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用PML和少模态DtN边界截断的衍射光栅问题的自适应有限元方法

2020-12-02阅读(206)

用PML和少模态DtN边界截断的衍射光栅问题的自适应有限元方法

论文摘要

本文研究一维衍射光栅(单周期光栅)和二维衍射光栅(双周期光栅)问题的自适应PML有限元方法,其数学模型分别对应二维平面上的Helmholtz方程和三维空间中的Maxwell方程组.对这两个问题,我们使用PML技术将其转化为有界区域上的问题.并且提出用少模态DtN边界条件截断PML,使得那些无法被PML有效吸收的(近似)Rayleigh共振模态完全透射出去而不产生反射.我们证明了,无论是否发生(近似)Rayleigh共振,截断PML解关于PML参数和厚度一致指数收敛于原光栅问题的解.我们在周期网格上建立了有限元离散,并且得到了后验误差上界估计,其由有限元离散误差和PML截断误差两部分组成.基于后验误差估计,我们建立了相应的自适应有限元算法.对于一维光栅问题,我们通过几个数值算例以及对比,说明了我们的方法是稳定有效的.并且拟最优收敛.同时,为了克服光栅问题自适应加密过程中需要保持网格周期性的困难,本文考虑一个相对简单的模型,即探究在非周期网格上求解带有周期边界条件的Poisson方程的方法.我们提出了一种对称的边界加罚有限元格式,在假设精确解有H2正则性的前提下.先验误差估计表明,离散解的H1误差关于网格尺寸一阶收敛.L2误差二阶收敛.另外,当网格满足可容条件时,我们得到了后验误差的上界估计.

论文目录

  • 摘要
  • Abstract
  • 第1章 绪论
  •   1.1 衍射光栅问题
  •   1.2 有限元方法在光栅问题中的应用
  •   1.3 自适应有限元方法
  •   1.4 PML技术
  •   1.5 本文的工作
  • 第2章 一维光栅问题的自适应PML有限元方法
  •   2.1 一维光栅问题
  •   2.2 变分问题
  •   2.3 PML技术
  •     2.3.1 PML方程
  •     2.3.2 少模态DtN算子和截断PML问题
  •     2.3.3 截断PML解的指数收敛性
  •   2.4 离散问题
  •     2.4.1 有限元
  •     2.4.2 误差表示公式
  •     2.4.3 PML延拓的稳定性
  •     2.4.4 后验误差估计
  • 2>0的情形'>    2.4.5 Imε2>0的情形
  •   2.5 数值算例
  • 第3章 二维光栅问题的自适应PML有限元方法
  •   3.1 二维光栅问题
  •   3.2 变分问题
  •     3.2.1 一些定义和记号
  •     3.2.2 透明边界条件与变分问题
  •   3.3 PML技术
  •     3.3.1 PML方程
  •     3.3.2 少模态DtN算子和截断PML问题
  •     3.3.3 截断PML解的指数收敛性
  •   3.4 离散问题
  •     3.4.1 组合有限元和离散问题
  •     3.4.2 改进的局部误差指示子
  •   3.5 后验误差估计
  •     3.5.1 误差表示公式
  •     3.5.2 PML延拓的稳定性
  •     3.5.3 Helmholtz分解
  •     3.5.4 Scott-Zhang插值
  •     3.5.5 定理3.6的证明
  • 第4章 非周期网格上的边界加罚有限元方法
  •   4.1 带有周期边界条件的Poisson方程
  •   4.2 离散格式
  •   4.3 先验误差估计
  •   4.4 后验误差估计
  •     4.4.1 可容网格与插值
  •     4.4.2 后验误差估计
  • 第5章 总结
  •   5.1 思路与结论
  •   5.2 待解决的问题
  • 攻读博士学位期间撰写的论文
  • 致谢
  • 参考文献

    • 文章来源

    类型: 博士论文

    作者: 周伟奇

    导师: 武海军

    关键词: 衍射光栅,自适应有限元方法,少模态截断,后验误差估计,非周期网格,边界加罚有限元方法

    来源: 南京大学

    年度: 2019

    分类: 基础科学

    专业: 数学,数学

    单位: 南京大学

    分类号: O241.82

    总页数: 92

    文件大小: 3991K

    下载量: 40

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