带非经典抛物项的非线性发展方程的解的适定性

论文摘要

本文研究了带有不同非经典抛物项的非线性发展方程的解的适定性,主要考虑两类分别含有不同的耗散机制的方程.第一类为拟抛物方程,如半线性拟抛物方程和广义BBM方程.对于半线性拟抛物方程,我们关注了解的适定性以及方程中出现的Fujita指标与初值的关系.对于广义BBM方程,在大初值的情形下,方程含有的热扩散项与非线性项的竞争机制是我们主要研究的问题和面对的困难,同时我们还关注了方程在非零常状态下大扰动解表现出来的双曲特性.第二类方程是各向异性退化抛物方程,我们分别考虑了带退化扩散项的广义BBM方程以及在流体和磁场中都在同一个方向上退化扩散的磁流体方程组.由于耗散机制的退化,在某些方向上无法看到粘性效果,这是我们面对的主要困难.我们将分别考虑这两类方程的Cauchy问题的解的适定性和衰减性态等.具体内容如下:第一章为绪论,我们介绍了在本文中大量用到的Green函数方法.接着介绍了本文中考虑的三类方程:半线性拟抛物方程,广义BBM方程和磁流体方程组的物理背景,研究历史和已有的工作,最后陈述了本文研究的问题和主要结果.第二章中,我们研究了多维空间中一类半线性拟抛物方程在小初值情况下解的整体存在性和逐点估计.首先利用频域分解的方法,得到了 Green函数的逐点估计,同时对在方程变形中出现的非局部化算子进行了处理.接着,采用[76]中提出的整体迭代法,不需要证明局部解的存在性,而是利用解的衰减性质直接得到了整体经典解的存在唯一性和衰减估计.在这个基础上,我们又利用Green函数得到了解的逐点估计,并给出了方程解存在的Fujita指标的范围.最后,我们考虑初值所在空间与Fujita指标的关系,通过定义初值在某些负指数Sobolev空间,扩大了 Fujita指标的范围,即扩大了解存在的范围并对应有更好的衰减.就作者所知,目前已有很多文献中提到过负指数空间会对解的衰减产生影响,但尚无结果提到负指数空间对解的范围产生的影响.第三章中,我们考虑了广义BBM方程在三维空间中的Cauchy问题在非零常状态附近大扰动解的整体存在性,衰减估计以及逐点估计.我们主要面临的困难有:首先,大扰动失去了小性,使得我们不再能够利用先验估计等假设;其次,方程带有非局部化算子,使得我们没有像带粘性的Burgers方程一样的最大模原理;同时我们还有非线性项无法被控制的困难.本章分为三个部分,第一部分中,通过构造Cauchy收敛列的方法得到了解的局部存在性.接着,利用经典的Fourier方法,得到解的Green函数的逐点估计,并对方程做了变换,利用新的方程解的L2有界来导出原方程的解的H2有界,从而通过Sobolev嵌入定理得到解的L∞有界性.利用这一有界性,可以提高解本身的正则性,再结合局部解的存在性从而得到解的整体存在性.第二部分,考虑了解的衰减估计,此时,用通常的长短波分解的方法已不再可行,为此,我们利用了新的方法,利用与时间相关的时频分解,将解分成两部分后分别用Green函数和精细能量估计进行处理,得到了解的Hs衰减估计.第三部分考虑了方程大扰动解的逐点估计,在缺少了小扰动的小性的情况下,我们充分利用了已经得到的解的L∞有界和衰减,利用时间的衰减作为小性的替代,克服了这一困难.从以上逐点估计中可以更清晰地看到解的大时间行为,我们发现方程的解在具有抛物方程性态的同时,还表现出了双曲的特性.在零状态下的扰动看不到这种双曲性态,而非零常状态情况下的扰动可以让我们看到,方程的解在扩散的同时,其主体又将沿着某一条与非零常状态相关的直线移动,并且在沿着这条直线的方向上衰减速度最慢.在第四章中,我们研究了带有退化扩散项的广义BBM方程在小扰动情况下解的整体存在性和衰减性态.我们面临的主要困难在于扩散项的退化导致在某一个方向上没有粘性效应,也不再满足Shizuta-Kawashima条件,因而通常抛物方程的研究方法在这里并不适用.为此,我们充分借助了其他方向上的粘性效果转化为阻尼作用,证明了方程解的整体存在性及衰减.本章首先通过迭代的方法得到了局部存在性.接着在进行局部解延拓时,先得到了解的Green函数估计,再利用先验假设和能量估计的方法,将非线性部分分成两个方向进行处理,在有粘性效应的切向上利用粘性项控制,在退化的法向上则利用分部积分等,得到了解在Hs空间中的有界性.最后,在研究解的衰减情况时,采用了高低频分解的办法,切向低频的部分利用Duhamel原理以及各向异性空间的不等式技巧,切向高频部分则利用Poincaré-like不等式及能量估计,从而得到了小扰动解的整体存在性和衰减估计.第五章中,我们研究了带有退化扩散项的磁流体力学方程组（MHD方程组）在小扰动情况下Cauchy问题的解的整体存在性和大时间行为.此时除了扩散项的退化带来的困难之外,方程组相较于方程的复杂性也使得难度有进一步的增加.为此,首先我们利用Duhamel原理,证明通过方程构造的映射为压缩映射,利用不动点原理得到了解的局部存在性.接着,为了证明解的存在性,我们主要分为三个步骤进行考虑.首先,在先验假设的前提下,借助能量估计的手段,并利用方程的对称性,使得流体方程和磁场方程在处理之后相加可以部分抵消,从而先得到了解的Hs有界性.接着在进行解的衰减估计时,利用频域分解的办法,在低频部分利用Green函数的办法,并借助大量各向异性空间的不等式技巧进行处理,在高频部分时则仍旧利用Poincaré-like不等式及能量估计得到了解的Hs衰减性态.最后通过类似的方法得到了解的L∞衰减估计.这样便封闭了先验估计,再利用经典的连续性方法便可以将局部解延拓至整体,从而得到解的整体存在性和大时间的衰减行为.

