论文摘要
给定紧致三维流形的一个Heegaard分解,Hempel定义了距离的概念来刻画它的复杂性.首先对于亏格至少为2的闭曲面上的两条本质简单闭曲线,Hempel定义它们之间的距离为连接它们的相邻不相交的本质简单闭曲线的最少个数加1.然后Hempel定义一个Heegaard分解(1∪(2的距离为(1中界定本质圆盘的所有简单闭曲线与(2中界定本质圆盘的所有简单闭曲线在Heegaard曲面上的距离的最小值.这里我们假定的亏格至少为2.对于距离至少为2的Heegaard分解,我们可以定义局部复杂的概念.一个距离至少为2的Heegaard分解(1∪(2称为局部复杂的,如果在这个实现距离的上的一族本质简单闭曲线中,对于任意三个相邻的闭曲线,两端的曲线投影到沿中间曲线把曲面剪开得到的子曲面上的距离充分大.本文研究的第一个问题是什么时候一个紧致三维流形的Heegaard分解的边界稳定化是不可稳定化的.Zou-Guo-Qiu证明了距离至少为6的Heegaard分解的边界稳定化是不可稳定化的.事实上,他们的下界可以改进到5.由于存在距离为2的Heegaard分解的边界稳定化是可稳定化的,于是他们猜测3是最好的下界.这里我们在加了一个条件的情况下肯定了他们的猜测:距离至少为3的局部复杂的Heegaard分解的边界稳定化是不可稳定化的（定理3.1）.已有一些结果保证了局部复杂的Heegaard分解的存在性.Qiu-Zou-Guo构造了无穷多个距离至少为4的Heegaard分解.事实上,他们的例子是局部复杂的Heegaard分解.Zhang-Qiu-Zou对距离为2和3的情形构造了无穷多个类似的例子.因此存在无穷多个距离至少为3的局部复杂的Heegaard分解.本文研究的另一个问题是缆绳结和它的伴随结的洞数之间的关系.一个三维球面3中的纽结的洞数等于它在3中的补的Heegaard亏格减1.通过一个简单的观察,我们知道缆绳结的洞数不超过它的伴随结的洞数加1.在伴随结的洞数是1时,Moriah证明了缆绳结的洞数可以达到这个上界.这里我们首先证明了缆绳结的洞数不小于它的伴随结的洞数（定理4.1）.于是一个缆绳结的洞数等于它的伴随结的洞数或其加1.接下去我们给出了缆绳结的洞数等于它的伴随结的洞数加1的两个充分条件:一个要求伴随结是高距离的;另一个要求缆绳结的构造中粘贴映射充分复杂,即粘贴斜度在环面的曲线复形中远离正则嵌入的不可压缩曲面的边界曲线所构成的有限集（定理4.2）.最后,我们给了一些应用。
论文目录
文章来源
类型: 博士论文
作者: 王俊华
导师: 邱瑞锋
关键词: 分解,距离,局部复杂的,边界稳定化,不可稳定化的,缆绳结,洞数
来源: 华东师范大学
年度: 2019
分类: 基础科学
专业: 数学
单位: 华东师范大学
分类号: O186.1
总页数: 73
文件大小: 7449K
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