汪玉峰[1]2003年在《多解析函数的边值问题》文中指出本文首先系统地研究了所谓多解析函数和约化多解析函数的几种基本边值问题，包括：多解析函数和约化多解析函数的Riemann边值问题，多解析函数和约化多解析函数的Hilbert边值问题，多解析函数和约化多解析函数的Hasemann边值问题以及多解析函数的复合边值问题．这些边值问题的边界条件可以定义在实轴上或者简单封闭光滑曲线上。为了使边值问题的增长性条件提法合理，我们给出了多解析函数在无穷远处增长阶的定义，把解析函数在无穷远处增长阶的概念推广到多解析函数领域。我们采用经典法和转化法等两种方法求解多解析函数的边值问题而获得这些边值问题的可解性条件和解的表达式。简单说来，经典法与所谓的多Cauchy型积分相联系着；而转化法是利用多解析函数的分解定理把多解析函数的边值问题转化成等价的解析函数或者解析函数组的边值问题。为了利用经典法求解实轴上具有相同因子的多解析函数的Riemann边值问题，我们引进了实轴上多Cauchy型积分并研究了其基本的边界性质。同样，为了利用转化法求解多解析函数的各种边值问题，我们给出了多解析函数叁种简单的分解定理并作出了代数学解释。对具有相同因子的Riemann边值问题而言，我们利用这两种方法得到形式不同的两种解，证明了这两种解之间可以相互转化。在这篇论文中，我们主要采用的方法是转化法，因为转化法对各种各样的边值问题都有效。其次，我们对亚解析函数的Riemann边值问题和亚解析函数的Hasemann边值问题进行研究．利用适当的变换，这些边值问题可以转化为等价的多解析函数的边值问题。 全文共分为七章，内容安排如下： 第一章主要介绍解析函数和多解析函数的边值问题及相关领域的研究背景和研究现状，并简要介绍了我们的工作及开问题。 第二章首先引进了多解析函数的叁种简单的分解定理，并从代数模的角度对这些分解定理解释了一下，这些分解定理是转化法的基础。接着介绍了多整函数的Liouville型定理及其证明．最后，我们给出了多解析函数在无穷远处的阶的概念以及实轴上多Cauchy型积分．H．Begehr首先眼就研究了简单封闭光滑曲线上多Cauchy型积分，但实轴上多Cauchy型积分研究起来困难些。这一章的内容是全文工作的基础。 第叁章首先利用多Cauchy型积分求解实轴上具有相同因子的多解析函数的Riemann边值问题，获得了解的一般表达式和可解性条件。其次，我们利用转化法求解实轴上具有不同因子的多解析函数的Riemann边值问题，获得了解的一般表达式和可解性条件。对实轴上具有相同因子的多解析函数的Riemann边值问题，利用这两种方法得到了形式不同的解，我们证明了它们之间是等价的，并且，利用转化法求解多解析函数的边值问题时，边界条件中已知函数的光滑性条件要求还降低了，由此可见，转化法比经典法更优越.最后，我们给出了多解析函数的Riemann边值问题的可解性与它相联的边值问题的解之间的关系. 第四章主要研究封闭曲线上各种多解析函数的Riemann边值问题，获得了解的一般表达式和可解性条件.我们详细地讨论双解析函数的凡em~边值问题，其边界条件可以定义在单位圆周上或简单光滑封闭曲线上.为了利用单位圆的对称性，我们采用第一分解定理把单位圆周上具有不同因子的双解析函数的形emann边值问题转化为等价的解析函数的凡em~边值问题，通过两种不同途径得到形式不同的解，我们利用推广的留数定理证明了它们之间的等价性.对带特殊矩阵的双解析函数的凡em~边值间题，我们采用适当的分解把问题转化为两个等价的解析函数的凡em皿n边值问题.对带一般矩阵的双解析函数的Rlemann边值间题，可以采用各种分解定理把问题转化为等价的解析函数组的Riem~边值问题，所获得的解的一般表达式和可解性条件依赖于所谓的典则矩阵.