论文目录

中文摘要

Abstract

第一章绪论

§1.1 历史背景及研究现状

§1.1.1 Green函数

§1.1.2 半线性拟抛物方程

§1.1.3 广义BBM方程

§1.1.4 磁流体方程（MHD方程）

§1.2 本文结构及主要结论

§1.3 记号约定和预备引理

第二章半线性拟抛物方程整体解的存在性和大时间行为

§2.1 问题和主要结果

§2.2 Green函数的逐点估计

§2.3 经典解的存在性

§2.4 非线性问题解的逐点估计

§2.5 方程初值与Fujita指标的关系

第三章广义BBM方程Cauchy问题大扰动解大时间行为

§3.1 问题和主要结果

§3.2 解的整体存在性

§3.2.1 解的局部存在性

p衰减估计'> §3.2.2 Green函数的逐点估计及L^p衰减估计

p有界性估计和整体存在性'> §3.2.3 解的L^p有界性估计和整体存在性

s空间中的衰减估计'> §3.3 解在H^s空间中的衰减估计

s衰减估计'> §3.3.1 低频部分的H^s衰减估计

s衰减估计'> §3.3.2 高频部分H^s衰减估计

§3.4 大扰动解的逐点估计

§3.4.1 初值部分的估计

§3.4.2 非线性部分的估计

第四章带退化扩散项的广义BBM方程Cauchy问题解的大时间行为

§4.1 问题和主要结果

§4.2 经典解的局部存在性

§4.3 经典解的整体存在性及衰减估计

§4.3.1 解的有界性估计

s衰减估计'> §4.3.2 解的H^s衰减估计

∞衰减估计'> §4.3.3 解的L^∞衰减估计

第五章带退化扩散项的MHD方程组Cauchy问题解的大时间行为

§5.1 问题和主要结果

§5.2 经典解的局部存在性

§5.3 经典解的整体存在性和衰减估计

§5.3.1 解的有界估计

s衰减估计'> §5.3.2 解的H^s衰减估计

∞衰减估计'> §5.3.3 解的L^∞衰减估计

参考文献

致谢

攻读博士学位论文期间发表或录用的学术论文目录

文章来源

类型: 博士论文

作者: 王宇彤

导师: 王维克

关键词: 半线性拟抛物方程,方程,磁流体方程,退化扩散项,整体解存在性,衰减估计,逐点估计,函数,分析,能量估计,时频分解,不等式

来源: 上海交通大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 上海交通大学

分类号: O175.26

DOI: 10.27307/d.cnki.gsjtu.2019.001096

总页数: 156

文件大小: 4520K

下载量: 46

带非经典抛物项的非线性发展方程的解的适定性

论文摘要

论文目录

文章来源

相关论文文献

猜你喜欢