关于几类纠错码的代数理论研究

论文摘要

线性码由于具有便于运算分析的叠加性质,成为纠错码理论中人们的主要研究对象.长期以来,诸多研究者投入大量的工作对其开展研究,使之成为纠错码理论中最为活跃的研究分支.本文利用数论与代数中的有限域理论甚至有限环理论,特别是利用其中的分圆陪集、多项式的不可约分解等方法与手段,利用环同态的思想以及中国剩余定理,对有限域及有限环上的几类重要的线性码,如常循环码、符号对码、子空间码进行了深入细致地研究,刻画了它们的结构和基本参数,取得了下面四个方面的结果.首先,我们针对特征为P的有限域上的常循环码开展研究,推广常循环码的长度.根据素数k,l和q-1的整除关系分四种情况讨论多项式Xklmpn-λ（入∈Fq*）在Fq[x]中的不可约分解.从而,对不同的奇素数k,l和p,我们得出特征为p的有限域Fq上的长度为klmpn的常循环码的代数结构.上面的结果修正了 Tong在2016年的一个研究工作中的两处错误.接着我们研究了有限环R上长度为nps的所有α+uβ常循环码,其中R=Fq+uFq,u2=0,α,β ∈Fq*,n,s ∈ N+且gcd（n,p）=1.假设α0 ∈Fq*满足α0ps=α.那么当xn-α0在Fq[x]中不可约时,剩余类环R[x]/<xnps-α-uβ>是一1个链环,且极大理想为<xn-α0>;当xn-α0在Fq[x]中可约时,利用xn-α在Fq[x]中的不可约分解式,我们得到了剩余类环R[X]/<Xnps-α-uβ>的所有理想.此时,我们还给出了每个α+uβ常循环码的码字个数,并对它的对偶码的生成多项式和码字个数进行了讨论.符号对码的研究意义在于它的编码方法在符号对读取信道中能够很好地对抗对错误.作为一类重要的纠错码,与一般情况类似,符号对码的极小对距离越大,它能纠正的对错误就越多.极大距离分离符号对码（简记为MDS符号对码）是在给定码长和码字个数的前提下,极小对距离达到最大值的符号对码.本文我们讨论了重根常循环码的极小对距离的下界问题,并且突破性地构造出具有无限长度的MDS符号对码.此外还给出了一些极小对距离为6的MDS符号对码的新的构造方法.子空间码尤其是循环子空间码在随机网络编码中有着重要的作用,因此吸引了编码理论研究者的广泛关注,但对这一类码的研究还不够深入.我们讨论了一般形式的子空间多项式所生成的循环子空间码的基本参数.利用所得的基本参数我们给出了一些结果作为其推论.这些推论极大的扩展和补充了前人的研究成果.最后,我们构造了一类码字个数为qN-1/q-1且极小距离为2k-2的k维循环子空间码.这些结果丰富了线性码的相关理论,将有助于我们更深刻地把握、认识、应用这些线性码.

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文章来源

类型: 博士论文

作者: 赵伟

导师: 唐西林

关键词: 常循环码,自对偶码,重根码,子空间码,符号对码

来源: 华南理工大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 华南理工大学

分类号: O157.4

DOI: 10.27151/d.cnki.ghnlu.2019.000363

总页数: 91

文件大小: 3498K

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