使用无相位数据反散射问题的数值方法研究

论文摘要

本文讨论了使用无相位数据重构裂缝和障碍物反散射问题的分析和计算,我们考虑的散射问题模型均为Helmholtz方程,由于在实际的应用中,获取散射场或者远场的相位信息是极其困难,因此,利用无相位数据求解反散射问题在数学和物理领域都得到了广泛的关注.本文的第一章为绪论,主要介绍了我们所做工作的背景以及研究现状,并且简单介绍本文的结构.第二章主要介绍本文用到的一些预备知识,包括声波散射的一些相关概念以及反问题正则化的方法和数值计算的Nystrom方法.第三章研究了利用无相位数据重构声软裂缝的问题,我们验证了平移不变性（Translation invariance）,这表明利用无相位远场数据仅能重构散射体形状而不能重构散射体位置,对于反散射问题,我们采用非线性积分方程方法,此方法的优点是精度准确并且能减少计算复杂度,最后通过一些数值例子验证了算法的可行性.第四章研究了利用无相位数据重构加入参考球的裂缝问题,为了解决无相位数据无法重构裂缝位置的问题,我们考虑在散射系统中加入了声软参考球,利用非线性积分方程方法求解反问题,重构出声软裂缝的形状和位置,并且通过数值实验说明了方法的可行性.第五章研究了利用无相位数据重构加入参考球的障碍问题,我们考虑的是满足Neumann边界条件的障碍体,由平移不变性可知,仅能确定障碍的形状不能确定障碍的位置,我们利用加入声硬参考球的方法,与裂缝情况类似,使用非线性积分方程方法求解,重构出障碍体的形状和位置.本文的最后一章为结论,对全文内容进行了总结.本文几个主要工作如下:1.利用无相位数据重构裂缝问题设裂缝rc=c=:s ∈[-1,1]}为光滑弧线,z1:=z（1）和z-1:=z（-1）为裂缝Γc的端点.我们考虑如下模型问题:△u + k2uu = 0,in R2Γc（1）u = 0,on rc,（2）反散射问题:已知一个方向入射的平面波ui以及远场模态的模|u∞|,重构声软裂缝rc的形状.使用无相位远场数据重构裂缝的反散射问题的解不是唯一的,我们给出了如下结论.定理1.（Translation invariance）设u∞（x）为声软裂缝re散射的远场模态.对于裂缝Γcε={x+εh:x∈Γc}其中h∈R2,远场模态u∞ε有如下形式u∞ε（x）=eikεh·（d-x）u∞（x）,x∈Ω,（4）也就是说,利用无相位远场模态重构声软裂缝的反散射问题具有平移不变性.由平移不变性可知,仅利用一个方向入射的平面波得到的无相位远场模态数据不能重构出声软裂缝的位置.对于反散射问题,我们通过非线性积分方程方法求解,首先引进单层位势算子Se:（Sc（φ）（x）=Φ（x,y）φφ（y）ds（y）,x∈Γc以及远场算子Sc,∞:（Sc,∞φ）（X）=-γ∫Γc e-ikx·yφ（y）ds（y）,x∈ Ω.则可得未知曲线Γc和密度函数φ满足下述方程组Scφ = ui|Γc,（5）|Sc,∞=|2=|U∞|2.（6）然后将积分算子Sc转换为参数化算子C,表示为C（z,ψ）（t）=i/4∫π0H01（k|z（cost）-z（cosτ）|）ψ（τ）dτ,t ∈[0,π],（7）其中ψ（t）:= |sint||z’（cost）|φ（z（cost））,t∈[0,π].与上述相似,我们引进参数化远场算子C∞:其中z∞（t）=（cost,sint）,t∈[0,2π].此外,我们也给出入射场ui以及远场u∞的参数化表示:ωc=uioz,ωc,∞=u∞oz∞.则方程组的参数化形式可以表示为C（z,ψ）= ωc（z）,（9）C∞（z,ψ）C∞（z,ψ）= |ωc,∞|2.（10）C∞（z,）关于z的Frechet导数表示为C∞ C∞关于z的导数为将方程（10）线性化得到B[z,ψ]q=fz,ψ,（12）其中迭代过程的相对误差为反问题的迭代过程为:（ⅰ）发射波数为k>0,入射方向为d ∈ Ω的平面波,然后收集无相位远场数据|u∞|.（ⅱ）给裂缝Γc一个初始近似Γc0,设k=0.（ⅲ）对于曲线Γck,从方程（9）中得到密度函数ψ.（ⅳ）求解方程（12）得到q,可得裂缝曲线新的近似Γck+1=Γck+q,计算Ek.（ⅴ）若Ek≥∈则设k=+ 1,返回（ⅲ）,否则我们将近似曲线Γck+1作为最后的重构曲线.值得注意的是,我们使用的迭代方法与经典Newton迭代法是有些不同的,我们的迭代法精确,可以简单的实现并且减少计算复杂度.我们给出若干数值例子证明了方法的可行性.2.