论文摘要
1933年,Kolmogorov[55]创立了以概率测度P为核心的概率论公理体系（Ω,F,P）,成为研究随机事件的一个重要数学框架.然而,在大多数现实情形中,概率P都是未知的.在1921年,著名经济学家Knight[54]就已指出在经济学中,概率统计模型本身带有不可预知的不确定性,并且是不可消除的.这种概率不确定性也被称为Knightian不确定性.如何分析带有Knightian不确定性的模型和经济问题成为困扰数学家和经济学家的一个难题.在概率论框架（Ω,P）下,概率测度P和线性数学期望EP一一对应.因此,我们无法用现有的线性期望来解决概率不确定的问题,而需要考虑可以描述一族概率的非线性期望.1953年,Choquet[6]通过讨论非可加测度提出了著名的容度理论,并定义了一个非线性期望——Choquet期望,成为研究概率不确定问题的重要工具,在经济金融领域被广泛应用.例如,Schmeidler[87]提出了 Choquet期望效用理论;Chateauneuf等[3],Chen和Kulperger[5]等人利用Choquet期望研究了金融和保险中产品的定价问题.但是Choquet期望的一个弊端是无法定义动态相容的条件期望.2004年,Peng[72,73,74,75]从期望的角度出发,创立了具有动态相容性的非线性期望理论（Ω,H,E）,这里Ω表示样本空间,H表示随机变量空间,E表示非线性期望.在非线性期望空间（Ω,H.E）中,Peng定义了 G-正态分布,最大分布,随机变量的独立以及同分布等概念,获得了大数定律和中心极限定理等一系列结果.非线性期望空间（Ω,H,E）成为可以和概率空间（Ω,F,P）相媲美的理论体系,相比于线性期望,非线性期望理论的一个优势是考虑到了 Knightian不确定性,可以解决更多模型不确定情形下的实际问题.非线性期望的一个典型例子是由非线性偏微分方程（G-热方程）引入的G-期望EG,其可以被表示为一族概率测度{Pθ}θ∈（?）对应的线性期望的上确界,即（?）从而能够被应用于研究概率不确定情形下的各种问题.例如,Epstein和Ji[20,21]基于非线性期望得到了波动率不确定情形下的资产定价公式与效用模型.Eberlein等[22]利用G-期望下定义的动态相容的条件期望将两价（买入价和卖出价）经济理论推广到连续时间情形.Hu和Ji[37,38]得到了波动率不确定情形下随机最优控制问题的最大值原理和动态规划原理.进一步地,为了研究非线性期望下的随机过程,Peng[75,76,78]通过G-热方程引入了 G-布朗运动,并建立了相应的G-Ito随机积分理论.之后,众多学者基于G-布朗运动进行了广泛研究.Gao[28],Lin[63],Lin[64]以及Luo和Wang[67]等人研究了 G-布朗运动驱动的随机微分方程（G-SDE）.Hu等[39,40]研究了 G-布朗运动驱动的倒向随机微分方程（G-BSDE）解的性质.通过G-SDE和G-BSDE,我们还可以构造其他丰富的随机过程,如G-OU过程,几何G-布朗运动等.另外,Hu和Peng[45]通过非线性期望下的Levy-Khintchine表示引入了 G-Levy过程和G-Poisson过程.以上定义的随机过程都是非线性期望框架下概率不确定的时间随机场,可以被应用于刻画波动率不确定情形下金融市场中的各种模型.除了经济学中具有模型不确定性之外,在现实世界的各个领域其实都蕴含着不确定性.例如,在生物物理中,人们经常通过假设随机扰动是一个高斯白噪声或者经验性的颜色噪声来进行分子动力学模拟,但真实的问题并不总是能被这些简化模型所描述.在这类问题中引入模型不确定的白噪声理论或许会提供新的解决方法.因此,我们想将Peng建立的非线性期望理论推广至物理等领域,建立非线性噪声理论,用于研究模型不确定的各种实际问题.