亓金锋[1]2010年在《亚纯函数与其导数的分担值问题》文中指出上世纪20年代,芬兰数学家R. Nevanlinna建立了该世纪最为重要的数学理论之一,即复平面C上的亚纯函数值分布理论,通常因纪念他而被称为Nevanlinna理论(十余年后L.Ahlfors建立了几何形式)。该理论主要有两部分组成,即Nevanlinna第一及第二基本定理,前者由Possion-Jensen公式得到,而后者显着地推广了Picard小定理。该理论不断自我完善和发展,同时广泛的运用到其他的复分析领域,如亚纯函数唯一性理论,正规族理论,复动力系统及复微分方程理论等。与此同时,鉴于Nevanlinna理论的美妙结果,很多杰出数学家创立并且不断完善发展了定义在特殊复流形以及p-adic域上的亚纯映照的值分布理论。本文主要包括作者在导师扈培础教授的指导下得到的关于亚纯函数与其导函数分担值问题以及p-adic域上的一些结果。论文的结构安排如下：第一章简要地介绍了复数域C以及p-adic域k上的值分布论基础知识。第二章讨论亚纯函数与其一阶导数分担值问题,主要推广了文章J.T.Li与H.X.Yi[16]中的定理2,将定理中的常数推广到一类特殊亚纯函数得到定理2.1,接着利用J. Wang [26]最近证明的一个定理作为引理,将定理2.1中的条件“f(z)与f’(z)分担R1 CM”改为单向CM分担得到定理2.2,并在此基础上做了更进一步的推广与补充,得到定理2.3与定理2.4。第叁章讨论亚纯函数与其k阶导数分担值问题,主要推广了文章C.Wu与J.T. Li [28]中的定理1,将定理中的常数推广到多项式得到定理3.1。第四章我们主要讨论比费马型函数方程更广泛的一类函数方程∑i＝1paifini=1,在p-adic域k上给出了这类方程存在亚纯解的必要条件即定理4.1,所得相关结果改进了N. Toda[23], K.W. Yu和C.C. Yang[33]的结果。
刘凯[2]2009年在《Nevanlinna理论在差分多项式中的应用》文中进行了进一步梳理在1922年至1925年,芬兰数学家R.Nevanlinna在做了一些简短的注记之后,发表了他关于亚纯函数理论的文章,也就是后来的重要的数学理论Nevanlinna理论,即复平面C上的亚纯函数值分布理论,10余年后L.Ahlfors建立了此理论的几何形式.Nevanlinna理论,与后来的一些推广是函数论的重要组成部分,是研究亚纯函数性质方面最重要的理论。该理论不断自我完善和发展,同时广泛的应用到其他的复分析领域,如势理论,复微分及差分方程理论,多复变量理论,极小曲面理论等。复差分方程的基础建立于20世纪的早期,Batchelder[2],N(?)rlund[52]和Whittaker[57]在这个方面做了重要的贡献。后来,Shimomura[55]和Yanagihara[59,60,61]利用Nevanlinna理论来研究了非线性的复差分方程的解。由于亚纯函数有穷级解的存在性是考察差分方程可解性的一个好的性质,所以最近在这个方面的领域得到了广范的研究兴趣。从这个角度出发,Nevanlinna理论在处理复差分方程方面是一个很有用的工具。复差分方面的Nevanlinna理论是最近才确立的。其中,最关键的结果是差分对数导数引理,Halburd-Korhonen[20]和Chiang-Feng[8]给出了这个引理的两种表达形式。Halburd和Korhonen[21]在差分算子的基础上建立了Nevanlinna理论。Ishizaki和Yanagihara[33]研究了差分方程慢增长的解的性质,并且给出了在微分方程中着名的Wiman-Valiron理论的差分定理.Bergweiler和Langley[4,38]研究了慢增长的亚纯函数的差分算子的值分布论。本论文利用Nevanlinna理论去研究差分多项式的值分布。论文的结构安排如下:第一章,我们简单介绍Nevanlinna唯一性理论和一些经常用的符号,还介绍了唯一性理论的一些经典的结果。第二章,我们简单的回忆差分的对数导数引理,差分Clunie引理,还有差分的第二基本定理及其应用的结果。