点源反演问题的直接采样算法研究

论文摘要

偏微分方程(PDEs)被广泛用于解释科学和工程领域中许多复杂的自然现象。近年来,人们更加关注PDEs中未知参数的反演问题,例如源项或边界数据的重构。特别地,关于波动方程的反源问题,目前已有许多理论和数值研究工作。点源反演问题的目标是通过测量数据(近场或远场数据)识别未知点源的某些参数(如位置和强度)。点源反演问题往往缺乏唯一性或稳定性,因而在数学研究上具有一定的挑战性,因此,本文致力于研究固定频率下声波,电磁波和弹性波的点源反演问题。本文的目的是设计数值算法来反演点源,即根据固定频率的测量数据,识别目标点源的参数。本文主要研究的是直接采样方法,该算法主要通过构造特定的指示函数,进而重构点源的位置和强度。该方法不仅简单、易于实现,而且计算代价小,稳定性好。第1章介绍了一些与反问题相关的背景知识。首先简要描述正问题和反问题的基本概念,以及反问题的不适定性和正则化方法。然后介绍了反散射和反源问题的一些最新研究进展。最后,介绍了直接采样方法的基本思想以及一些利用直接抽样方法求解反散射和反源问题的研究工作。此外,本章还陈述了论文的研究目标和结构安排。本文得到的主要研究结果在下列3章中:在第2章中,主要考虑用远场数据重构Helmholtz方程的点源,提出了一些新的指示函数,可以用单个波数的数据确定多极子源的位置和强度。不仅从理论上严格分析了指示函数的渐近形式,给出了算法稳定性估计,而且通过二维和三维数值实验,说明该方法具有高效性和鲁棒性。数值结果表明,该方法能够较好地确定点源的位置和强度,同时仅利用内积,简单方便,计算成本低,此外还对测量数据的噪声不敏感。第3章致力于研究时谐Maxwell方程的点源反演问题。通过固定频率的近场和远场数据,重构电偶极子的位置和强度。将声波情形的直接采样算法推广到了电磁波情形,该方法基于新的指示函数,仅需要简单积分,高效且易于实现。我们给出了算法的稳定性估计,同时数值例子验证了该方法的稳定性,并且证明此方法具有确定点源位置和强度的能力。第4章主要考虑弹性波反源问题。主要将声波(Helmholtz方程)的直接采样方法推广到弹性波(Navier方程)。由于弹性波中具有不同速度传播的压缩波和剪切波,因此弹性波情形比声波情形更复杂。我们提出了一种新的直接采样算法,通过远场数据识别矩张量点源的位置和强度。该方法的主要优点是可仅通过计算依赖于远场数据的积分得到每个采样点处的指示函数,从而重构点源位置和强度。理论上得到了稳定性估计结果,数值实验验证了该方法的有效性和稳定性。

论文目录

摘要

Abstract

Chapter 1 Introduction

1.1 An overview of inverse problems

1.1.1 Definition and applications of inverse problems

1.1.2 Ill-posedness and the regularization methods

1.2 Recent developments of inverse scattering and inverse source problems

1.2.1 Inverse scattering problems

1.2.2 Inverse source problems

1.2.3 Relevant numerical methods

1.3 The direct sampling method

1.4 The contribution of the thesis

1.5 Thesis organization

Chapter 2 Inverse acoustic source problem

2.1 Introduction and preliminaries

2.1.1 Bessel functions

2.1.2 Model setup of the inverse source problem

2.2 The direct sampling method

2.2.1 Theoretical results in 2D

2.2.2 Theoretical analysis in 3D

2.2.3 The inversion algorithm

2.3 Numerical results

2.3.1 Two dimensional examples

2.3.2 Three dimensional simulations

2.4 Brief summary

Chapter 3 Inverse electromagnetic source problem

3.1 Model problem

3.2 The direct sampling method and theoretical analyzes

3.2.1 The near-field data

3.2.2 The far-field data

3.3 Numerical results

3.3.1 Examples using the near- field data

3.3.2 Simulations using the far- field data

3.4 Brief summary

Chapter 4 Inverse elastic source problem

4.1 The governing equations of the problem

4.2 The direct sampling method

4.2.1 Theoretical results in 2D

4.2.2 Theoretical analysis in 3D

4.2.3 Stability result

4.3 Numerical results

4.4 Brief summary

结论

Conclusion

References

List of Publications

Acknowledgement

Resume

文章来源

类型: 博士论文

作者: 布萨（Bousba Sara）

导师: 李龙锁,郭玉坤

关键词: 点源反演,直接采样法,方程

来源: 哈尔滨工业大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学,数学

单位: 哈尔滨工业大学

分类号: O241.82

DOI: 10.27061/d.cnki.ghgdu.2019.000276

总页数: 111

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点源反演问题的直接采样算法研究

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