我们同样利用经典法和转化法求解封闭曲线上具有相同因子的多解析函数的形em~边值问题，获得了形式不同的解，并证明了这些解之间可以相互转化。最后，我们讨论了单位圆周上具有不同因子的约化多解析函数的Riemann边值问题，利用圆的对称原理和分解定理把问题转化为n个等价的解析函数的Riemann边值问题.总之，在这一章里，我们利用经典的解析函数边值问题理论已有的结果给出各种多解析函数的凡emann边值问题的解的表达式和可解性条件。 第五章研究了各种多解析函数的Hilbert边值问题，获得了解的一般表达式和可解性条件.对无穷直线上多解析函数的Hilbert边值问题，利用所谓对称扩张法把问题转化为等价的多解析函数的Hilbert边值问题。为了更好地研究双解析函数的Hilbert边值间题，我们先用正则化法求解一维解析函数的Hilbert边值问题，这种方法A.S.Mshimba曾使用过.对于单位圆周上的双解析函数的Hilbert边值问题，我们通过两种不同的途径得到形式不同的解的一般表达式和可解性条件，证明了这些解和可解性条件之间是等价的.对带一般矩阵的多解析函数的Hilbert边值问题，利用第一分解定理把问题转化为等价的解析函数组的Hilbert边值问题，所获得的解的一般表达式和可解性条件依赖于典则矩阵.最后，我们讨论了单位圆周上具有不同因子的约?
方林[2]2016年在《矩阵函数分解及其在带反射的黎曼边值问题中的应用》文中进行了进一步梳理本文将Wiener-Hopf分解理论和解析函数边值问题相结合,研究了一类应用广泛的二阶矩阵函数分解。作为应用,讨论了实轴上、单位圆上带反射的黎曼边值问题,并研究了单位圆上带反射的双解析函数边值问题。首先,研究了一类特殊的二阶矩阵函数G(x)的Wiener-Hopf分解。准确的来说,所讨论的二阶矩阵函数G(x)结构满足第一列元素和与第二列元素之和相等,且该矩阵函数行列式为1。讨论了二阶矩阵函数分解与黎曼边值问题的关系,然后在此基础上,利用求解黎曼边值问题方法构造出了该二阶矩阵函数的显示Wiener-Hopf分解表达式。其次,作为第一个应用,分别研究了实轴上、单位圆周上带有反射的Riemann边值问题,建立了这些边值问题和向量黎曼边值问题的一个等价关系。在合适的假设下,获得了相应向量边值系数矩阵函数的显式Wiener-Hopf分解,利用矩阵函数分解方法和它们解的等价转化关系,分别获得了实轴上、单位圆上带反射的Riemann边值问题的一般解和可解条件。最后,首次提出并研究了单位圆上带反射的双解析函数Riemann边值问题。利用双解析函数分解定理和换元方法,借助双解析函数和其分解式在无穷远处增长阶的关系,将原问题转化成两个解析函数组的向量黎曼边值问题,利用矩阵函数分解技巧获得了原问题的一般解和可解条件。
潘家鑫[3]2010年在《单位圆上的n阶方程（？）＝f的Riemann-Hilbert边值问题》文中研究说明本文利用复分析的方法讨论了单位圆上n-正则函数Ψ(z)和单位圆上n阶方程((?)nF)/((?)zn)=f的Riemann-Hilbert边值问题.第一章讨论了单位圆上n-正则函数Ψ(z)的性质及Dirichlet边值问题；第二章通过用单位圆上的解析函数φk(z)(k=0,1,...,n-1)唯一表示单位圆上的n-正则函数Ψ(z),并把单位圆上的n-正则函数Ψ(z)的边界条件转化为单位圆上的解析函数φk(z)(k=0,1,…,n-1)的边界条件,给出了非齐次n阶方程anF/azn=f的Riemann-Hilbert边值问题的提法,并用Schwarz公式导出单位圆上的n阶方程anF/azn=f的解的存在性及解的表示,利用T算子给出了非齐次n阶方程的一般解的表示.