另外差分方程解的存在性及增长性的一些重要结果也包含在本章节中。第叁章,我们介绍了差分乘积的值分布论,我们得到一些重要结果,可以看作关于Hayman经典微分多项式结果的差分推广,也就是关于微分多项式f~nf'的推广.实际上我们得到了下面的结果。定理0.1.假设f(z)是超越的有穷级的整函数,令c是非零常数,并且n≥2是整数,则f(z)~nf(z+c)-p(z)和f(z)~n△_cf-p(z)都有无穷多个零点,其中p(z)(?)0是z的多项式。对于更一般的差分乘积,也就是f是超越的亚纯函数,我们考察具有下面形式的差分乘积的值分布论Π_(j=1)~nf(z+c_j)~(v_j),其中c_j∈C是一些不同的复常数。我们不仅改进了定理0.1,而且我们得到了一个量化的估计:定理0.2.假设f为超越的有穷级的亚纯函数,级为ρ(f),S(z)=R(z)e~(Q(z)),其中R(z)是非零的有理函数,Q(z)是多项式满足degQ(z)＜ρ(f)和λ(?)＜ρ(f).如果(?)≥3,至少一个v_j≥2,则Π_(j=1)~nf(z+c_j)~(v_j)-S(z)有无穷多个零点。如果有其中一个指数满足则另外我们研究了具有某种特定形式的亚纯函数的差分算子的值分布论,我们的目的是去寻找某些和微分算子类似的性质.也就是,我们证明了f~kΔ_cf-a(z)的零点情况,k∈N∪{0}。这个结果可以看作是f~kf'-a(z)的差分的版本,可参见Hayman[27]。我们的结果可以表述成:定理0.3.假设f有穷级的亚纯函数,1≤ρ(f)＜∞,且令a,c∈C{0}满足△_cf(?)0,f有无穷个零点并且λ(f)＜1.如果f有无穷多个极点,则△_cf-a有无穷多个零点。定理0.4.假设f超越的有穷级的亚纯函数,ρ(f)＜1,c是一个非零的常数,B={b_j}包含所有的f的极点,满足b_j+kc(?)B(k=1,…,m)至多有限个例外值,则f(z)~n△_cf-a有无穷多个零点。在这一部分,也包含很多的例子说明我们的结果中的限制条件是必不可少的。第四章,我们介绍亚纯函数的差分多项式的值分布论的结果。我们首先回忆Hay-man[25,Theorem 8&9]经典的结果,我们的结果可以表述成:定理0.5.设f超越的有穷级的亚纯函数,并且ρ(f)=ρ,不是以c为周期的函数,λ(?)＜ρ(f),s是有理的和a是非零的常数。如果n≥3或者s=0,n≥2,则差分多项式f(z)~n+aΔ_cf-s(z)在复平面有无穷多个零点。定理0.6.设f超越的有穷级的亚纯函数,ρ(f)=ρ,不是以c为周期的函数,a是非零的常数,如果n≥8,则差分多项式f(z)~n+aΔ_cf-s(z)有无穷多个零点。在最后的第五章,我们得到了整函数f(z)与其平移f(z+c)或者差分算子△_cf分担公共集合的唯一性的结果。我们的结果可以看作是函数及其导数分担公共值[39]的差分版本。其中一个重要的结果:定理0.7.假设f(z)为超越的有穷级的整函数,c∈C{0},令a(z)∈S(f)为非零的周期的整函数,周期为c.如果f(z)和f(z+c)分担集合{a(z),-a(z)}CM,则f(z)满足下面结论中的其中之一:(ⅰ)f(z)(?)f(z+c),(ⅱ)f(z)+f(z+c)(?)0,(ⅲ)f(z)=(?)(h_1(z)+h_2(z)),这里(?),(?),h_1(z)h_2(z)=a(z)~2(1-e~(-2γ)),γ是一个多项式。如果f(z)和△_cf分担集合{a,-a}CM,其中a∈C,我们可以得到类似上面定理的结果。作为上面定理的应用,我们研究了非线性的差分方程的解的情况,给出了f(z)~2+f(z+c)~2=a(z)~2的解的形式,同时得到f(z)~2+(△_cf)~2=a~2不存在非常数的有穷级的整函数解。另外,我们给出了C.C.Yang在University of Joensuu的一次讨论课中给出的一个问题的部分答案。他猜测下面的方程不存在无穷级的整函数解其中n≥2,b∈C{0}和h(z)是一个有穷级的整函数。我们也进一步改善[32,Theorem 8]中的分担值的条件,我们的结果说明f(z)仅是一个周期为c的函数。
