Riemann-Hilbert方法在非线性可积PDEs解的长时间渐近分析中的应用

论文摘要

本文主要研究1+1维,即时间和空间都是一维的完全可积非线性偏微分方程解的长时间渐近行为.这些方程在数学物理中有着广泛的应用,为了模拟实际应用并理解一些非线性现象,考虑衰减的以及非消失边界条件的初值问题和初边界值问题是很有必要的.第一章简要回顾了近几十年来Riemanm-Hilbert方法在可积系统中应用的一些重要进展,并给出本文的主要结果和对未来工作的展望.第二章讨论扩展的高阶修正KdV方程的初值问题.假设初值快速衰减,证明了该初值问题的解可以用一个2 × 2矩阵Riemann-Hilbert问题的解来表示,此Riemann Hilbert问题的跳跃矩阵由两个谱函数a（k）,b（k）确定,而这两个谱函数由初值精确确定.利用非线性速降法对得到的Riemann-Hilbert问题进行分析得到了初值问题解在物理感兴趣区域上渐近主项的精确表达式.这个问题的难点在于Riemanm Hilbert问题涉及的相位函数有四个驻相点,渐近分析更复杂.此外,当方程中的参数α=0时,研究了方程解在区域P={（x,t）∈ R2|0<x ≤ Mt1/5,t≥ 3}中的渐近性.证明了解的渐近性可由一个四阶Painlevé Ⅱ方程的解给出.第三章研究修正的短脉冲方程在直线上的初值问题.从方程的Lax对出发构造了相应的Riemanm-Hilbert问题,用Riemann-Hilbert问题的解给出了方程解的参数表示形式,进一步研究了解的长时间渐近行为并且重构了孤立子解.与第二章分析不同的是修正的短脉冲方程具有Wadati-Komno-Ichikawa型Lax对,为了建立Lax对方程解在k=0和k=∞附近的解析性质,需要对其进行适当的变换.另一方面.修正短脉冲方程的解是估计2 × 2矩阵Riemann-Hillbert问题解在k→0时的渐近性而构造的.第四章研究Hirota方程在四分之一平面上的初边值问题.利用统一变换方法.证明了Hirota方程的解可以用一个复k-平面上的2×2矩阵Riemann Hilbert问题的解来表示,该Hilbert问题的四个跳跃矩阵由谱函数a（k）,b)（k）和A（k）B（k）所确定,而a（k）,b（k）是由初值确定A（k）,B（k）则由边位确定.结合速降法的思想,分析了该初边值问题解的长时间渐近行为.与Hirota方程初值问题解的渐近分析相比较,初边值问题对应的Riemann-Hilbert问题除了在实轴RR上有跳跃外,在额外的两条曲线上也有跳跃.在这两条曲线上Riemann-Hilbert问题的跳跃矩阵是由新的谱函数h（k）确定,在渐近分析中应对h（k）做适当的解析分解.另外,额外存在的两个跳跃会导致周线形变更复杂.第五章分析了 Gerdj ikov-Ivanov型导数非线性Schr（?）dinger方程在直线上的初值问题,其中初值q（x,0）给定,在无穷远处满足对称的非零边界条件.即x→±∞,q（x,0）→q±且|q±|=q0>0.本章旨在研究当t→∞时.该初值问题解的渐近行为.利用速降法和g-函数技巧对相应的矩阵Riemann-Hilbert问题进行渐近分析,证明了解q（x,t）在xt-平面的不同区域中具有不同的渐近行为.在区域（?）和（?）,解的渐近形式是平面波;在区域（?）<x<（?）,解趋于椭圆波形式.

论文目录

文章来源

类型: 博士论文

作者: 刘男

导师: 郭柏灵

关键词: 可积非线性偏微分方程,问题,非线性速降法,统一变换方法,孤立子解

来源: 中国工程物理研究院

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 中国工程物理研究院

分类号: O175

DOI: 10.27498/d.cnki.gzgwy.2019.000042

总页数: 145

文件大小: 4997K

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