有限群可解的若干充分条件

论文摘要

本文主要研究子群的性质对有限群结构的影响.第一章介绍了研究背景.第二章介绍所需的一些基本概念与基本引理.在第三章,集合/K（G）}对有限群的影响已经被研究出来并且获得一些新结果.在第四章,通过利用群G在其不可约特征标集合以及共轭类集合上的作用之间的关系,得到了Frobenius群的一个特征标刻画.具体结果如下:定理3.1设G是有限群,K（G）={1,m,m+2}.H,N是G的非平凡正规子群,ξ（H）==m,ξ（N）=mm+2,则当G交换时有下列结论之一成立:（1）H∩N=1 时,G H × N,其中 |H|=p,|N|=q,且q-p=2;（2）H∩N≠1 时,K（G）={1,2,4},此时G（?）Z4 × Z2,Z2 × Z2 × Z2,G（?）Z8.定理3.2设G是非交换p-群且K（G）={1,m,mm+2}.则G的阶为33,G的结构可分为两种情况:（1）G=<a,b |a32=b3=1,b-1ab=a4);（2）G=<a,b |a3=b3=c3=1,[a,b]=c,[a,c]=[b,c]=1>.定理3.3设G为非交换且非素数幂阶的可解群.则K（G）={1,m,m+2}当且仅当下列陈述之一成立:（1）G是Frobenius群,G’是G的核且G’是G的极小正规子群,G’在G中有9阶或者pq阶循环补,其中（p,q）=1,q=（P-1）/2;（2）G/N（?）Zp × C3n是G的唯一极小正规子群且N是p-群.且对任意x∈G-N,有 =9.定理3.4设G是非可解群.则K（G）={1,m,m+2}当且仅当下列陈述之一成立:（1）|G/G’| = 9,G’非可解且G’是G的唯一极小正规子群.进一步,对任意3阶元x∈G-G’,有|CG（x）|=9;（2）G=G’× Z（G）,|Z（G）|=m是素数,G’是单群且ξ（G’）=m+2;（3）G有两个正规子群G’和G",G"非可解且G/G"（?）Zp × C3,p=（3n-1）/2,p是素数.并且对任意x ∈ G’-G",|CG（x）|=1或|CG（x）|=3.定理3.5设G为幂零群.则|K（G）| =4当且仅当G是p4阶群,且对G的任意非平凡正规子群M,N,当 |M| = |N| 时,有ξ（M）=ξ（N）.特别地,K（G）= {1,p,p2,p3}或K（G）={1,p,2p-1,p2+2p-2}或K（G）={1,p,p2,2p2-1}.定理3.6设群G是非幂零的可解群,G’是G的唯一极小正规子群.则|K（G）| =4当且仅当G是形如Cpn×Irr C3qr或者形如Cpn×Irr Cq3的Frobenius群.定理3.7设G是非幂零的可解群,G的极小正规子群不唯一,且G’不是G的极小正规子群.若对G的任意极小正规子群M,N,有ξ（M）=ξ（N）,则|K（G）| =4当且仅当G是形如（Cpm× Cqn）×Irr CN的Frobenius群,且M,N,G’是G的所有非平凡正规子群.特别地,K（G）={1,1+（pm-1）/r,1+（qn-1）/r,1+（pmqn-1）/r}.定理4.2设G是可解群,如果每个χ ∈ Irrm（G）都是拟本原的,则G是交换群.定理4.3设G是M-群,G的导列长为l,则G是关于G（l-1）的相对M-群.

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文章来源

类型: 硕士论文

作者: 刘雪霞

导师: 卢家宽

关键词: 可解群,子群共轭类的个数,不可约特征标

来源: 广西师范大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 广西师范大学

分类号: O152.1

总页数: 33

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