蒲松[4]2007年在《复分析中某些二阶方程和广义k-正则函数的边值问题》文中指出本文主要利用复分析的方法讨论了某些二阶方程与广义k-正则函数的边值问题.共有叁章,在第一章中主要运用文[2]中的理论与方法讨论了平面上双解析函数的非正则型Riemann-Hilbert边值问题及非齐次二阶方程((?)~2w)/((?)z~2) = f的某些边值问题,并得到该问题的可解条件与解的积分表达式,推广了文[2]的结果.在第二章中,主要运用文[18][20][27]的结论与方法讨论了Clifford分析中广义k-正则函数的Dirichlet边值问题,并得到广义k-正则函数的Dirichlet边值问题的可解条件与解的积分表达式.第叁章受到文[29]的启示,并利用复平面上研究边值问题的函数论方法研究了多复变函数空间中二阶方程的Riemann边值问题,并得到该问题的可解条件与解的积分表达式.
卜育德[5]2011年在《k-单演函数的复合边值问题》文中认为考虑了单演函数以及2-单演函数的复合边值问题,并给出了解的形式。
陈莉[6]2008年在《双解析函数的混合边值问题》文中认为运用第二分解定理求解了双解析函数的Hasemann边界条件和Riemann边界条件的混合边值问题,给出了问题的可解条件和可解性定理。
史西专[7]2006年在《带平方根的边值问题及双解析函数的Riemann边值逆问题》文中指出解析函数边值问题是复变函数论中极为重要的分支之一，它既有理论意义又有广泛的应用。对于非线性的Riemann边值问题和非线性的Hilbert边值问题研究很少，本文试图在这些方面做一些工作。近年来有关双解析函数、多解析函数以及Riemann边值逆问题的理论研究也是人们关注的重要课题。本文也将讨论一类双解析函数的Riemann边值逆问题。 首先，考虑了带平方根的Riemann边值问题在一条开口光滑弧段上的解法。通过对未知函数的结构分析，把该问题转化为典型的开口弧段上的Riemann边值问题，利用已有的结论，给出了该问题的解和可解条件。 其次，讨论了上半平面中带平方根的Hilbert边值问题。同样是先对未知函数进行结构分析，再把该问题转化为典型的上半平面中的Hilbert边值问题，然后通过关于实轴的对称扩张，该问题进一步等价于一种实轴上的Riemann边值问题。利用已有结果得到了该问题的可解性定理。 最后，提出了一类实轴上的双解析函数Riemann边值逆问题。先消去参变未知函数，再采用易于推广的矩阵形式记法，可把该问题转化为两个实轴上的解析函数Riemann边值问题。利用经典的Riemann边值问题理论，讨论了该问题正则型情况的解法，得到了它的可解性定理。
胡琳, 曾招云, 许忠义[8]2006年在《双解析向量函数的边值问题》文中研究说明利用解析向量函数边值问题理论,提出了双解析向量函数的R iem ann边值问题,并研究了问题的解法和解的一般表达式及可解性条件,得到了相应的可解性定理,同样方法可解决多解析向量函数的边值问题.