为了引入非线性白噪声或者更一般的非线性时空白噪声,我们首先需要在非线性期望空间中建立随机场理论体系,包括空间随机场以及时间—空间随机场.而时间随机场则对应于我们己引入的随机过程.在非线性期望框架下,时间和空间是两个完全不同的参数,我们无法用已有的随机过程,如G-布朗运动等,去描述空间随机场.这主要是由于非线性期望下的独立性是有方向的,即随机变量X独立于Y并不能推出Y独立于X.而随机场的空间增量是没有方向的,所以无法定义空间增量的独立性.由于G-布朗运动和G-Levy过程均是独立增量过程,所以它们只适用于刻画时间随机场,而不能用来刻画空间随机场.基于此,Peng[80]引入了非线性G-高斯过程,即有限维分布为G-正态分布的随机过程,用于研究空间参数为R的随机场.值得注意的是,不同于经典概率论,G-布朗运动不再是一个G-高斯过程.对于定义在Rd或者更一般指标集上的随机场,在非线性G-高斯过程的基础上,本文建立了非线性期望下的G-高斯随机场和G-白噪声理论体系,可以用于刻画模型不确定情形下的空间随机场.对于时间一空间随机场,本文将时间参数和空间参数分开处理,引入了时空G-白噪声的概念,其在时间上是一个G-布朗运动,在空间上是一个G-白噪声.进一步地,论文将关于G-布朗运动的G-Ito随机积分推广到空间G-白噪声和时空G-白噪声上,建立了相应的随机积分理论.在此基础上,本文证明了时空G-白噪声驱动的随机热方程弱解的存在唯一性以及解的估计.值得注意的是,如果非线性期望退化为线性期望,那么相应的G-高斯随机场和G-白噪声就退化为经典的高斯随机场和白噪声.除了讨论空间随机场之外,本文还对非线性期望框架下的典型的时间随机场——G-布朗运动进行了深入研究.不同于经典情形,在G-期望下,G-布朗运动的二次变差过程不再是t,而是增量服从最大分布的一个平稳独立增量过程.基于此,Xu和Zhang[98,99],Lin[62]和Song[92]等人在非退化假设条件下得到了 1-维对称G-鞅的Levy鞅刻画定理.在不假设非退化条件下,本文证明了一般次线性期望空间中多维对称鞅的鞅刻画定理.在鞅刻画的基础上,本文进而得到了 G-布朗运动和非线性G-布朗运动的反射原理,可以被应用于模型不确定时障碍期权的定价研究.本文共分为五章,主要内容和结构如下:论文的第一章首先回顾了非线性期望理论的基本知识,给出了 正态分布,G-期望以及G-布朗运动的定义和相关性质,为之后几章的内容打下基础.论文的第二章建立了次线性期望框架下的G-高斯随机场和G-白噪声理论.我们首先通过推广Kolmogorov存在性定理,在次线性期望空间中引入了 G-高斯随机场.G-高斯随机场是一个定义在任意指标集上的随机场,其有限维分布即为G-正态分布,可以有效地定量研究模型不确定情形下的随机场.进一步地,通过构造一族特殊的满足相容性的次线性生成函数,我们建立了空间G-白噪声理论,并定义了 L2（Rd）中函数关于空间白噪声的随机积分.此随机积分的集合也是一个G-高斯随机场.不同于经典情形,由于次线性期望下的独立性是有方向的,G-白噪声的空间增量不再具有独立性.之后,我们引入了时空G-白噪声的概念,其在时间上是一个G-布朗运动,在空间上是一个空间G-白噪声.类似于G-Ito随机积分,我们同样得到了关于时空白噪声的随机积分及相关性质.本章最后以空间G-白噪声为例,介绍了容度理论,并给出了 白噪声的轨道刻画.论文的第三章在G-白噪声理论的基础上,研究了次线性期望空间中时空G-白噪声驱动的随机热方程解的性质.首先,我们对上一章构造的Bochner积分和关于时空白噪声的随机积分进行扩张,并在扩张空间上证明了随机Fubini定理.这保证了我们在之后证明弱解的过程中可以将Bochner积分和关于时空白噪声的随机积分交换积分顺序.之后,我们给出了时空G-白噪声驱动的线性随机热方程弱解的定义以及显示表达式,并得到了弱解的唯一性和解的估计.