无相位数据重构加入参考球的裂缝问题由于利用无相位远场模态重构裂缝的反散射问题解是不唯一的,仅能够重构出裂缝的形状而并不能确定裂缝的位置.为了解决这个问题,我们采用在散射系统中加入声软参考球的方法.我们假定裂缝r1={z（s）= ∈[-1,1]}为光滑弧线,参考球D（?）R2,并且D ∩ =（?）,Γ2:=（?）D.反散射问题:已知由固定波数k和某一个入射方向d入射的平面波ui以及无相位远场数据|uD∪Γ1∞（x）|,x∈Ω,确定未知裂缝Γ1的形状以及位置.我们定义单层位势算子以及远场算子我们得到裂缝Γ1和密度函数φj满足下面的方程组S11φ1+S21φ2=ui|Γ1,（14）S12φ1+S22φ2 =ui|Γ2）（15）|s1∞φ1+S2∞φ2|2=|u∞|2（16）我们给出裂缝r1的参数化表示Γ1 = {P1（s）= c+z（s）:c=（c1,c2）,s∈[-1,1 },以及参考球边界Γ2的参数化表示Γ2 = yp-2（t）= b + Rx:b=（b1,b2）,x∈ Ω}.将算子Sjl,Sj∞转换为参数化算子Cjl,Cj∞,右端项的参数化形式为ω1（t）=ui（p1（coSt））,ω2（t）=ui,（p2（t））,ω∞（t）=u∞（x（t））.则可以得到积分方程（14）-（16）的参数化形式将方程（19）线性化可以得到Bq=f,（20）其中我们给出了一些数值例子用以证明方法的有效性.3.无相位数据重构加入参考球的障碍体问题我们假定障碍散射体D（?）R2,考虑如下的障碍散射模型问题:△u + k2u = 0,in R2D,（21）（?）u/（?）v=0,on（?）D,（22）我们考虑的反散射问题是已知由固定波数k和某一个入射方向d入射的平面波ui以及无相位远场数据|uD∞（x）|,x∈Ω,确定位置障碍物D的形状以及位置.由于平移不变性|uDh∞（x,d）|=|uD∞（x,d）|,利用无相位远场数据仅能重构障碍物形状而不能够确定位置.为了解决这个问题,我们加入参考球B（?）R2,D ∩ B=（?）.反散射问题:已知由固定波数kk和某一个入射方向d入射的平面波ui以及无相位远场数据|uD∪B（x）|,x∈Ω确定位置障碍物D的形状以及位置.定义法向导数算子和远场算子:可以得到障碍物D和密度函数φj满足下面的方程组我们给出D的边界Γ1的参数化表示Γ1={p1（x）=c+ r（x）x:c=（c1,C2）,x ∈以及参考球边界Γ2的参数化表示Γ2 = {P2（x）= b + Rx:b=（b1,b2）,x ∈ Ω}.将算子Tjl,Tj∞转换为参数化算子Ajl,Aj∞,右端项的参数化形式为我们可以得到方程组的参数化形式A11（p1,ψ1）+A21（p1,ψ2）=ω1,（27）A12（P2,ψ1）+A.22（P2,ψ2）=ω2,（28）|A1∞（p1,ψ1）+ A2∞（p2,ψ2）|2 =|ω∞|2.（29）将方程（29）线性化可以得到Bq=f,（30）其中最后我们给出了一些数值算例验证了方法的有效性。

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摘要

Abstract

第1章绪论

1.1 散射问题的背景和意义

1.2 研究现状

1.3 本文主要工作

第2章预备知识

2.1 Helmholtz方程

2.2 层位势

2.3 不适定问题及正则化

2.4 Nystrom方法

第3章利用无相位数据重构裂缝问题

3.1 问题描述

3.2 反散射问题及其唯一性

3.3 反问题的迭代法

3.4 算法实现

3.5 数值算例

第4章无相位数据重构加入参考球的裂缝问题

4.1 问题描述

4.2 反问题分析

4.3 反问题的迭代法

4.4 数值算法

4.5 数值算例

第5章无相位数据重构加入参考球的障碍体问题

5.1 问题分析

5.2 反散射问题及其迭代法

5.3 数值算法

5.4 数值算例

第6章结论

参考文献

作者简介及科研成果

致谢

文章来源

类型: 博士论文

作者: 高鹏

导师: 马富明

关键词: 反散射问题,方程,无相位数据,裂缝,障碍体,非线性积分方程方法

来源: 吉林大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 物理学

单位: 吉林大学

分类号: O411.1

总页数: 92

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