线性二次正倒向随机微分系统的博弈问题及其在金融中的应用

论文摘要

博弈论又称对策论,是研究多个理性决策者之间战略互动策略的数学模型,其广泛地应用于经济金融、生命科学、计算机科学等领域.现代博弈论起源于John von Neumann对于二人零和博弈问题中相关混合均衡策略的研究,在他与Morgenstern的著作《博弈论与经济行为》中,首次详细的讨论了有多个博弈者参与的合作博弈问题.在此之后,博弈论凭借其优良的理论特性及广阔的应用空间,得到了人们的持续关注及深入研究,博弈理论也取得了不断的发展及长足的进步,例如:非合作博弈下的Nash均衡理论,博弈者地位不一致下的Stackelberg博弈问题,以及博弈参与者人数众多时的平均场博弈问题等.而在随机微分博弈中,人们尝试以随机微分方程刻画参与者受到噪声干扰时所满足的状态系统,进而构建相应的博弈模型,并对其展开相应的策略研究.随着1990年国际著名概率学家、法国Pardoux教授与中科院院士彭实戈教授引入非线性倒向随机微分方程,凭借其在期权定价、最优投资等金融问题中闪耀的光芒,与其相关的倒向随机微分系统博弈问题的研究也逐渐成为新的研究热点.本篇论文在前人研究基础之上,就几类线性二次正倒向随机系统的微分博弈问题展开进一步深入研究,并尝试利用相关的理论结果解决部分金融中的实际问题.全文主要分为以下七个部分,具体结构如下:论文的第一章,主要就本文所涉及的相关问题的研究背景展开深入介绍,并详细阐述了之后每一章节的主要学术贡献.论文的第二章,主要研究了一类由N个博弈者参与的线性二次倒向随机微分系统平均场博弈问题.相较于已有的平均场微分博弈问题所不同的是,在本章所研究的大人口系统中,每一个博弈者的状态方程均由一个线性倒向随机微分方程给出,该方程包含公共及个人两组相互独立的布朗运动,以用来刻画每个博弈者均会受到公共噪声与个人噪声的双重影响,且弱耦合项作为基准点出现在目标泛函中,以刻画个体与整体的差异大小.为解决该问题,首先引入极限过程,构造相应的倒向线性二次随机控制问题作为原问题的附属问题,进而运用变分技术并借助Hamilton系统（正倒向随机微分方程）,得到了相应的倒向开环分散最优策略的表达式,并在此基础上得到了相应的Hamilton型相容性条件.接下来,为了得到相应开环策略的反馈表达形式,我们引入相应的Riccati方程,借助其对上述的Hamilton系统进行解耦合处理,成功得到了该问题开环最优策略的反馈表达形式及其相应的Riccati型相容性条件,并进一步证明了上述所得两种策略在一定条件下的等价性.最后,利用正倒向随机微分方程解的估计,证明了之前所得分散策略的ε-Nash均衡性质.同时,当系统退化为常系数系统时,相应的最优策略可以显示地表达出来,便可将其应用于解决一类特殊的二次对冲问题中,并得到了相应关键参数的灵敏性分析结果.论文的第三章,受保险精算中实际问题的启发,研究了一种由N个博弈者参与、含有终端约束的弱耦合线性二次正向随机系统的大人口问题,研究中发现该类问题与上一章节所研究的倒向随机微分系统大人口问题有着密切的联系.为解决该问题,首先利用惩罚方法,将原问题转化为一族含有惩罚因子λ的平均场博弈问题,转化后问题的分散最优策略便可由经典方法得到,该策略可由两个含有惩罚因子λ的初终端条件完全耦合的正倒向随机微分方程（即Hamilton系统与相容性条件系统）给出.然后,考虑当惩罚因子趋于无穷时,借助完全耦合的正倒向随机微分方程的参数连续依赖性,得到并证明了原问题的解与一类线性二次倒向平均场博弈问题的解相同,即两类正倒向大人口问题相互等价.