胡松林[9]2005年在《C～n中Riemann—Hilbert边值问题》文中研究指明解析函数边值问题是复变函数论中的一个重要分支,在力学、物理学、工程技术中有着十分广泛的应用。从五十年代起,国内这类问题的研究得到了进一步的深入,并将其应用到数学弹性力学,广义解析函数及偏微分方程领域。 Riemann—Hilbert边值问题(简称R—H问题)是解析函数边值问题中较基本的边值问题。路见可教授在《解析函数边值问题》一书中十分详尽地介绍了基本边值问题以及与之相关问题的解法,其中Plemelj公式起着十分重要的作用。 关于R—H问题的研究,从解析到双解析,叁解析,甚至多解析函数,以及广义解析和方程组的推广,国内学者多采用上述经典方法。另一方面,从函数条件域上讲,可讨论未知函数在边界具高奇性(Hadamard主值意义下)的R—H边值问题。 多复变的Riemann—Hilbert边值问题是基于单复变边值问题的一种自然推广,但其研究并不充分。本文主要做了以下两个方面的工作:首先,利用Poission核可以求解单位多圆柱体上Riemann—Hilbert边值问题,并将原来求解空间从解析函数空间推广到亚纯函数空间,多值函数空间。其次,讨论了广义解析函数的非齐次C—R系。 文中理论基础用到多复函数理论,广义解析函数理论,Clifford分析,测度理论以及Fourier分析,如高维空间的多复变函数的边值问题,广义解析的非齐次C—R系的讨论,非线性的Dirichlet问题,多重积分与积分换序,可解性与可解条件的研究等等。文中引入了一些重要的过渡函数,如Plemelj公式,δ(x)函数,T-算子,它们均起着十分重要的作用。从方法上看,单复变用到对称扩张(如共形映照,对称函数的引入),多复分析中则采用过渡函数(如δ(x)函数)。从求解空间上看,我们从单复变到多复变,从解析函数空间到亚纯函数、多值函数、单演函数空间。问题分析中遇到的困难如函数条件域,多圆柱体的情况到更一般的域等。 全文共分为五章。第一章是引言,介绍了本文的历史背景以及目前国内外学者所作的工作。第二章介绍了分析中的Fourier级数,测度论基础中的乘积测度和着名的Fubini定理以及广义解析函数理论。第叁章是本文的核心部分,具体详细地讨论了Riemann—Hilbert边值问题的求解方法、解的形式和可解条件。第四章是第叁章的继续,探讨了广义解析函数的Riemann—Hilbert边值问题。第五章研究了一阶椭圆方程的非线性半Dirichlet问题。
闫川[10]2010年在《k-正则函数的某些Riemann边值问题》文中研究说明本文利用复分析的方法讨论了复平面上的k-正则函数的某些边值问题.在第一章中给出了k正则函数的一类Riemann边值问题及非齐次k阶方程akw/azk=f的Riemann边值问题的提法,讨论了该边值问题的可解条件和解的表示.使用类似于[7]的方法,通过将k-函数的Riemann边值问题转化为解析函数的Riemann边值问题,并利用文[7]的结论得出其相关的可解条件和解的表达式.在第二章中给出了无穷直线上含参变未知函数的k-正则函数的Riemann边值问题的提法,讨论了该边值问题的可解条件和解的表示.
参考文献：
[1]. 多解析函数的边值问题[D]. 汪玉峰. 武汉大学. 2003
[2]. 矩阵函数分解及其在带反射的黎曼边值问题中的应用[D]. 方林. 南京邮电大学. 2016
[3]. 单位圆上的n阶方程（？）＝f的Riemann-Hilbert边值问题[D]. 潘家鑫. 四川师范大学. 2010
[4]. 复分析中某些二阶方程和广义k-正则函数的边值问题[D]. 蒲松. 四川师范大学. 2007
[5]. k-单演函数的复合边值问题[J]. 卜育德. 山东大学学报(理学版). 2011
[6]. 双解析函数的混合边值问题[J]. 陈莉. 惠州学院学报(自然科学版). 2008
[7]. 带平方根的边值问题及双解析函数的Riemann边值逆问题[D]. 史西专. 广西大学. 2006
[8]. 双解析向量函数的边值问题[J]. 胡琳, 曾招云, 许忠义. 南昌大学学报(工科版). 2006
[9]. C～n中Riemann—Hilbert边值问题[D]. 胡松林. 武汉大学. 2005
[10]. k-正则函数的某些Riemann边值问题[D]. 闫川. 四川师范大学. 2010