受时空G-白噪声随机积分空间的限制,我们考虑有界空间上满足Lipschitz条件的随机热方程弱解的性质.通过Green函数和Picard迭代的方法,我们得到了随机热方程弱解的存在唯一性定理以及估计.论文的第四章主要讨论了在不假设非退化条件的情形下,G-布朗运动的Levy鞅刻画定理和反射原理.为了研究一般次线性期望空间中的对称鞅,我们首先引入了完备的相容次线性期望空间的概念,并将G-Ito随机积分推广到相容次线性期望空间中的一类对称鞅上.之后,我们考虑其上多维对称鞅的Levy鞅刻画.由于在退化情形中,G-热方程的解不一定满足正则性,我们不能直接应用偏微分方程的方法进行证明.为克服此困难,我们首先引入一类离散的乘积空间,并构造了非退化的Gε算子和Gε--热方程.接着通过Tavlor展开和逼近的方法证明了一般的多维对称鞅是G-布朗运动的等价条件.特别地,对于G-期望空间中的对称G-鞅,我们应用lto公式更加简洁地证明了鞅刻画定理.在此基础上,我们通过Skorohord引理和Ito-Tanaka公式得到了 G-布朗运动的反射原理.对于非线性G-布朗运动,由于没有相应的鞅刻画定理.我们通过构造过程（sgn（Bt））t≤T的离散逼近和Krylov估计证明了其反射原理.论文的第五章对本论文内容进行总结,并对下一阶段研究工作进行展望.下面我们给出本文获得的主要结果.1.次线性期望下的高斯随机场及时空白噪声本章主要建立了次线性期望下G-高斯随机场和G-白噪声的理论框架,并将关于G-布朗运动的G-Ito随机积分推广到G-白噪声上.首先,我们给出G-高斯随机场的定义和存在性定理.定义 1.设（Ω,H,E）为非线性期望空间,Γ为任给的指标集.一族随机向量W=（Wγ）γ∈Γ称为（Ω,H,E）上的m-维随机场,如果对任意γ∈Γ,Wγ∈Hm.记所有有限维指标所构成的集合为JΓ,即JΓ:={γ=（γ1,...,γn.）:（?）n∈N,γ1.…,γn∈Γ,且对i≠j,1≤i,j≤n,i≠γj}.定义 2.设（Wγ）γ∈Γ为次线性期望空间（Ω,H,E）中的一个m-维随机场.如果对任意γ=（γ1,…,γn）∈JΓ,（n × m）-维随机向量Wγ=（Wγ1,…Wγn）服从G-正态分布,那么W=（Wγ）γ∈Γ就称为一个m-维G-高斯随机场.对任给的有限维指标γ=（γ1,…,γn）∈JΓ,定义单调次线性函数GWγ（Q）=1/2E[〈QWγ,Wγ〉],Q∈S（n×m）,其中,S（n × m）代表所有（n × m）×（n × m）阶对称矩阵所构成的集合.那么,（GWγ）γ∈JΓ满足以下形式的相容性:（1）兼容性:对任意（γ1,…γn,γn+1）∈JΓ和Q=（qij）i,j=1n×m∈S（n×m）,GWγ1,…,Wγn,Wγn+1（Q）=GWγ1,…，Wγn（Q）,（1）其中矩阵（?）（2）对称性:对{1,…,n}的任意一个置换π和Q＝（qij）i,j=1n×m∈S（n×m）.GWγπ（1）,…,Wγπ（n）（Q）=GWγ1,….Wγn（π-1（Q））,（?）其中映射π-1:S（n×m）→S（n×m）定义为（π-1（Q）ij=（qπ-1（1）π-1（j））,i,j=1.….（n × m）.定理 3.设对任意γ=（γ1,…,γn）∈JΓ,实值函数集合（Gγ）γ∈JΓΓ中的映射Gγ:S（n×m）→R满足次线性和单调性,并且（Gγ）γ∈JΓ还满足兼容性条件（1）和对称性条件（2）.那么,存在一个定义在次线性期望空间（Ω,H,E）上的m-维G-高斯随机场（Wγ）γ∈Γ使得对任意γ=（γ1,…,γn）∈ JΓ,W2=（Wγ1,…,Wγn）服从G-正态分布,并且对所有Q∈S（n × m）,GWγ（Q）=1/2E[<QWγ,Wγ>]=Gγ（Q）.进一步地,若存在另一个定义在次线性期望空间（Ω,H,E）上的高斯随机场（Wγ）γ∈Γ,满足对任意γ=（γ1,...,γn）∈JΓ,Wγ 为具有相同生成函数的G-正态分布随机向量,即对所有 Q ∈ S（n×m）,GWγ（Q）=1/2E[（QWγ,Wγ]=Gγ（Q）,那么,W=W.