微分Galois理论与非线性动力系统的不可积性

论文摘要

十九世纪80年代末,Picard和Vessiot将代数方程的Galois理论推广到齐次线性微分方程组,建立了微分Galois理论.上世纪九十年代,Morales-Ruiz和Ramis等人结合微分Galois理论和Ziglin理论,建立了解析哈密顿系统不可积性的判定准则,并取得了一系列的重要成果.在这篇论文中,我们将利用微分Galois理论研究非线性动力系统的可积性与不可积性,尝试探讨系统的不可积性与混沌等复杂行为,系统的可积性与弱Painlev′e性质之间的关系.全文共分五章,第二,三,四,五章为主要工作.第二章,我们分别在概率1和期望不变意义下引入随机微分方程局部首次积分的定义,给出了它们的代数刻画.同时,我们将关于常微分方程经典的Poincar′e不可积定理推广到随机微分方程,利用共振条件分别给出了随机微分方程存在局部强、弱首次积分的必要条件.最后,我们将所得结果应用于随机Sharma-Parthasarathy两体方程等模型.第三章,我们应用微分Galois理论等方法研究数学物理中几类三维系统的可积性与不可积性,包括Lorenz系统,Shimizu-Morioka系统以及广义Rikitake系统.我们的结果表明对参数几乎所有的取值这些系统都是不可积的.对Lorenz系统（?）当（?）时,Lorenz系统存在两个函数独立的积分[J.Phys.A.38（2005）2681–2686];当α=0时,我们给出了Lorenz系统不存在亚纯首次积分的充分条件;当（?）且（?）时,我们证明了Lorenz系统形式首次积分的存在性.对Shimizu-Morioka系统（?）当（?）时,我们证明Shimizu-Morioka系统是Rucklidge系统的一种特殊情形,并利用Rucklidge系统的相应结果讨论了Shimizu-Morioka系统的达布可积性.当（?）时,我们利用代数几何中的Gr?bner基研究了Shimizu-Morioka系统的达布可积性,找到了所有次数不超过三次的不变代数曲面和指数因子.当（?）时,通过分析变分方程的微分Galois群的性质,我们证明了Shimizu-Morioka系统对参数几乎所有的取值在广义刘维尔意义下都不是有理可积的;当（?）时,我们利用Kowalevski指数证明了Shimizu-Morioka系统不是代数可积的.对广义Rikitake系统（?）我们给出了其在可积情形下的一族可积变形并且证明了其具有无穷多的哈密顿-泊松实现和双哈密顿结构.在一般情形下,给出了广义Rikitake系统不可积的充分条件,并讨论了解析首次积分的不存在性.第四章,我们首先利用Kowalevski指数给出了拟齐次系统是完全可积的一些必要条件.作为应用,我们证明了如果-1是Kowalevski矩阵的简单根,那么多项式微分系统的代数可积性蕴含了弱Painlev′e性质,这部分地解决了Goriely提出的猜想[J.Math.Phys.37（1996）,1871-1893].其次,我们考虑了齐次牛顿系统在广义刘维尔意义下的可积性.通过分析沿尺度不变特解的变分方程的微分Galois群的性质,证明了如果齐次牛顿系统在广义刘维尔意义下是亚纯可积的,那么所有可能的Kowalevski指数都必须是有理数.第五章,我们探讨保守系统的部分可积性和变分方程的Galois群结构之间的关系,证明了如果9)-维保守系统具有9)-2个函数独立的亚纯首次积分,那么沿特解的法向变分方程的微分Galois群的单位分支是可交换的,沿特解的变分方程的微分Galois群的单位分支是可解的.利用该结果,我们证明了描述有限深度流体中孤立波维特级数解的五维Karabut系统有且仅有两个函数独立的多项式首次积分,从部分可积性的角度改进了文献[Nonlinear Anal.32（2016）91–97]中的结果。

论文目录

文章来源

类型: 博士论文

作者: 黄开银

导师: 史少云

关键词: 微分理论,首次积分,不可积性,变分方程

来源: 吉林大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 吉林大学

分类号: O175

总页数: 106

文件大小: 6239K

下载量: 70

相关论文文献

• [1].一个Riccati方程可积性结论的推广[J]. 西安文理学院学报(自然科学版) 2015(04)
• [2].扩展波方程的Painlev é可积性[J]. 东西南北 2018(13)
• [3].Riccati方程的可积性条件及应用[J]. 江西科学 2009(05)
• [4].原函数存在性与可积性概念辨析[J]. 高等数学研究 2010(06)
• [5].Riccati方程的两个新可积性条件[J]. 新课程研究(中旬刊) 2012(12)
• [6].一类Riccati方程可积性条件的推广[J]. 科学技术与工程 2009(17)
• [7].B-值随机级数的强可积性[J]. 湖北大学学报(自然科学版) 2010(04)
• [8].一类薛定谔方程解的高阶可积性[J]. 纺织高校基础科学学报 2013(02)
• [9].一类Riccati方程的可积性条件及通积分[J]. 陕西理工学院学报(自然科学版) 2011(01)
• [10].关于Riccati方程可积性条件的讨论[J]. 西安石油大学学报(自然科学版) 2011(05)
• [11].一类广义Riccati型方程及其可积性判据的推广[J]. 海南大学学报(自然科学版) 2013(01)
• [12].障碍问题局部可积性的一个注记[J]. 黑龙江大学自然科学学报 2010(01)
• [13].关于复合函数的Riemam可积性[J]. 甘肃联合大学学报(自然科学版) 2009(06)
• [14].从另一个角度探讨Riccati方程的可积性[J]. 和田师范专科学校学报 2012(05)
• [15].Riccati方程的一些新的可积性条件[J]. 广西工学院学报 2008(02)
• [16].Riccati方程的可积性判据[J]. 华侨大学学报(自然科学版) 2008(02)
• [17].微分同胚的不可积性[J]. 吉林大学学报(理学版) 2008(06)
• [18].多分量退化的CH型方程的可积性及其解（英文）[J]. 纯粹数学与应用数学 2016(02)
• [19].两个新的Painlevé可积方程[J]. 内蒙古大学学报(自然科学版) 2013(03)
• [20].复合函数不可积性条件的反例[J]. 沧州师范专科学校学报 2008(03)
• [21].关于概率空间与次线性期望空间中的随机变量一致可积性的一个注记（英文）[J]. 应用概率统计 2018(06)
• [22].复合函数的可积性及应用[J]. 大学数学 2017(05)
• [23].在MVBVF条件下的加权可积性[J]. 浙江理工大学学报 2015(01)
• [24].Jaulent-Miodek方程的Painlevé可积性及精确解[J]. 上海理工大学学报 2014(03)
• [25].一类非线性色散波动方程的可积性问题[J]. 盐城工学院学报(自然科学版) 2010(01)
• [26].分段函数、函数的可积性与原函数存在性[J]. 大学数学 2009(02)
• [27].二阶线性微分方程的可积性判据[J]. 大学数学 2010(04)
• [28].函数可积性教学的改进策略[J]. 海南师范大学学报(自然科学版) 2017(01)
• [29].关于一类Riccati方程可积性条件的注记[J]. 科学技术与工程 2010(18)
• [30].一类实平面四次微分系统的奇点量和可积性[J]. 佳木斯大学学报(自然科学版) 2015(06)

标签：微分理论论文;  首次积分论文;  不可积性论文;  变分方程论文;