最后,通过引入相应的Riccati方程,得到了原问题解耦合形式的最优策略,并应用其解决了本章开始所提及的保险公司和养老基金的最优保费及最优资产配置问题,得到了相应的最优投资策略与应收取的最优保费.论文的第四章,不同于之前终端受约束的情形,我们研究了一类由N个博弈者参与、控制受约束的线性二次正向随机微分系统的社会最优问题.这里需要特别说明的是,与之前两章所研究的大人口问题中各博弈者互为竞争关系所不同,本章所研究的社会最优问题中的每个博弈者之间是互相协作的,并为实现一个共同的目标而努力.具体而言,前两章节中所研究的平均场博弈问题本质上为一类非合作博弈问题,在该问题中,每一个博弈者只关心自己最终结果的好坏而不关心其他人的结果,从而其他个体的微小变化均可忽略不计,但对于本章所研究的社会最优问题（本质为一类合作博弈问题）而言,该现象便有着很大的不同之处.在社会最优问题中,由于所有参与者是一个团结的整体,他们有着共同的目标并会为此相互协作,从而每个个体决策的微小变动都会被全体参与者所考虑,大量的微小变动相累加便会变得不可忽略并会对相应结果产生明显的影响.因此,为了解决该问题,引入相应的辅助控制问题时,我们需要仔细考虑当其中一个个体变化时,整体究竟会受到何种程度的影响,从而通过复杂的变分计算得到更加准确的辅助问题.进而借助最大值原理,得到了相应辅助问题的最优控制,其由一个非线性完全耦合的正倒向随机微分方程给出.进一步,证明了辅助问题的最优解即为原问题的一个近似社会最优策略,即在该策略下,每个博弈者的社会最优成本与真实最优成本间,仅相差一个1/N1/2阶的ε.接下来,在控制所受约束为线性子空间约束条件下,通过引入相应的Riccati方程,得到了上述问题的反馈形式最优策略.最后,将其应用于解决一类受线性投资约束的最优投资组合问题中,得到了相应的最优策略,并通过相关的数值模拟,验证了本章所得到的理论结果,也就该结果与经典大人口问题结果作出了相应的对比与比较.论文的第五章,研究了一类有关平均场倒向随机微分方程的Stackelberg微分博弈问题.与之前大人口问题系统中含有很多个博弈者不同,本章所研究的博弈问题包含两个地位不相同的博弈者,分别称为领导博弈者与跟随博弈者.由于博弈者的地位不同,从而需要分开解决.首先,对于跟随博弈者,引入一类倒向平均场随机线性二次最优控制问题,并借助变分技术得到了其相应的开环解,进一步引入四个Riccati方程,运用相应的解耦技术,得到了相应的开环最优控制的反馈表达形式.然后,领导博弈者转而解决一类由一个正向、两个倒向平均场随机微分方程系统所驱动的最优控制问题,借助于一组高维完全耦合的Riccati方程,得到了领导博弈者的开环Stackelberg均衡策略及其状态反馈表达形式.最后,作为之前所研究模型的特例,我们将其应用于解决一类养老金优化管理问题中,得到了该类问题的最优保费策略.论文的第六章,借助一类特殊的双边反射倒向随机微分方程,通过解决相应的Dynkin博弈问题,研究了一类发行者与持有者分别具有赎回与回售选择权的可转换债券的定价问题.首先,对于只含有回售条款的可转换债券,通过构造投资组合,复制其相应资产过程,将其定价问题转化为一类特殊的最优停时问题,从而借助单边反射倒向随机微分方程,得到了该类债券的公平价格.在此基础上,进一步将可赎回-回售可转换债券看做一类特殊的Dynkin博弈问题,借助于双边反射倒向随机微分方程,得到了可赎回-回售可转换债券的价格公式,并利用双边反射倒向随机微分方程的比较定理,得到了可赎回-回售可转换债券价格对一些关键参数的敏感性分析结果.最终通过解决一个含障碍的抛物型偏微分方程,得到了可赎回-回售可转换债券价格的数值模拟结果,并验证了我们本章所得到的理论结果.论文的第七章,总结了本论文相关结果并给出了进一步研究的展望。

