浙江省苍南中学325800
近几年来,不等式恒成立问题成为了高考的一个热点,而解含有参数的不等式是不等式问题中的难点，也是近几年高考的热点。在具体求解不等式过程中，人们常常因为忽视对它的理解与全面掌握，从而造成了一些尴尬。如前几天笔者在给学生答疑时就遇到了此类问题。
下面是笔者在辅导时的一个教学片断，现摘录如下：
题目1：已知a=（1,x），b=（x2+x,-x）,m为常数，且m≤-2，求使不等式a·b+2＞m（+1）成立的x的范围。
学生：由a·b=x，则不等式即为x+2＞m（+1）,令f（m）=（+1）m-x-2,要使不等式（+1）m-x-2＜0，且m＜-2成立，则，解得x∈（0,+∞）。
师：想法很好啊，怎么想到的？
生：老师您前几天不是讲过一道题吗？
对于满足0≤p≤4的实数p,使x2+px>4x+p-3恒成立的x的取值范围是老师您当时不就是把式子变形为（x-1）p+（x2）-4x+3>0，后令f（p）=（x-1）p+（x2）-4x+3，从而把式子视作以p为元的一次函数，由单调性可知，只需f（0）>0且f（4）>0即可，从而得：x2-4x+3>0且x2>1，解得：x<-1或x>3。
师：嗯，不错，你学得很好，这种变元处理有时很能奏效的，不过问题一定要瞧清楚了，谁为主元，谁为常数。这题也是这么处理的吗，我粗略地判断一下，就给予肯定的结论了。
哪知这位学生却说：不对啊，老师这与题目给的答案对不上啊？
师：啊，是吗？（尴尬）（我开始意识到问题没那么简单）我开始仔细地重新看了看题目，想难道这种方法不对，不会啊，变元处理很恰当，那问题出在哪呢！几分钟后我知道了问题不在方法上，在题意的理解转化上。
师：x=-3能使x+2＞m（+1）成立吗？
生：代入后发现，只要m<-3上式是可以成立的。
师：那也就是说若x＞0，则不等式x+2＞m（+1）将恒成立，而x+2＞m（+1）成立却能推出除x＞0以外的值，说明x＞0只是不等式x+2＞m（+1）恒成立充分条件并非充要条件。
生：哦，那就是说这道题目不是叫我们求它恒成立的条件，而是求它成立的充要条件。
师：是的，也就是说其实就是叫我们解不等式了。
生：哦，(一番思考后）得到解法,将不等式（x+2）＞m（+1）移项整理，得：（x+2）（-1）<0，即（x+2）<0，解得：当m=-2时，x∈（0,+∞），当m<-2时，x∈（m,-2）∪（0,+∞）。
反思感悟：这种变元处理的方法似乎非常完美地化归不等式，构造函数，考虑一次函数的单调性，寻找条件，求解不等式，一气呵成。可却不知一开始方向就错了，把问题理解成了恒成立问题了。实质上这道题是求不等式恰成立的形式，而不是恒成立问题，学生往往走入误区，理解为恒成立问题，用恒成立的方法解决此类问题，就会造成偏差。所以在解不等式问题时，首先要理解题意，到底是恒成立还是恰成立问题，避免错解。而学生1的方法就是用了恒成立条件，从而得到的答案仅仅只是该不等式成立的一个充分条件，实质上该不等式的解集是恰成立的形式，两者既有联系又有区别。
生：老师，那这道题目您再帮我看看，我的解答与答案也是对不上的，问题是不是也出在这呢。（学生出示第二道题）
题目2：已知函数f（x)=ax2+bx+1（a<0,b∈R）,设方程有两个实数根x1，x2，如果0<x1<2，且f（x)=x的两根相差为2，求实数b的取值范围。
生：由ax2+bx+1=x，得ax2+（b-1）x+1=0。根据题意，设两个根分别为x1，x1+2，∴f（x1）=f（x1+2），∴ax12+（b-1）x1+1=a（x1+2）2+（b-1）（x1+2）+1，即2ax1+2a+b-1=0，又因为0<x1<2，且a>0,再利用一次函数单调性，有，即，解得：b<1。
答案提供：已知x1x2=>0,∴x1与x2同号，又∵0<x1<2,|x2-x1|=2,∴（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=-=4,∴2a+1=（b-1）2+1，由g（2）<0，得4a+2b<1，代入上式有2（b-1）2+1<3-2b，解得：b<。同样问题不是在方法上，还是在题意理解转化上。
师：方法1根据根始终介于0到2之间，并且单调递增，所以合情合理地根据条件，得到b<1,从答案来看，范围显然扩大了，误区在哪呢？实质上b<1仅仅只是对方程2ax1+2a+b-1=0存在解x1∈（0,2）成立，根据的是零点存在定理，而题目本身是要在（0，2）上的任意一个x1方程都得成立，本身是个恒成立问题，而且方程的成立不能忽略参数a,b的制约。
反思感悟1：由于解决数学恒成立问题，“变元法”的方法经常运用，造成了学生的定向思维，将“成立”误解为“恒成立”，误用等价转化，从而出现各种各样的错误。为了将“恒成立”问题“正本清源”，应将几种常见错误分析总结。例如将“成立”升格为“恒成立”，该类问题的解答错误常出在将“不大于”(或不小于)与“恒不大于”(或恒不小于)混淆，直接利用“恒不大于”(或恒不小于)来解决“不大于”(或不小于)问题。
反思感悟2：通过上述分析，我们知道对不等式成立问题要全面地加以分析，一方面要弄清题意，不等式成立问题有恰成立、恒成立、能成立问题，对每一不等式都得全面比较分析，弄清题意，再进行理解转化；另一方面要站在用函数思想解题的高度来处理问题，若在不等式中出现两个变量,其中一个变量的范围已知,另一个变量的范围为所求,且容易通过恒等变形构造函数,但对函数的应用要合理正确。
反思感悟3：对学生在解题过程中一再地造成这种误解的原因，主要还是在复习过程中，过于强调恒成立，而造成学生思维定势，没有将这类问题在数学学习方面作一些广泛的比较。推广到我们平时的新方法介绍课上，我们更要站在更高的角度，对学生已有的方法与新方法进行全面的比较分析，让学生主动地比较，得出适用范围背景，才能避开出现负迁移现象，才能避开出现学生学了新方法后还是不敢用，念念不忘的还是老方法。
参考文献
[1]王连笑《教你怎样学数学》.2004年7月。
[2]《中学数学教学参考》.2011年3月刊。