史文茂[1]2016年在《反应扩散系统中的斑图动力学行为研究》文中指出自然界中,各种天然系统在远离热力学平衡条件下自组织形成的在时间和空间上具有某种规律性的非均匀宏观结构,被我们称之为斑图。斑图在自然界中广泛存在,这种广泛存在性使针对斑图动力学的研究具备了较高的理论参考价值。在非线性科学领域中,科学家们不断的尝试从动力学的角度的来研究斑图的形成原因与规律,形成了非线性科学领域的一个重要分支-非线性动力学。在所有的斑图种类中,螺旋波是一类广泛存在的斑图,它的动力学行为存在跨系统的普适性规律,研究和掌握这些规律具有很大的潜在应用价值。反应扩散系统是螺旋波得以产生的最简单的系统之一,复Ginzburg-Landau方程(CGLE)是常见的反应扩散系统模型之一,它描述了系统在Hopf分岔点附近的动力学行为,是描述非线性波动和相变现象的重要物理模型。本文正是以该方程为时空系统模型,研究了反应扩散系统中螺旋波及由螺旋波演化而来的靶波复杂的动力学行为。第一章前言,作为论文的研究背景,首先介绍了斑图及斑图动力学,重点描述了螺旋波斑图的形成及特征。之后,详细的介绍了反应扩系统及其常见模型复Ginzburg-Landau方程,并对方程的特性做了较为详细介绍。第二章研究了单向耦合时空系统中的斑图动力学行为。以不同的波形做驱动,以多螺旋波为响应系统,讨论了响应系统在不同耦合强度下的时空斑图动力学行为。发现了这类耦合行为的一般规律性,即在弱耦合强度条件下,响应系统的模会形成与驱动系统相相似螺旋结构。这种现象同时解释了模螺旋波的产生。第叁章研究了在螺旋波基础上的两种靶波的产生机制。一种是由局部自身信号反馈形成,一种是在系统的局部加入一个振荡周期信号形成。首先研究了后一种方式的振荡频率范围,并找到了最佳的控制频率。之后以波的竞争的方式比较了两种方式产生的靶波的传播稳定性结果表明以局部负反馈控制机制产生的靶波具有更高的传播稳定性,控制螺旋波的能力更强。此结论为更加有效的实现螺旋波的控制提供了更多的理论依据。第四章研究了局部的不均匀性对多螺旋波系统的影响。在这一部分我们创新性在系统中引入了杂质区域,研究了这种杂质对系统斑图演化情况及系统频率的影响。在不同的杂质参数下,发现了一个特殊的V型区域,并进一步的研究了这个V型区域的特点。第五章本文的总结与展望。
王朝清[2]2017年在《耦合Stuart-Landau振子系统中的同步相变》文中提出很多自然界的现象都可以使用大量个体之间通过相互作用形成的集体行为来描述。现如今,随着大数据时代的来临,人们获得了更多关于这些个体以及其相互作用的信息。自然界中的个体往往被限制在一个有限范围内做连续运动,对于二维系统来说,这意味着这些个体必须具有不动点或周期性的行为特征。这些周期性行为称为极限环,这些个体则称为振子。由于个体内部往往存在一些非常复杂的非线性行为,因此需要使用比简谐振子更高级的模型来描述。极限环出现的一种重要机制就是霍普夫分岔,而Stuart-Landau振子是霍普夫分岔的标准形式。所以,研究大量Stuart-Landau振子的集体行为十分必要。本文中,我们主要研究了大量Stuart-Landau振子的同步相变问题。当一群振子通过相互作用耦合在一起,整个系统会随着耦合强度的逐渐增加从完全无序的状态达到所有振子完全同步振动的状态。