随机微分方程的同步化和平均原理

论文摘要

本文通过耦合同步化系统到多尺度方程的等价转化,建立了带奇异扰动的同步化问题和多尺度随机微分方程的平均原理之间的联系,旨在平均原理的框架下处理由非线性乘性噪声驱动的随机微分方程的同步化问题.另外,对同步化问题的研究也为多尺度方程的平均原理提供了新的研究视角,并为进一步研究平稳解的平均原理提供了应用背景.本文的主要工作如下:第一章,介绍了本文的选题背景和研究现状,以及主要研究内容和创新之处.第二章,简要回顾一些随机微分方程解的存在唯一性条件及随机平稳解的概念.第三章,建立非线性乘性噪声驱动的耦合同步化系统,并通过变形把同步化系统转化为等价的多尺度随机微分方程(SDEs).一方面,本文直接对原来的SDEs进行线性交叉耦合得到带奇异扰动的同步化系统,没有采用以往将SDEs变换为随机常微分方程的特殊方法,也没有引入复杂的指数因子.另一方面,通过等价变形,将原来耦合系统的同步化问题转化为多尺度方程的平稳解的收敛问题.第四章,针对转化后的等价多尺度方程,解决非线性噪声驱动的耦合系统的同步化问题.不依赖于以往的单点吸引子方法,本章构建了平稳解和一般解的关系,使平稳解的收敛问题退化为一般解的收敛问题.从而在一般解的矩估计基础上,解决耦合系统的平稳解收敛到平均方程平稳解的同步化问题,并得到收敛速度.最后给出一些实例表明,通过直接线性交叉耦合的方式,现有的加性噪声和纯线性乘性噪声驱动的SDEs的同步化结果可推广到非线性噪声类型.第五章,作为第四章研究的多尺度方程一般形式的推广,主要考虑完全耦合的多尺度方程的平稳解的平均原理.然后通过构建多尺度方程的平均原理与耦合系统的同步化问题之间的关系,在平均原理的框架下处理SDEs的同步化问题.由于现有的平均原理结论不能直接应用来解决本文的同步化问题,本章从新的视角切入研究了平均原理:首先,研究了快过程及对应不变测度的收敛问题,这在以往研究中从未提及.此外,重新了考虑慢系统中扩散项依赖于快变量的完全耦合的多尺度方程的平均原理,不同于现有的平均原理中此情形强收敛不成立的结论.并讨论了收敛速率与方程系数所含参数阶的关系.最后,在构建的平稳解和一般解关系的研究基础上,建立了平稳解的平均原理,不同于以往文献中给出的固定初值的一般解的平均原理.第六章,研究非耗散条件下平稳解的存在性及随机泛函微分方程的同步化问题.最后,总结本文的结果并简要介绍后续的研究工作.

论文目录

文章来源

类型: 博士论文

作者: 李真

导师: 刘继成

关键词: 随机微分方程,同步化,平均原理,平稳解,多尺度

来源: 华中科技大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 华中科技大学

分类号: O211.63

总页数: 113

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