时空分数阶扩散方程的最小二乘混合有限元方法及其理论分析

论文摘要

现实世界中存在着众多反常扩散现象,例如,河口泥沙运输过程中出现的具有长尾的羽流现象,打印机中碳粉的输运过程以及源于湍流、混沌动力学,粘弹性问题中的非费克扩散过程等,这些扩散现象通常都是利用二阶扩散方程给出数学刻画。但大量的数学物理实验和现场试验表明,分数阶扩散方程可以给出对这些反常扩散现象更为准确地数学刻画.对此,我们可以借助于傅里叶变换,拉普拉斯变换等数学手段求出某些具特殊结构的分数阶扩散方程的解析解,但对一般的分数阶扩散问题却难以获得解析解,只能通过有限元,有限差分方法等数值方法获得数值解.为了满足工程上的需要,理想的数值方法应在关注未知函数的同时还需关注其扩散通量.常规的思路是,通过引入扩散通量u=-Dp作为中间变量,建立恰当的变分原理,以此构造标准的混合有限元方法.据此构造能同时高精度逼近未知函数与扩散通量的有限元方法.但标准的混合有限元方法涉及的函数空间需满足LBB条件,使该方法难以直接应用到在分数阶问题上.本文中,我们仍然引入扩散通量u=-Dp作为中间变量,采用最小二乘框架,对时空分数阶扩散问题建立最小二乘变分形式与最小二乘混合元方法,从而可避免了对相应函数空间满足LBB条件的限制.本文第一部分讨论下列由单边Riemann-Liouville分数阶导数刻画的守恒型分数阶对流扩散方程[37,38,43,70]其中,Ω=（0,1）,0<β<1,f∈ L2（Ω）表示源或汇项;（?）/（?）t和D=（?）/（?）x分别为关于时间、空间的一阶导数算子,0Dx是由（2.2.3）式定义的1-β阶左Riemann-Liouville分数阶积分算子.在本文中,我们借鉴陈焕贞和王宏在文献[6]中的思路,通过引入扩散通量u=-Dp作为中间变量,对上述依赖时间的分数阶扩散方程建立了相应的最小二乘变分形式,构造了相应的最小二乘混合有限元格式以同时高精度逼近未知函数与扩散通量,并利用向后欧拉方法对时间导数进行离散,建立了全离散最小二乘混合有限元离散格式.该方法的优点在于有限元空间无需满足LBB条件.进一步,我们证明了由最小二乘形成的极小问题与变分形式的等价性,并利用双线性形式所满足的Garding不等式[13,14],证明了最小二乘混合有限元离散格式解的存在唯一性以及最小二乘混合元解对真解的收敛精度.数值实验表明所提出的最小二乘混合元数值格式可有效地模拟由上述分数阶对流扩散方程所刻画的反常扩散输运模型.但大量的反常扩散或非菲克输运过程都表现为超扩散现象[45,60],即关于时间与空间的导数均为分数阶情形[62,70].因此,在本文的第二部分,我们主要研究下列时空分数阶扩散问题我们仍通过引入未知函数的通量导数u=-Dp作为中间变量,以此建立相应的最小二乘问题的变分形式与相应的最小二乘混合有限元格式[2,3],对空间变量采用有限元格式离散,对时间项α阶的Caputo导数采用L1格式离散[23,71],构造出了全离散最小二乘混合有限元格式[2,3].该方法同样无需满足LBB条件,进一步,利用Garding不等式[13,14],证明了离散格式解的存在唯一性,以及最小二乘混合元数值解对真解具有最优逼近精度[27].数值实验验证了文中的收敛性结论.

论文目录

文章来源

类型: 硕士论文

作者: 刘思宇

导师: 陈焕贞

关键词: 时空分数阶偏微分方程,反常扩散,最小二乘混合有限元方法,格式,不等式

来源: 山东师范大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学,数学

单位: 山东师范大学

分类号: O241.82

DOI: 10.27280/d.cnki.gsdsu.2019.000034

总页数: 51

文件大小: 2156K

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