在G-高斯随机场的基础上我们给出空间G-白噪声的定义.定义 4.设（Ω,H,E）为次线性期望空间,指标集为r=B0（Rd）={A∈B（Rd）:λA<∞},其中λA表示集合,A ∈ B（Rd）的Lebesgue测度.1-维G-高斯随机场W=（WA）A∈Γ称为一个1-维G-白噪声如果满足以下条件:（1）对所有A∈Γ,E[WA2]=σ2λA,-E[-WA2]=σ2λA;（2）对任意A1,A2∈Γ,A1n A2=（?）,有E[WA1WA2]=E[-WA1WA2]=0,E[（W.41（?）A2-WA1-WA2）2]=0,其中0<σ2≤σ2为任意给定的常数.为证明G-白噪声（或者称为空间G-白噪声）的存在性,由定理3可知,我们只须定义一族合适的单调次线性函数（Gγ）γ∈JΓΓ使得由（Gγ）γ∈JΓ生成的G-高斯随机场满足定义4中的假设条件（1）和（2）.因此,对任意有限维指标γ=（A1,…,An）∈ Jr,定义映射G（·）:S（n）→R为:（?）（3）其中,1-维单调次线性函数G的定义为G（a）=1/2σ2a+-1/2σ2a-for a∈R.通过（3）式定义的这族特殊的生成函数,我们即得G-白噪声的存在性.定理5.对任给的单调次线性函数G（a）=1/2（σ2a+-σ2a-）,a∈R,令生成函数集合{Gγ（·）:γ∈JΓ}按表达式（3）定义.那么,存在定义在次线性期望空间（Ω,H,E）上的1-维空间G-白噪声（Wγ）γ∈Γ使得对任意γ=（A1,…,An）∈JΓ,随机向量Wγ=（WA1,…,WAn）服从G-正态分布并且对任意Q=（qij）i,j=1n∈S（n）,（?）另外,若存在另一个G-白噪声（Wγ）γ∈Γ,其生成函数形式为（3）且具有同一个次线性函数G,那么W兰W.对任意P≥ 1.我们记随机变量空间H在范数‖·‖p:=（E[|·|P]）1/P下的完备化空间为LGP（W）,则（Ω,LGp（W）,E）构成一个完备的次线性期望空间.以下均假设（Wγ）γ∈Γ是定义在（Ω,LG2（W）,E）上的一个1-维G-白噪声.空间G-白噪声的一个重要性质是分布具有旋转和平移不变性.命题 6.对任意p ∈Rd和O∈（?）（d）:={O∈Rd×d,OT=O-1},我们令那么,对任意A1,…,An∈B0（Rd）,有也就是说,W的任意有限维分布具有旋转和平移不变性.记空间 L2（Rd）={f:‖f‖L22=∫Rd|f（x）2dx<∞}.我们可以定义 L2（Rd）中函数关于G-白噪声的随机积分.首先,对任意简单函数f（x）=∑i=1nai1Ai（x）,n∈N,a1.…,anR,A1,…,An∈Γ,定义关于G-白噪声的随机积分如下:（?）那么,利用以下引理我们可以将随机积分扩张到空间L2（Rd）上.并且随机积分所构成的集合也是一个G-高斯随机场.引理7.若f:Rd→R是L2（Rd）中一个简单函数,那么,E[|∫Rdf（x）W（dx）|2]≤σ2‖f‖L22.定理 8.设r=B0（Rd）,W=（WA）A∈r为完备次线性期望空间（Ω,LG2（W）,E）上的1-维G-白噪声,则随机积分集合{∫Rd f（x）W（dx）:f∈L2{Rd）}是一个G-高斯随机场.接下来,我们研究定义在指标集Γ={[s,t）×A:0≤s≤t<∞,A ∈ B0（Rd）}上的时空随机场.特别地,我们有以下时空白噪声的定义:定义9.次线性期望空间（Ω,H,E）上的随机场{W（s,t）× A)}（[s,t）×A)∈Γ称为一个1-维时空G-白噪声,如果它满足以下条件：（1）对任意固定的时间区间[s,t),随机场{W（[s,t）×A)}A∈B0（Rd）的是一个1-维空间白噪声并且与（（?WA）A∈B0（Rd）具有相同的有限维分布:（2）对任意 r ≤ s ≤ f,A ∈ B0（Rdd）,W（[r.s）× A）+W（[s,f）× A)=W（[r,t）×A);（3）对任意ti≤s≤t和A,Ai∈B0（Rd）,i=1,…,n,随机变量W（[s,t）×A)独立于（W（[s1,t1）×A1）,…,W（[sn,tn）×An)),这里（WA）A∈B0（Rd）是一个1-维空间G-白噪声.