李忠广[3]2007年在《亚纯函数及代数体函数的奇异方向》文中提出本文就分为四章.第一章,主要介绍了关于亚纯函数及代数体函数的Borel方向, T方向的国内外研究现状,复数域上值分布理论的基本概念,成果;以及本文的研究内容和创新.第二章,主要研究了有穷对数级亚纯函数与它的导函数的一些性质,得到了两个结果.其一是类似于Hayman方向的一个结果:定理1如果f (z)是复数域C上具有有穷对数级λ的超越亚纯函数,并且存在叁个有穷的复数a, b, c,满足b≠0, c≠0,b≠c,对于任意的正整数k,则有其二是类似于有穷级亚纯函数充满圆序列的一个结果:定理2设f (z)是复数域C上具有有穷对数级λ( 2<λ<+∞)的亚纯函数,如果射线Δ(θ0 )={z :argz=θ0}, ( 0≤θ0 <2π)是函数f (z)的对数级为λ?1的Borel方向,则存在一列圆序列:使得f (z)在每一个圆Γj内取任意的复数a至少δ次,至多除去一些在两半径为e ej的圆S 1 , S2内的复数,并且有lj i→m∞δj=1.第叁章,主要探讨了无穷级亚纯函数的T方向的问题.我们基于郑建华[1 6],郭辉[1 7]关于T方向的一些结果,得到如下结论:定理3设f (z)为复平面C上级为λ=∞的超越亚纯函数,则函数f (z)一定具有一条T方向.定理4设f (z)为复平面C上级为λ=∞的超越亚纯函数,则函数f (z)与它的各阶导函数f ( k )(z), ( k =1,2,3,)有公共的T方向.第四章,主要介绍了有穷代数体函数的T方向及其Borel方向之间的关系.得到有穷级代数体函数必存在一条T方向:定理5 w( z )为| z |<∞内的υ值代数体函数,它的级为ρ且满足0 <ρ<∞, u ( r )是其型函数,则存在一条射线B: arg z =θ0, ( 0≤θ0 <2π),使得对任意的正数ε, (0<ε<π2),在角域Δ(θ0 ,ε)内有对任意的复数a都成立,至多有2υ个例外值.并且还讨论了T方向与强Borel方向、最大型Borel方向以及Borel方向之间的关系.
王永军[4]2008年在《正规族与分担值》文中指出本文主要研究函数族的正规性问题,分别得到了亚纯函数族和全纯函数族的一些正规定则.正规性是单复变函数中的一个重要研究课题,国内外许多学者对此做出了大量卓有成效的研究工作.20多年来,把正规族与分担值结合起来研究成为一个活跃的课题.本文运用Nevanlinna值分布理论和正规族理论,继续研究了与分担值相关的函数族的正规性问题,得到了分担两个值的正规族,以及分担一个值的正规族的几个正规定则,推广和完善了相应的一些结果.
雷春林[5]2004年在《值分布论中的一些结果》文中认为本文主要研究一类全纯函数族的正规性问题及亚纯函数Wronakian行列式的亏量和的Ozawa问题。正规族是单复变函数中的一个重要研究课题，国内外许多学者在这方面做了大量卓有成效的研究工作。关于亏量和的Ozawa问题也是一个重要而有趣的问题。我们分叁章来阐述这些问题。 第一章，我们给出本文所要用到的一些亚纯函数值分布理论的方面的基础知识，常用记号和一些基本结果。 第二章，我们讨论了一类全纯函数族的几个正规定则，主要证明了以下定理： 设F为区域D内的一族全纯函数，k为正整数，n_0，…，n_k为k个非负整数，满足n_0+…+n_k≥ 2，且存在n_i≥1(0≤i≤k-1)。若对任意f(z)∈F，f(z)的零点重数≥k，且f~(n_0)(z)(f′(z))~(n_1)…(f~(k)(z))~(n_k)≠1，则F在D内正规。 第叁章，我们讨论了亚纯函数Wronskian行列式的亏量和的Ozawa问题，主要证明了以下定理： 设f(z)为有限级λ的亚纯函数，a_1，a_2…，a_n为f(z)的n个线性无关的小函数，L(f)=W(a_1，a_2…，a_n，f)为f(z)的Wronskian行列式，且T(r，f)=O(T(r，L(f))，则存在只与n，λ有关的正常数d，满足 (n／(3n+2))≤d≤(1／3)使得(?)δ(a，L(f))≤2-dK(λ)。