论文目录

摘要

Abstract

符号说明

第一章绪论

1.1 倒向随机微分系统的线性二次平均场博弈问题

1.2 含终端约束的平均场博弈问题及其与倒向平均场博弈问题间的联系

1.3 线性二次控制含约束的社会最优问题

1.4 线性二次平均场倒向随机微分系统的Stackelberg博弈问题及其应用

1.5 可赎回-回售可转换债券的定价问题

第二章倒向随机微分系统的线性二次平均场博弈问题

2.1 问题描述

2.2 倒向线性二次平均场博弈辅助控制问题及相容性条件

2.2.1 Hamilton型相容性条件

2.2.2 Riccati型相容性条件

2.3 渐进性分析:ε-Nash均衡

2.4 一维情形

1=0'> 2.4.1 特殊情形:Q=S=S₁=0

2.5 小结

第三章含终端约束的线性二次平均场博弈问题及其与倒向平均场博弈问题间的联系

3.1 研究动机:养老金的最优保费及最佳资产配置问题

3.2 问题描述

3.3 具有惩罚因子的正向线性二次平均场博弈问题

3.3.1 无约束大人口问题及其附属问题

3.3.2 相容性条件

3.3.3 渐进性分析:ε-Nash均衡

3.4 线性二次倒向平均场博弈

3.5 线性二次正倒向平均场博弈间的联系

3.6 解耦形式的最优策略与数值模拟

3.6.1 Riccati方程与解耦合

3.6.2 养老金最优保费及投资策略的数值模拟

3.7 小结

第四章线性二次控制含约束的社会最优问题及其应用

4.1 问题描述

4.2 辅助随机控制问题与分散策略设计

4.2.1 社会学变分解释

4.2.2 平均场近似策略

4.3 渐进社会最优

4.4 线性子空间约束情形

4.5 数值模拟及分析

4.5.1 含线性投资约束的最优投资问题

4.5.2 与无约束情形的对比

1,K₂的灵敏性分析'> 4.5.3 权重参数K₁,K₂的灵敏性分析

第五章线性二次平均场倒向随机微分系统的Stackelberg博弈问题及其应用

5.1 问题描述

5.2 跟随博弈者的最优策略

5.3 领导博弈者的最优策略

5.3.1 领导博弈者Riccati方程的可解性分析

5.4 养老金问题的应用与数值模拟

5.5 小结

第六章可赎回-回售可转换债券的定价问题

6.1 问题描述与符号定义

6.2 可回售可转换债券的定价

6.3 可赎回-回售可转换债券的定价与Dynkin博弈

6.4 数值模拟与灵敏性分析

6.4.1 四种可转换债券的价格及其受股票初始价格与到期日的影响

6.4.2 无风险利率的敏感性分析

6.4.3 到期价格、赎回价格和回售价格对可赎回-回售可转换债券价格的影响

6.4.4 赎回、回售保护价格的灵敏性分析

6.5 小结

第七章总结与展望

参考文献

攻读博士学位期间完成论文情况

致谢

文章来源

类型: 博士论文

作者: 杜凯

导师: 吴臻,黄建辉

关键词: 正倒向随机微分方程,线性二次问题,随机微分博弈,大人口问题,平均场博弈,社会最优,博弈,渐进均衡,最大值原理,可赎回回售可转换债券,灵敏性分析,最优投资组合,养老金管理

来源: 山东大学

年度: 2019

分类: 基础科学,经济与管理科学

专业: 数学,数学,宏观经济管理与可持续发展,金融

单位: 山东大学

分类号: O225;F224.32;F830

总页数: 164

文件大小: 8735K

下载量: 241

线性二次正倒向随机微分系统的博弈问题及其在金融中的应用

论文摘要

论文目录

文章来源

相关论文文献

猜你喜欢