以往的研究认为这种转变的过程是连续的,然而2011年西班牙的一个研究小组使用相对复杂的手段在相振子模型中展示了这种从无序到同步的变化可以是不连续的,称为爆炸式同步。我们发现通过调节Stuart-Landau振子之间反应耦合与耗散耦合的比例,可以实现从连续相变到不连续相变的转化。我们通过数值模拟、理论解析的方式分析了这种转变发生的原因。在反应耦合相对较强时,系统会存在一个完全无序态与同步态共存的参数范围。在无序态边缘增加耦合强度将导致其失去稳定而快速变化到同步态;在同步态边缘完全同步态并不存在,减少耦合强度将导致振子从霍普夫分岔变化到鞍结点分岔,使得系统同步程度发生连锁反应快速掉回到无序态。我们还发现了另外一种不连续相变行为,称之为老化猝死。当Stuart-Landau振子的霍普夫分岔参数为负时,称其处于死亡态。固定耦合强度,逐渐增加系统中处于死亡态振子的比例时,系统会从同步态转变到无序态,代表着系统从正常工作状态转变到失效状态,这种现象被称为老化。在较强的反应耦合下系统的老化行为是不连续的,系统会从能正常工作的状态突然变化到失效状态。初步研究表明这种老化猝死行为和爆炸式同步具有类似的机制。人类的耳蜗是将外部声波的机械信号转换为神经元的脉冲电信号的重要结构,其被证实具有非常灵敏的频率识别能力和微弱信号探测能力。研究清楚耳蜗是如何具有这些能力的不仅在仿生学上具有十分重要的意义,而且对治疗听力衰退具有指导作用。以往的研究大多着重于耳蜗的生理学结构,而对其底层物理机制缺乏了解。耳蜗内部的毛细胞振动行为可以使用Stuart-Landau振子来描述。我们构建了一个层级耦合模型来模拟耳蜗内部毛细胞在外界声波驱动下的振动行为,发现团簇状结构的毛细胞集团可以呈现不连续相变行为。这种不连续相变可以增强耳蜗探测特定声波频率的精准性,以及提高对微弱信号的响应。同时,我们说明了包含更多毛细胞的簇团具有更好的效果,以此来解释不同物种对声音信号的敏感程度。
张凤[3]2017年在《一类Ginzburg-Landau方程的动力学行为研究》文中认为本文主要讨论了一类Ginzburg-Landau方程的动力学行为问题.首先用(G'/G)展开法对Ginzburg-Landau方程进行了求解;接着又借助拉回条件C讨论了广义Ginzburg-Landau方程在L~2(Ω)空间中拉回吸引子的存在性,同时证明了3维空间中非线性的Ginzburg-Landau方程的拉回吸引子,最后讨论了复系数的Ginzburg-Landau方程的拉回吸引子的存在性.论文包括以下四个部分:第一部分介绍无穷维动力系统的发展历程,Ginzburg-Landau方程和拉回吸引子的概念以及国内外研究背景与研究现状;第二部分给出本文所需的基本概念和定理.比如常用不等式和函数空间,拉回吸引子的相关性质和判定定理;第叁部分讨论了二维常系数非线性Ginzburg-Landau方程解的存在性;第四部分证明了广义Ginzburg-Landau方程拉回吸引子的存在性,通过解的存在性证明其存在拉回吸收集,并借助拉回条件C,证明该方程在L~2(Ω)中存在拉回D-吸引子;然后讨论了3维空间中非线性的Ginzburg-Landau方程的拉回吸引子.最后,借助不等式讨论了复系数的Ginzburg-Landau方程的拉回吸引子的存在性.