罗旭丹[6]2012年在《涉及分担值的亚纯函数若干问题》文中认为上个世纪二十年代,数学家R.Nevanlinna引进亚纯函数特征函数的概念并创建了着名的Nevanlinna理论,该理论的诞生推动了亚纯函数值分布论的蓬勃发展.在Nevanlinna理论不断完善的同时,其他复分析研究领域也随之大力发展,如亚纯函数正规族理论、亚纯函数唯一性理论、复微分方程理论和复动力系统理论.尤其随着学科方向的交叉和新的数学工具产生,许多经典复分析问题得到解决,例如,涉及小函数的Nevanlinna第二基本定理问题、Hayman问题、Gross问题等等；同时,许多新的研究问题得以发现.本文主要在导师指导下,讨论了亚纯函数差分多项式值分布问题和唯一性问题,以及由Hayman问题所延伸出亚纯函数微分多项式问题,这些问题都是近年来复分析研究工作者所兴趣的问题.论文的结构如下安排.第一章为预备知识.简单介绍Nevanlinna理论和一些常用符号,以及亚纯函数唯一性理论中的几个经典结果.第二章探讨涉及差分的亚纯函数值分布问题.首先研究了亚纯函数的差分多项式值分布问题和唯一性问题,其次证明了亚纯函数与其平移函数具有分担值(集)的一些唯一性定理.所得的结果推广和改进了文[32,I.Laine和C.C.Yang,Proc. Japan Acad.Ser.A,83(2007),148-151],文[28,K.Liu和L.Z.Yang,Arch.Math.92(2009),270-278],以及文[26,J.Heittokangas,R.Korhonen,etc,J.Math.Anal. Appl.355(2009),352-363]等的一些结果.同时,给出一系列例子说明定理中的条件是必需或者是精确的.第叁章研究亚纯函数微分多项式具有一个CM分担值的唯一性问题.所得结果推广和改进了文[49,方明亮等,南京大学数学半年刊,13(1996),No.1,44-48],文[36, Yang等,Ann.Acad.Sci.Fenn.Math.22(1997),No.2,395-406],和文[52,张晓宇和林伟川,J.Math.Anal.Appl.,343(2008):938-950]等的结果.第四章是结论.针对本文所研究内容,提出了有待解决的一些问题.
佚名[7]1986年在《索引》文中提出1.本索引是《数学学报》1936—1986年的数学论文作者索引(1936—1937),刊名为《中国数学会学报》,1951年为《中国数学学报》,1952年起用现名《数学学报》);分两部分:一中文、二外文:
黄小军[8]2006年在《亚纯函数值分布论和Circle Packing理论》文中进行了进一步梳理本文主要研究亚纯函数的值分布、正规族理论及其Circle Packing理论，全文共分四章。 第一章我们给出本文中要用到的一些基本知识：亚纯函数值分布论的基础知识和复分析里的一些结果。 设F是区域D(?)C内的一族亚纯函数。如果对于F中的任何序列f_n，一定存在一个子序列f_(n_k)，使得f_(n_k)在D内按球面距离内闭一致收敛到一个亚纯函数或内闭一致收敛到无穷，则称F在D内正规。 第二章我们研究正规族。在正规族理论中，寻找新的正规定则是一个重要的课题。在这一章中我们获得了一些新的正规定则，本章共分四节。 在2．1节和2．2节中，我们给出正规族理论的基础知识和一些已知的结果。在发现Zalcman引理以前，正规族理论中所惯用的方法是先建立界囿定理，再消去原始值。而Zalcman开辟另外的途径，从Marty正规定则出发建立了一族亚纯函数不正规的一个充要条件，我们称之为Zalcman引理。在2．3节中，我们详细地介绍了Zalcman方法及其发展。 在2．4节中，我们把已有的正规定则的条件中涉及函数取复数值与否的问题，改为函数取全纯函数与否的情形。其中主要困难在于当复数换成全纯函数时，对其零点的处理问题。我们综合运用了正规族理论中已有的各种方法，克服了在零点处的困难，获得了一些正规定则，其中包括定理2．4．4、定理2．4．7、定理2．4．8、定理2．4．10、定理2．4．11、定理2．4．12和定理2．4．14等。 第叁章，我们主要研究亚纯函数的值分布。设f(z)是开平面上的超越亚纯