对任意p ≥ 1,T>0,类似于G-布朗运动和G-期望的构造过程,我们可以构造相应的典则随机场{W（s,t）×A):0≤s<t≤T,A∈B0（Rd）},随机变量空间LGp（W[0,T]）（相应地:LGp（W））和次线性期望危使得W在E下为时空G-白噪声.下面我们定义关于时空G-白噪声W的随机积分.首先,记Mp,0（[0,T]×Rd为具有以下形式的所有简单随机场构成的集合:（?）（4）其中Xij∈LGp-（W[0,ti）,i=0,…,n-1,j=1,…,m;0=t0<t1<…<tn=T;并且{Aj}j=1m,[B0（Rd）为互不相交集合序列.那么,形式为（4）的简单随机场f∈Mp,0（[0.T]×Rd）的 Bochner 积分可以定义为（?）显然,映射IB:MP,0（[0,T]×Rd）→ LGp（W[0,T]）是线性映射.对任意给定的p ≥ 1,将MP,0（[0,T]×Rd）在范数‖·‖MP:=（E[∫0T∫Rd|·|pdsdx]1/p下的完备化空间记为MGp（[0.T]× Rd）.关于时空白噪声W的随机积分可以定义为从M2,0（[0.T]×Rd）到LG2（W[0.T]）上的线性映射:（?）那么,我们有如下引理.引理10.对任意简单随机场f∈M2,0（[0.T]×Rd）,E[∫0T∫Rdf（s,x）W（ds,dx）]=0,E[|∫0T∫Rdf（s,x）W（dx,dx）|2]≤σ2E[∫0T∫Rd|f（s,x）|,dsdx].因此,我们可以将随机积分（5）从M2,0（[0,T）× Rd）连续扩张到完备空间MG2（[0,T]xRd））上.事实上,对任意f∈MG2（[0,T]×Rd）,存在一列简单随机场fn ∈ M2,0（[0,T]×Rd）使得（?）‖fn-f‖M2＝0,则（?）2.时空G-白噪声驱动的随机热方程本章主要研究时空G-白噪声驱动的随机热方程弱解的性质.首先我们给出次线性期望下随机Fubini定理的形式.对任意T>0,记M2,0（[0,T]2×R2）是由以下形式简单随机场所构成的线性空间:（?）其中{t0,…,tn}和{sO,…,sn}是时间区间[0.T]上的任意两个分划Aj}j=1m和{BK}k=1m分别是B0（R）上互不相交集合的序列;并且对i,l=0,…,n-1 和 j.k＝1,…,n.Xijlk∈LG2（W[0,ti]）.记 MG2（[0.T]2×R2）在范数‖f‖M2=（∫0T∫R∫0T∫RE[|f（t,x,s,y）|2]dxdtdyds1/2下的完备化空间为MG2（[0.T]2×R2）.那么,我们有以下积分交换公式.定理11（随机Fubini定理）.对任意T>0,设简单随机场f（t.x.s.y）∈M2.0（[0.T]2 ×R2）,则∫0T∫R[∫0T∫Rf（t,x,s,y）W（dt,dx）]dyds=∫0T∫R[∫0T∫Rf（t,x,s,y）dyds]W（dt,dx）.进一步地,若f（t.x,s,y）∈MG2（[0,T]2 x R2）,则在任意集合K∈B0（R）上,∫0T∫K[∫0T∫Rf（t,x,s,y）W（dt,dx）]dyds=∫0T∫R[∫0T∫Kf（t,x,s,y）dyds]W（dt,dx）.特别地,容易验证以下推论.推论 12.对任意f ∈ MG2（[0.T]2×R2）,K∈B0（R）,我们有∫0T∫K[∫0s∫Rf（t,x,s,y）W（dt,dx）]dyds=∫0T∫R[∫tT∫Kf（t,x,s,y）dyds]W（dt,dx）.给定任意时间T>0.我们考虑以Γ=[0.T]×R为指标集的时空G-白噪声{W（t,x）W（[0.t）×[x∧0.0∨x）:t∈[0.T],x×∈R}.