李心[4]2016年在《非线性耗散系统解的长时间行为与稳态统计性质研究》文中提出科技的迅猛发展,使来源于自然科学各个领域的非线性问题层出不穷;现实的迫切需要,更使得对非线性系统解的长时间性态研究工作迫在眉睫.本文将从吸引子和不变测度等方面对非线性耗散系统的动力学行为进行研究。首先,针对两类定义在有界区域上的典型非线性耗散非自治系统(非自治退化抛物方程与非自治分数次反应扩散方程)解的长时间性态进行研究.主要包括:(1)建立新的框架和先验估计,证明这两类经典非自治系统解在高阶可积空间以及正则空间中的拉回吸引性.即,在对空间维数以及增长指数没有任何约束条件,外力项没有任何时间可微性假设的基础上,证明了(L~2(?),L~2(?))拉回(?)吸引子实际上可以按照L~(2+δ)(?)(这里δ∈[0,∞))和(?)(?,σ)(或W_0~(2,s)(?))范数拉回吸引(?)族;(2)以有界区域上的分数次反应扩散方程为例,进一步深入研究系统解的长时间行为、吸引子结构以及系统稳态统计性质:给出该方程稳态统计解的概念;通过广义Banach极限构建Borel概率测度族;并研究、讨论了该概率测度族、稳态统计解与系统拉回吸引子的内在联系(见本文第叁章)。其次,考虑了复值非线性系统的稳态统计性质.尽管有些复值系统的实值不变测度理论已经被初步建立,但是由于系统本身所固有的复值性质,使得复不变测度的构造也有其自身的意义.我们的研究内容主要包括:(1)延拓了经典实值理论框架,利用复值广义Banach极限来构造复值非线性方程的复不变测度;(2)研究、讨论复不变测度的内部结构,并考虑了实值、复值不变测度的内在关系:复不变测度的实部和虚部仍然是不变测度;对于由复值广义Banach极限构造的复不变测度,其实部与虚部可由两个实值广义Banach极限构造;实值不变测度的正部与负部也同为不变测度(见本文第四章)。最后,基于发展现状与所得的研究成果,我们给出一些本文仍未解决但值得进一步研究思考的问题。
陈芳启, 梁建术, 陈予恕[5]2004年在《周期激励Stuart-Landau方程的某些动力学行为》文中进行了进一步梳理研究了周期激励Stuart＿Landau方程的锁频周期解· 利用奇异性理论分别研究了这些解关于外部激励振幅和频率的分岔行为· 结果表明:关于外部激励振幅的普适开折具有余维3,在某些条件下,得到了转迁集及分岔图· 另外还证明:关于频率的分岔问题具有无穷余维,因此该情形下的动力学分岔行为非常复杂· 发现了一些新的动力学现象,它们是孙亮等所获结果的补充·
汪凯戈[6]1993年在《激光系统的Ginzburg-Landau方程及其相位扩散方程》文中研究说明讨论了激光系统Ginzburg-Landau方程的主要动力学行为,它描述激光系统的自发时空对称性破缺。当方程有非均匀静态解时,它存在合作频率锁定效应;而当方程有时空振荡解时,各横模仍有一个共同的光学载频。此模型还表明,混沌解可以发生在低抽运条件下。在较小失谐时,该方程的约化相位扩散方程能较精确地再现原方程的全程动力学行为。这说明在激光横向图形分布的自发形成中,电场的相位分布导引其动力学行为。
刘治国[7]2012年在《若干非线性数学物理微分-差分方程的解及其性质研究》文中研究说明随着科学技术的进步，非线性科学的研究有了突飞猛进的发展，非线性科学已成为近代科学发展的一个重要标志，它是自然科学各科学分支共同关心的真正的基础性研究。非线性科学涉及到自然界诸多复杂现象，具有广阔的应用前景。非线性科学发展中一个重要成就就是孤立子理论的建立。孤立子理论是应用数学和数学物理的一个重要组成部分，它包含的内容和研究方法非常丰富，国内外学者从不同方面进行了比较系统的研究，特别是近十几年来研究队伍不断扩大，所取得的成果令人瞩目。