时间分数阶慢扩散方程的非重叠有限差分区域分解算法

论文摘要

本文主要研究内容是:对于时间分数阶慢扩散方程提出的一类结合非重叠区域分解技巧的有限差分算法。首先,一维情况的模型问题如下:对于某个T>0,其中,α∈（0,1）;f,μ,v为已知函数。方程满足相容性条件:μ（0）=v（0）=0。注意到模型给出了零初值条件。上述模型中的分数阶导数是采用由Caputo提出的经典定义形式。我们知道,在求解偏微分方程时,并行的计算可以大大提高计算效率。因此,这使得我们产生了一个自然的想法——引入区域分解的技巧——将原本所需计算的区域分解成若干个子区域,然后在每一个子区域上考虑对应的子问题。这样,我们就可以在各个相互完全独立的子区域上,并行的解决原问题了。事实上,区域分解的思想不仅仅适用于可并行计算的系统;即使是在串行计算机系统上,我们仍然可以进行区域分解。这是由于,对于那些进行了区域分解后得到的完全独立的不同子区域,可以采用不同的时间、空间步长,这样可以帮助我们有重点的关注某些感兴趣的区域,从而提高计算效率。在区域分解的过程中,主要的困难之处在于我们如何来定义子区域边界处的值,以及将子区域上的求解结果以某种合理的方式拼凑、整合起来,从而得到一个对于原来整体问题的合理、可靠的逼近。基于以上分析,我们的目标是:提出一种结合区域分解技巧的有限差分格式来逼近时间分数阶慢扩散方程。这里,我们针对一维和二维问题进行讨论,并且主要考虑区间以及规则的方形区域。进一步地,考虑在不同的子区域上采用不同的时间、空间步长。针对每一种情况,我们给出了逼近格式解的存在性、稳定性分析和最大模意义下的误差估计。在提高计算效率、有重点的关注某些区域的同时,我们提出的差分格式不失收敛精度,并且达到了O（τ+h2+H3）的收敛阶（τ为时间步长）。本文主要是围绕以上框架展开的研究。全文共分为五章:第一章:绪论。介绍了问题的研究背景、区域分解思想与国内外研究现状。第二章:预备知识。给出了分数阶导数的几种定义及其逼近公式,同时以预备引理的形式,介绍了分数阶导数逼近公式的有关性质。第三章:对于模型问题的一维情况,提出了非重叠区域分解有限差分格式,并且进行了逼近格式解的存在性、稳定性分析,给出了收敛阶。进一步地,考虑了变时间与空间步长的情况,以及多个子区域的情况,对于每一种情况都给出了误差估计。第四章:对于模型问题的二维情况进行了相应讨论。首先,对基本问题建立了区域分解有限差分格式,并且给出了误差估计;其次,考虑了二维情况下的变步长区域分解算法,同样给出了收敛性分析。第五章:对于一维和二维问题分别进行了数值模拟,以验证前述各章的理论。实验得到了预期的结果。

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文章来源

类型: 硕士论文

作者: 姜茜

导师: 芮洪兴

关键词: 时间分数阶慢扩散方程,区域分解,有限差分,变步长

来源: 山东大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学,数学

单位: 山东大学

分类号: O241.82

总页数: 54

文件大小: 2135K

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