在不引起混淆的情况下,我们仍将其记为W＝{W（t,x）:t∈[0.T].x∈R}.显然W（t,x）关于（t,x）几乎处处不可微,但是在广义函数Schwartz分布意义下,它的导数是存在的,定义W（t,x）:=（?）2W（t,x）/（?）t（?）x,t∈[0,T],x∈R,指对任给的测试函数φ∈Cc∞（R2）,∫0T∫RW（t,x）φ（t,x）dxdt=∫0T∫RW（t,x）（?）φ（t,x）/（?）t（?）x（dt,dx）.（6）其中Cc∞（R2）代表R2上具有紧支集的无穷次可微函数所构成的空间.那么我们有以下命题.命题 13.设{W（t,x）:t ∈[0,T]·×R}是时空白噪声{W（t,x）:t∈[0,T],x ∈=R}按（6）式定义的广义导数,则对任意φ ∈ Cc∞（R2）,有∫0T∫RW（t,x）φ（t,x）dxdt=∫0T∫Rφ（t,x）W（dt,dx）.根据上述命题,我们就可以给出随机热方程弱解的定义.下面考虑次线性期望空间下时空G-白噪声驱动的线性随机偏微分方程（?）]u（0,x）=u0（x）,x ∈ R,其中初始函数u0:R → R是非随机的Borel可测函数.定义 14.设初始函数 u0（x）∈S2（R）,即supx∈R|u0（x）|2<∞.时空随机场{u（t,x）:（t,x）∈[0,∞)×R]称为随机热方程（7）的一个弱解,如果其满足以下条件:（1）对任意 T ≥ 0,以及 K ∈ B0（R）,都有(u（t,x）0<t<T.x∈K ∈SG2（[0.T]× K）:（2）对任意T≥ 0,φ（t,x）∈Cc∞（R2）,(u（t,x）0＜t＜T,x∈R满足方程∫Ru（T,x）φ（T,x）dx-∫Ru0（x）φ（0,x）dx=∫0T∫Ru（t,x）（（?）φ（t,x）/（?）t+（?）2φ（t,x）/（?）x2）dxdt+∫0T∫Rφ（t,x）W（dt,dx）,其中SG2([0,T]× 表示 M2,0([0,T]× K 在范数‖·‖s2=supt∈[0,T]supx∈K（E（|·|2]）1/2下的完备化空间.容易验证,线性随机热方程（7）存在唯一的弱解.定理 15.设u0（x）∈S2（R）,则时空G-白噪声驱动的线性随机热方程（7）存在唯一的弱解,其表达式为:u（t,x）=∫Ru0（y）p（t,x-y）dy+∫0t∫Rp（t-x,x-y）W（ds,dy）,（?）t>0,x∈R,其中p（t,x）=1/（?）e-x2/4t,（?）t>0,x∈R.命题 16.设 u0（.x）∈ S2（R）,并且{u（t,x）:（t,x）E[0.∞）x R}是线性随机热方程（7）的弱解,那么,对任意0<α<1,（t,x）∈（0,∞）x R,存在一个常数C使得对任意h>0,下列不等式成立:（1）E[|u（t,x+h）-u（t,x）|2]≤Chα;（2）E[lu（t+h,x）-u（t,x）|2]≤C（?）.对任意常数T>0,K>0,我们考虑以下可乘时空G-白噪声驱动的随机热方程:（?）其中a（x）∈Cb,Lip（R）,u0（x）∈S2（[0,K}）.定义17.给定任意常数T>0,K>0.设初始函数u0（x）∈ S2（[0,K]）,a（x）∈Cb.Lip（R）.对任取的函数φ（t,x）∈ Cc∞（R2）满足（?）/（?）xφ（t,0）=（?）/（?）xφ（t,K）=0,t≤T,如果时空随机场（u（t,x））0≤t≤T,0≤x≤K∈SG2（[0,T]×[0,K]）满足方程（?）那么,{u（t,x）:（t,x）∈[0,T]×[0,K]}就称为随机热方程（8）的一个弱解.通过Green函数和Picard迭代的方法,我们得到时空（G-白噪声驱动的随机热方程（8）弱解的存在唯一性.定理 18.u0（x）∈S2（[0,K]）以及a（x）∈ Cb,Lip（R）,那么次线性期望空间中时空G-白噪声驱动的随机热方程（8）存在唯一的弱解{u（t,x）:（t,x）∈[0.T]×[0,K]}使得u ∈SG2（[0,T]×[0.K]）并且满足方程（9）.