利用孤立子理论已经成功解释了许多物理、化学、生物、地球物理学上长期用经典理论未能解答的现象。孤子理论中，对于光孤子的研究一直是数学物理工作者研究的热点。在光学中，光孤子这个词用来描述光脉冲包络在非线性介质中传播时具有粒子的性质，而在数学上为非线性波动方程的局域行波解。在非线性光学、玻色-爱因斯坦凝聚（BEC）中光孤子的动力学行为及稳定性分析是现代光孤子通讯、BEC理论及应用研究中非常重要的课题，这些问题的研究为超高速、大容量、长距离光孤子通讯提供理论支撑，为非线性光学及BEC的应用和发展提供理论支持，在数学上可丰富和发展非线性科学的理论和应用。如果所讨论的孤子，在传播过程中是不稳定的，那么不论是理论上的研究还是实用化的研究都将失去了它的意义。因此，在孤子的研究过程中，孤子的稳定性分析显得尤为重要。本文将用两种不同的扩展的G'/G-展开法来研究离散非线性微分-差分方程的孤波解，并利用微扰法分析所得孤波解的线性稳定性。首先，本文用扩展的G'/G-展开法求解了叁次离散非线性Ginzburg–Landau方程，得到了方程的亮孤子解、暗孤子解、叁角函数的周期波解等，并且利用微扰法分析了这些孤波解的线性稳定性与参数对稳定性的影响；然后对扩展的G'/G-展开法进行改进，把G'/G-展开法的应用推广到高次非线性微分-差分方程求解中去，具体研究了五次离散非线性Schr dinger方程，得到了方程的亮孤子解、暗孤子解、叁角函数的周期波解等，利用微扰法分析了这些精确解的稳定性，得到了稳定孤波解存在的范围。本文用扩展的G'/G-展开法求解非线性微分-差分方程，得到了方程的亮孤子解、暗孤子解、叁角函数的周期波解等，并且这些解含有丰富的参数，当参数取某些特殊的值时或者经过适当的变换，所得解就是一些已发表文章所得的解；本文利用微扰法很好的分析了这些孤波解的线性稳定性，得出了稳定孤波解存在的范围、条件等。这些结果具有很重要的理论意义和实用价值。借助于这些结果，可以用来解释非线性微分-差分方程所描述的光半导体激光器阵列中孤子的传播、流体力学中的涡旋、分子晶体的激子运动、离散自陷光束在弱耦合非线性光波导中的传播、周期性势阱内的波色-爱因斯坦凝聚体的演化、生物分子链内的能量储存和传输等非线性光学、等离子体、凝聚态物理、分子生物学等领域中的诸多现象。
凌黎明[8]2013年在《Landau-Lifshitz方程的反散射方法》文中认为本论文研究可积Landau-Lifshitz方程的反散射方法.经典可积情形下的Landau-Lifshitz方程早在上个世纪70年代末就已有大量的研究工作.国内的很多学者,在80年代,90年代初期亦研究过此经典模型的相关问题.经典可积的模型,虽然有其理想的地方,但是它为与之相关非可积模型研究提供一些思路.从中发现一些新现象和新问题亦为非可积的方程的研究指明方向.本文的主要工作是运用发展的反散射方法—Riemann-Hilbert方法研究此经典模型.由于近年来反散射方法的发展,利用此方法研究此经典模型,仍然可以得到一些新的结果.首先,我们可以得到在反散射框架下的解的存在唯一性.其次对于离散散射数据和精确解的求解,我们利用的主要工具是推广的Darboux变换.首次将推广的Darboux变换结合反散射方法巧妙地处理反散射方法中多重极点的散射数据的求解问题.据此,我们可以给出一般的孤立子求解公式,进而给孤立子解以完全的分类.除此之外,我们可以运用Deift-Zhou方法分析解的长时间渐近行为.反散射方法作为求解可积偏微分方程柯西问题的重要方法,亦提供了研究微分方程的重要手段.近年来,非线性科学领域内出现了新的研究对象—怪波.它的产生机制为调制不稳定性.此时,由于涉及到微分方程的不适定性,微分方程的一些理论已经无法分析.