分数阶对流方程及相关问题的有限差分方法

论文摘要

分数阶微积分算子由于其特有的非局部性,在描述或刻画具有遗传或记忆特性的材料和过程时有独特的优势.目前针对分数阶微分方程的建模和计算已被广泛应用于科学和工程的许多领域.本文的宗旨包括两个方面:针对反常对流过程建立分数阶对流方程模型并进行数值计算;构造非线性分数阶微分方程的有效差分算法.首先,本文引入分数阶对流算子的概念并从溶质运移的角度对反常对流现象进行数学描述.为了更直观地观察分数阶对流的表现,我们构造了分数阶对流-扩散方程的数值算法.同时,本文还考虑了分数阶对流占优-扩散方程以及分数阶对流占优-分数阶扩散方程.通过数值仿真,可以从这三类方程中观察到有趣的分数阶对流现象.其次,针对反常对流过程建立分数阶对流模型.利用连续时间随机游走建模方法（CTRW）,对双边跳跃长度满足幂律分布的情况,借助分数阶对流算子,即阶数在（0,1）区间上的Riesz导数,建立了分数阶对流方程模型.有关Riesz导数（阶数属于（0,1））的系列差分算法也得到了发展.利用这些方法,我们构造了分数阶对流方程的数值格式包括隐式Crank-Nicolson格式和显式Lax-Wendroff格式.理论分析证明了隐格式的无条件稳定性和显格式的条件稳定性且两种方法在时间和空间上均是二阶收敛的.数值算例验证了所推导格式的有效性和收敛精度.通过数值实验,我们展示了分数阶对流方程所刻画的传输过程的表现形式.随后,考虑刻画复杂流体系统的耦合非线性分数阶对流方程组.针对这一方程组,我们构造了隐式差分格式来进行数值逼近,但所得离散系统是非线性的.为了减少计算量,我们还利用外插法将原离散系统进行线性化处理.数值结果验证了所构造的格式的条件稳定性以及收敛性.我们也对耦合分数阶对流的演化过程进行了数值仿真,结果表明这一演化过程主要受分数阶导数阶数的影响.紧接着,本文研究非线性分数阶常微分方程初值问题的非均匀网格差分方法,其中非等距步长满足非减条件.我们提出了基于非均匀网格的分数阶矩形格式和梯形格式,并结合这两种格式建立预估-校正格式.对于所建立格式的稳定性和收敛性我们也给出了详细证明.数值算例验证了所建立格式的有效性以及理论分析结果.另外,我们还比较了同一种方法在非均匀网格和均匀网格下的计算误差和收敛阶,结果说明在处理非充分光滑问题时,基于非均匀网格的方法计算效果要好的多.最后,针对二维非线性时间分数阶亚扩散方程,本文提出隐-显式差分格式并结合快速算法进行求解,这一方法的优点是计算效率要比一般的隐格式高很多.我们还在原格式中引入校正项来提高误差精度,同时也给出了所建立格式的稳定性和收敛性分析.结合前文中提出的非均匀网格思想,我们还对隐-显格式进行了拓展.数值实验说明了格式的有效性以及对于具有非光滑解的分数阶亚扩散方程的适用性,并比较了隐-显格式,隐格式以及非均匀网格方法的计算效率和收敛精度等结果.

论文目录

文章来源

类型: 博士论文

作者: 易倩

导师: 李常品

关键词: 分数阶对流算子,导数,分数阶对流,耦合非线性分数阶对流,非线性分数阶微分方程,有限差分方法

来源: 上海大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学,数学

单位: 上海大学

分类号: O241.8

DOI: 10.27300/d.cnki.gshau.2019.000115

总页数: 131

文件大小: 5450K

下载量: 103

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