耦合偏微分方程组的精确能控性、反问题及Carleman估计

论文摘要

本论文主要做了三项研究:第一,在n维非齐次各向异性介质中,考察变系数二阶双曲型方程组的可观测不等式及其精确能控性质。利用经典的Hilbert唯一性方法,通过建立高维的变系数二阶双曲型方程组的可观测不等式来得到相应方程组的精确能控性,并将相关研究结果应用到非齐次各向异性介质中变系数的线性弹性力学方程组的可观测不等式和精确能控性问题中。第二,在高维有界区域上,考察主部强耦合的双曲-抛物方程组的反初始条件问题的条件稳定性。建立能够适用于反初始条件问题的Carleman估计,然后利用此估计证明反初始条件问题的条件稳定性。第三,在n维有界区域上,证明非齐次主部强耦合的双曲-抛物方程组的Carleman估计。全文共分为五章。第一章介绍了本论文的研究背景。第二章给出了本论文中用到的概念和一些常用的已知结果。第三章研究了高维变系数强耦合双曲型方程组的精确能控性。在第一节里,为了完整地陈述本章的结果,我们介绍了高维变系数强耦合双曲型方程组的适定性问题。首先,我们利用半群理论和Hille-Yosida定理讨论了高维变系数强耦合双曲型方程组初边值问题解的存在性。然后,我们给出了所考虑方程组初边值问题的弱解的能量的定义,并证明了方程组的能量守恒性,从而说明了解的唯一性。在第二节里,我们利用发展型方程能控性理论中常用的可观测不等式证明方法证明了高维变系数强耦合双曲型方程组的可观测不等式。在第三节里,我们给出了高维变系数强耦合双曲型方程组弱解的定义以及精确能控的概念。然后,利用第二节得到的可观测不等式及经典Hilbert唯一性方法,我们证明了,在适当的假设条件下,高维变系数强耦合双曲型方程组是精确可控的。在本节的最后,我们将此结果应用到高维变系数单个双曲方程的可观测不等式及精确能控性问题中。在第四节中,作为第二,三节得到的结果的应用,我们考虑了非齐次各向异性介质中变系数的线性弹性力学方程组的可观测不等式和精确能控性。第四章研究了主部强耦合的双曲-抛物方程组反初始条件问题的条件稳定性。在第一节里,我们证明了一个适合反初始条件问题的关于主部强耦合双曲-抛物方程组的Carleman估计。在第二节中,我们证明了主部强耦合双曲-抛物方程组初边值问题的一个能量估计。在第三节中,利用第一节里证明的Carleman估计,我们证明了主部强耦合的双曲-抛物方程组反初始条件问题的条件稳定性估计。然后,利用第二节里证明的能量不等式,对条件稳定性估计作了进一步地优化。第五章研究了非齐次主部强耦合的双曲-抛物方程组的Carleman估计。在本章中,假设所考虑方程组中的系数满足适当的条件,选取权函数e2sφ,其中φ（x,t）=eλφ（x,t）,φ（x,t）=|x-x0|2-β（t-T/2）2,对任意的（x,t）∈Ω×（0,T）,Ω是Rn中的有界区域,边界是3的。在本章中,我们使用的主要工具是分部部分。

论文目录

文章来源

类型: 博士论文

作者: 尚云侠

导师: 梁兴,李书敏

关键词: 双曲型方程组,各向异性,可观测不等式,能控性,弹性动力系统,耦合双曲抛物方程组,反初始条件问题,估计,条件稳定性

来源: 中国科学技术大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 中国科学技术大学

分类号: O175.2

总页数: 112

文件大小: 4208K

下载量: 112

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