反散射方法为这些新现象的研究亦提供了重要手段.第一章为背景介绍.首先介绍方程的背景知识,研究进展.其次介绍反散射方法的历史背景,重要进展和技巧,以及一些最新结果.最后给出了本文的创新点和主要结果.第二章研究经典Landau-Lifshitz方程的反散射方法.首先运用规范变换和反散射方法适定性理论的新结果,得到Landau-Lifshitz方程在一个带权的Soblev空间的适定性.其次,运用推广的Darboux变换方法将孤立了解给予完全的分类.最后利用Deift-Zhou方法分析一般孤立子解的长时问渐近行为.第叁章研究球对称情形可积的Landau-Lifshitz方程,此模型的可积性研究早在1994年由Lakshamnan等人提出.关于此模型精确解的研究已有些结果,但是利用反散射方法研究该问题尚属首次.主要因为其相应的谱问题为非等谱的半线问题.我们需要对谱问题进行适当的延拓.这里对于奇数维和偶数维系统运用不同的延拓方式.除此之外,我们还对方程解的动力学行为进行分析.同时我们顺便给出了推广的NLS方程的孤子解的动力学行为研究.第四章研究经典可积Landau-Lifshitz方程在自旋波背景下的反散射问题.运用的主要工具仍然是规范变换和反散射.首先,我们利用规范变换将其变为聚焦的NLS方程在平面波背景下的反散射问题.利用规范变换理论,我们研究其守恒律以及Galilean变换.最后我们利用推广的Darboux变换得到其一般的孤立子解公式.并且具体给出了呼吸子解和怪波解的表达式,同时通过画图分析这些具体解的动力学行为.
李萍[9]2016年在《两类分数阶微分方程组的动力学行为》文中指出在本文中,我们首先介绍分数阶导数并给出其形式,然后运用分数阶导数对具有相互作用非线性项的微分方程组进行研究,将随机分数阶Ginzburg-Landau方程转化为带有随机参数的随机方程,并通过计算证明吸引子的存在性.本文结构安排如下：第一章,介绍分数阶导数,Ginzburg-Landau方程,以及随机动力系统的相关背景知识.第二章,首先给出分数阶导数定义的几种形式、方程组局部解的存在性,然后由Holder不等式估计了方程组的解,并得到有限时间内的爆破解,最后给出在爆破时间上界的估计.第叁章,把带有加性噪声的随机分数阶Ginzburg-Landau方程转化为解能够产生随机动力系统的随机方程,证明了随机吸引子的存在性.第四章,研究带有加性噪声的随机分数阶Ginzburg-Landau方程组,并证明了随机吸引子的存在性.第五章,首先对本文进行总结,然后对以后的研究工作进行思考和展望.
张超[10]2015年在《二维复Ginzburg-Landau方程中的螺旋波控制》文中进行了进一步梳理在人类自然科学的发展史上,非线性问题亘古至今便一直困扰着人们,同时也使人们为之着迷,并充斥在我们日常生活当中。在这其中,斑图动力学是20世纪70年代后与混沌理论同时发展起来的,组成非线性科学的重要分支。其中螺旋波是二维时空体系中较为常见的时空斑图,它频繁的出现在物理、化学、生物以及医学等各领域学科中,因其关于螺旋波动力学的研究,无论是从理论还是实际应用都有着非凡的意义与重要性。研究表明,比如在医学领域中,一些由心律不齐而引起的心脏病是由于心肌体系中螺旋波电信号出现失稳破碎现象而直接导致心肌梗塞威胁心脏病人甚至造成死亡。因此可见,对控制螺旋波的方法的研究的紧迫与必要性。本文研究内容主要针对一种新型控制方法对二维复Ginzburg-Landau方程(CGLE)系统的影响,在不同参数空间下的系统对加入其中的控制项的响应情况。考虑到二维系统之间的相互耦合作用,在已有研究基础上对不同耦合强度下的耦合结果进行进一步分析,研究其中产生的现象的一般性关系。