进一步地,我们有以下解的估计.命题 19.设 u0（x）∈ S2（[0,K]）,a（x）∈ Cb.Lip（R）并且{u（t,x）:（t,x）∈[0,T]×[0,K]}∈SG2（[0,T]×[0,K」）是随机热方程（8）的弱解.那么,对任意0<a<1,存在一个常数C使得对x,y ∈[0,K],t,s ∈[0.T],有（1）E[|u（t,x）-u（t,y）[2]≤C|x-y|α;（2）E[|u（t.x）-u（s,x）|2]≤C|t-s|1/2.3.G-布朗运动的Levy鞅刻画和反射原理在本章中,我们研究了相容次线性期望空间上多维对称鞅的Levy鞅刻画以及G-布朗运动和非线性G-布朗运动的反射原理.在次线性期望框架下,论文首先引入了相容次线性期望空间的定义.设Ω为给定样本空间,（Ht）t≥0和H是Ω上实值函数组成的一族线性空间且满足下列条件:（H1）对任意的0 ≤S≤t,Hs（?）Ht（?）H并且H0=R;（H2）若X ∈Ht（相应地:H）,则|X| ∈Ht（相应地:H）;（H3）对任意的φ∈Cb.Lip（Rn）,若X1,...,Xn∈Ht（相应地:H）,则φ（Xi,...,Xn）∈Ht（相应地:H）.定义 20.一族映射Et:H →Ht,t ≥0,称为（Ht）t≥0上的相容次线性期望,如果其满足下列条件:对任给的随机变量X,Y∈H,（1）单调性:若 X ≥ Y,则E[X]≥Et[Y];（2）保常性:若η∈Ht,则Et[η]=η;（3）次可加:E[X+Y]≤Et[X]+Et[Y];（4）正齐性:对任意有界非负随机变量η ∈Ht,有Et[ηX]＝ηEt[X];（5）相容性:若s ≤t,则Es[Et[X]]=Es[X].四元组（Ω,H,（Ht）t≥0,（Et）t≥0）就称为相容次线性期望空间,成称为次线性条件期望.对任给的常数p ≥ 1,Ht（相应地:H）在‖·‖p:=（E[|·|P]）1/P下的完备化记为Lp（Ωt）（相应地:Lp（Ω））.那么,（Ω,L1（Ω）,（L1（Ωt））t≥0,（Et）t≥0）也构成一个相容的次线性期望空间,称为完备的相容次线性期望空间.在完备空间上.我们有以下在次线性分析中非常重要的命题.命题 21.设（Ω,L1（Ω）.（L1（Ωt））t≥0,（Et）t≥0）为完备的相容次线性期望空间.对任给的n-维随机向量X∈（L1（Ωt））n,m-维随机向量Y∈（L1（Ω））m,以及φ∈Cb.Lip（Rn+m）,我们有Et[φ（X,Y）]=Et[φ（x,Y）]x=X.特别地，对任一有界随机变量η∈L1（Ωt）,有Et[ηZ]=η+Et[Z]+η-Et[-Z],（?）Z∈L1（Ω）.下面我们给出相容次线性期望空间中对称鞅的定义.定义 22.设（Ω,L1（Ω））t≥0,（Et）t≥0）为完备的相容次线性期望空间,一族随机向量的集合（Xt）t≥0称为d-维适应随机过程,如果对任意的2>0,Xt∈(L1（Ωt）d.定义 23.完备相容次线性期望空间（Ω,L1（Ω）.（L1（Ωt）t≥0,（Et）t≥0）中的d-维适应过程Mt=（Mt1,...,Mtd）,t≥0,称为一个鞅,如果对任意s≤t,i≤d都有Es[Mti]=Msi.进一步地,如果对t ≥ 0,i ≤ d,d-维鞅M满足E[Mti]=-E[-Mti],则M称为对称鞅.通过引入一类离散的乘积空间,我们得到了相容次线性期望空间中G-布朗运动的Levy鞅刻画定理.定理24.设（Ω.L1（Ω）,（L1（Ωt））t≥0,（Et）t≥0）为完备的相容次线性期望空间,G:S（d）→R为任意给定的单调次线性函数.