的能量恒等式

第3章临界情形平均场型流的收敛性

3.1 流的性质和集中紧定理

3.2 爆破分析

3.3 收敛性

第4章非线性f-拉普拉斯方程的梯度估计

4.1 一些准备工作

4.2 梯度估计

4.2.1 椭圆方程的梯度估计

4.2.2 抛物方程的梯度估计

4.3 一个例子

4.3.1 梯度估计

4.3.2 刘维尔定理

参考文献

致谢

文章来源

类型: 博士论文

作者: 朱超娜

导师: 李嘉禹

关键词: 临界非线性发展方程,能量恒等式,平均场方程,爆破分析,收敛性,梯度估计,刘维尔定理

来源: 中国科学技术大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 中国科学技术大学

分类号: O175.2

总页数: 101

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