复 Ginzburg-Landau方程是典型的反应扩散系统之一,该模型对于描述非线性波动以及相变过程有着重要应用价值。CGLE描述的是反应扩散系统在Hopf分岔点周围的动力学行为。所谓Hopf分岔是指系统由稳定焦点转移至不稳定焦点,而出现的周期振荡行为。本文主要以该方程作为时空系统的研究模型,针对该方程中的在一定系统参数条件下所产生的螺旋波动力学行为进行深入而系统的研究,并对其进行两种非反馈控制,研究螺旋波在复Ginzburg-Landau系统中的控制问题。第一章主要是对非线性动力系统、混沌理论和斑图动力学的背景知识介绍,以及描述二维复金兹堡朗道方程和Belousov-Zhabotinsky反应(BZ反应)的特征。本章还介绍了螺旋波控制的相关研究的最新发展情况。第二章中的研究中心是在二维复金兹堡朗道系统(CGLE)中植入偏流作用,探究偏流强度的变化对系统的影响。数值模拟结果表明在二维复金兹堡朗道方程中螺旋波中心缺陷点的个数随着作用在其中的偏流强度增大而减少,对应的理论分析也阐明了在偏流作用下系统中缺陷点的消失机制,另外偏流作用也能够改变系统固有频率从而控制系统。第叁章我们在二维复金兹堡朗道系统中引入一种带有自身频率的新型的非反馈控制,深入研究这种控制项对系统的作用效果。数值模拟结果表明,这种新型控制项能有效控制系统,在系统中产生一个靶波并生成一种新的频率。新的频率大小与所加入控制项的自带频率呈良好的线性关系,通过这种关系我们便能有目的性的在系统中加入我们所需要的频率。第四章,本章主要研究内容是在目前二维耦合时空系统中发现的最新发现的一类模螺旋波,这种相-模同步现象只在二维耦合系统中发现。模螺旋波与一般存在于二维时空系统中的相螺旋波具有一定的区别,正是由于这种相-模同步现象的特殊性,使这种新型的时空斑图的动力学行为难以被理解与研究。本章我们将引入上一章的实验成果,在双层耦合系统中的驱动层中加入周期振荡控制项,更换之前对模螺旋波的研究中驱动项使之变为靶波。在实验中,我们发现在弱耦合条件下,耦合系统的被驱动层的模中同样出现了斑图结构,通过同步函数P的计算,在模中生成的靶波是由驱动层中的靶波耦合产生。耦合系统中层与层之间的频率关系满足之前模螺旋波中的结论,证明先前对模螺旋波动力学行为的研究结论具有普遍性。同时由于加入的周期振荡控制项能够在一定范围内改变产生靶波的频率,由此被驱动层中的模中的频率便可以被控制。第五章是关于本课题实验工作内容的总结与展望。
参考文献：
[1]. 反应扩散系统中的斑图动力学行为研究[D]. 史文茂. 深圳大学. 2016
[2]. 耦合Stuart-Landau振子系统中的同步相变[D]. 王朝清. 华东师范大学. 2017
[3]. 一类Ginzburg-Landau方程的动力学行为研究[D]. 张凤. 延安大学. 2017
[4]. 非线性耗散系统解的长时间行为与稳态统计性质研究[D]. 李心. 兰州大学. 2016
[5]. 周期激励Stuart-Landau方程的某些动力学行为[J]. 陈芳启, 梁建术, 陈予恕. 应用数学和力学. 2004
[6]. 激光系统的Ginzburg-Landau方程及其相位扩散方程[J]. 汪凯戈. 物理学报. 1993
[7]. 若干非线性数学物理微分-差分方程的解及其性质研究[D]. 刘治国. 河南科技大学. 2012
[8]. Landau-Lifshitz方程的反散射方法[D]. 凌黎明. 中国工程物理研究院. 2013
[9]. 两类分数阶微分方程组的动力学行为[D]. 李萍. 四川师范大学. 2016
[10]. 二维复Ginzburg-Landau方程中的螺旋波控制[D]. 张超. 深圳大学. 2015