假设d-维对称鞅（Mt）t≥0满足M0=0;对任意t≥0,Mt ∈（L3（Ωt））d;以及对任意固定的时间T>0,当δ↓0时,sup{E[|Mt+δ-Mt|3]:t≤T}=o（δ）,那么下列结论等价:·（1）（Mt）t≥0是一个G-布朗运动;（2）对任意t,s≥0,AS（d）,存在常数C>0使得Et[|Mt+s-Mt|2]≤Cs,并且过程1/2tr[At]-G（A）t,t≥0,是一个鞅;（3）对任意A ∈S（d）,过程1/2<AMt,Mt>-G（A）t,t≥0,为鞅.特别地,对于G-期望空间中的对称G-鞅,我们可以对上面定理中的条件进行弱化.在对称G-鞅的刻画定理中,我们将不再要求定理24中的假设条件Mt∈（L3（Ωt））d以及当δ↓0时,sup{E[|Mt+δ-Mt|3]:t≤T}=o（δ）.定理 25.设G:S（d’）→R和G:S（d）→ R是两个给定的单调次线性函数,并且（Ω,LG1（Ω）,（LG1（Ωt））t≥0,（Et）t≥0）为相应的G-期望空间.假设d-维对称鞅（Mt）t≥0满足M0＝0,以及对任意t≥0,Mt∈（LG2（Qt））d,那么以下结论等价:（1）（Mt）t≥0为G-布朗运动;（2）对任意A∈S（d）,随机过程1/2<AMt,Mt>-G（A）t,t≥0.是一个鞅;（3）对任意t,s≥0,A∈S（d）,存在常数C>0使得Et[|Mt+s-Mt|2]≤Cs,并且随机过程1/2tr[At]—G（A）t,t≥0,是一个鞅.基于鞅刻画定理,下面我们考虑G-布朗运动的反射原理.令Ω＝C0（[0,∞））,（Bt）t≥0为Ω上典则过程.对任意的t ≥ 0,定义随机变量空间为Lip（Ωt）={φ（Bt1,Bt2-Bt1,…,Btn-Btn-1）:n ∈ N.0≤t1<…<tn≤t,φ∈Cb.Lip（Rn）},并且（?）对任意给定的参数0≤σ2≤σ2满足σ2>0,令G（a）:1/2（σ2a+-σ2a-）for a ∈ R,Peng在[78]中构造了 Lip（Ω）上的次线性G-期望EG[·],使得典则过程（Bt）t≥0在EG下是一个1-维G-布朗运动.根据G-期望表示定理,我们有以下Ito-Tanaka公式|Bt-a|=|a|+∫0t sgn（Bs-a）dBs+Lt（a）,q.s.,这里Lt（a）称为G-期望EG[·]下G-布朗运动B在a点的局部时.再由以下引理以及Skorokhod引理.我们即得G-布朗运动的反射原理.引理26.设（Bt）t≥0为1-维G-布朗运动,则随机积分∫0t sgn（Bs）dBs,t≥0,仍为G-布朗运动.定理27.设（Bt）t>0为1-维G-布朗运动,,（Lt（0））t≥0为布朗运动B在G-期望EG[.]下的局部时.那么,在EG[·]下,我们有（St-Bt,St）t≥0=（|Bt|,Lt（0））t≥0其中对t≥0,St=sups≤t Bs.类似地,假设G:R → 1R是被G控制的非线性函数,Peng构造了一个Lip（Ω）上的非线性G-期望EG[·]使得典则过程（Bt）t≥0 在EG[·]下是一个独立平稳增量过程,我们称其为1-维G-布朗运动.进而,以下G-布朗运动的反射原理成立.定理28.设（Bt）t≥0为1-维G-布朗运动,（Lt（0））t≥0为EG[·]下布朗运动B的局部时.那么,在G-期望EG下,（St-Bt,St）t≥0=（|Bt|.Lt（0））t≥0,其中St=sups≤t Bs,t≥0.
论文目录
文章来源
类型: 博士论文
作者: 纪晓君
导师: 彭实戈
关键词: 非线性期望,高斯随机场,时空白噪声,随机热方程,布朗运动,鞅刻画,反射原理
来源: 山东大学
年度: 2019
分类: 基础科学
专业: 数学
单位: 山东大学
分类号: O211.9
DOI: 10.27272/d.cnki.gshdu.2019.000688
总页数: 148
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标签：非线性期望论文; 高斯随机场论文; 时空白噪声论文; 随机热方程论文; 布朗运动论文; 鞅刻画论文; 反射原理论文;