陈健[9]2018年在《多复变亚纯映射的唯一性问题》文中指出值分布论,这一分析学的伟大分支,是由R.Nevanlinna[1]开创的。后来很多数学大家的加入使得这个理论成为了分析学中最富有成果的理论之一,而值分布论的成果也哺育了到其他一些分支。从二十年代开始,R.Nevanlinna、Cartan、Bloch、Weyl、Ahlfors、Stoll、Vojta、Fujimoto等人开始展开对单、多复变亚纯映射值分布理论的全方位的研究。在这之后,值分布论有了很大发展。产生了许多非常深刻、优美的伟大工作。值分布理论中的许多结果还广泛介入了其他数学领域的发展,成为了很多数学分支的有力的研究工具,丰富了它们的研究方法,大大地促进了它们的发展。比如唯一性、复微分方程、复动力系统、丢番图逼近、正规族判定、双曲几何等领域的一些重大进展就是与值分布理论分不开的。唯一性问题在值分布理论中居于重要地位,它研究在哪些值分布条件下可以唯一地定出一个亚纯函数或者亚纯映照。Nevanlinna[2]首先迈出了重要一步,他得到了五值定理。研究从Cm到Pn(C)上亚纯映射的唯一性从1970s开始。Fujimoto证明了几个重要的结果。那几个结果可以视作五值定理在高维上的类比。在该课题的随后的发展中,Smiley,Dethloff,Risto Korhonen等人也做出了一些突破。本文在他们的基础上,运用他们的方法,得到了两个唯一性结论。具体安排如下:第一章介绍多复变值分布的基础知识和分担超平面问题唯一性问题的基本概念。包括:超平面有关概念,值分布中的基本符号,值分布中的计数函数、特征函数,亚纯映射分担超平面的第一、二基本定理等等。第二章改进了两个唯一性结果:通过将完全分担条件改为部分分担条件,改进了曹庭彬、仪洪勋的命题,得到了一个分担超平面的亚纯映射的唯一性定理。通过将部分分担条件改为完全分担条件,去掉了一个极限条件,从而改进了吕峰的一个分担超平面的唯一性结果。具体如下:定理2.3 f,g是两个从Cm到Pn(C)上的线性非退化亚纯映射(简记Lmap),Hj(1 ≤j≤q)是q个处于一般位置的超平面(简记Gplane),当i≠j时,有dim f-1(Hi ∩ Hj)≤ m-2,mj.(j = 1,2,…,q)是q个正整数或∞,s.t.m1≥m2...≥mq≥n,假定且在Uj=1q{z ∈Cm| 0
聂俊[10]2017年在《全纯曲线的第二基本定理的差分模拟以及费马型微分差分方程解的性质》文中研究指明第二基本定理在Nevanlinna值分布理论中占有很重要的地位,可以用它来解决复微分方程和差分方程中很多问题,甚至直接可以判断方程的解是否存在和唯一性。故Nevanlinna理论的第二基本定理形式是非常重要。本学位论文内容包括:第1章介绍本学位论文的研究背景和主要的工作;第2章介绍Nevanlinna理论中的基础知识和本文中用到的相关知识;第3章介绍运用高等代数中的线性方程和矩阵的知识将单复变量到复射影空间中分担超平面的差分形式下的第二基本定理的结果成功地推广到单复变量到复射影空间中分担超曲面的差分形式下的第二基本定理及其相关的结论;第4章介绍费马型微分差分方程解的值分布的一些结果。
参考文献：
[1]. 亚纯函数与其导数的分担值问题[D]. 亓金锋. 山东大学. 2010
[2]. Nevanlinna理论在差分多项式中的应用[D]. 刘凯. 山东大学. 2009
[3]. 亚纯函数及代数体函数的奇异方向[D]. 李忠广. 长沙理工大学. 2007
[4]. 正规族与分担值[D]. 王永军. 重庆大学. 2008
[5]. 值分布论中的一些结果[D]. 雷春林. 南京师范大学. 2004
[6]. 涉及分担值的亚纯函数若干问题[D]. 罗旭丹. 福建师范大学. 2012
[7]. 索引[J]. 佚名. 数学学报. 1986
[8]. 亚纯函数值分布论和Circle Packing理论[D]. 黄小军. 四川大学. 2006
[9]. 多复变亚纯映射的唯一性问题[D]. 陈健. 山东大学. 2018
[10]. 全纯曲线的第二基本定理的差分模拟以及费马型微分差分方程解的性质[D]. 聂俊. 南昌大学. 2017