王雨雷[1]2017年在《相对论性保结构粒子算法在等离子体多尺度过程中的应用》文中进行了进一步梳理等离子体是由大量带电粒子与电磁场相互耦合而形成的复杂物理系统,而等离子体的非线性、多尺度过程一般很难从理论上全面分析。随着近几十年计算机技术的发展,数值模拟已成为重要的物理研究工具,但是,对于多尺度物理过程的模拟仍然受限于有限的计算能力和全局累积的数值误差。当今世界最快计算机的峰值计算能力已达到了 120PFlops,在可预见的未来内,人类社会的计算能力必然会继续提高,这为等离子体大规模多尺度数值研究的发展提供了希望。然而,如何高效、合理地运用未来巨大的计算能力,并通过限制全局误差而获得正确可信的长期模拟结果,仍然是重要的研究课题。保结构算法基于严格的数学理论,通过保持物理系统的几何结构而获得长时间的稳定性,这对于多尺度、大规模计算的保真性有重要意义。本文围绕相对论性等离子体系统的保结构粒子算法展开,详述几类相对论性保结构粒子算法的构造与理论研究,介绍保结构算法在典型相对论多尺度物理过程(逃逸电子物理)大规模应用中得到的物理结果,并简介开放性保结构粒子算法软件平台开发方面的工作。算法研究方面,本文针对带电粒子相对论洛伦兹力系统,利用分裂法构造了相对论保体积算法;提出并研究了离散系统的洛伦兹协变性,总结了一种构造协变辛算法的一般性步骤,基于此构造了显式协变正则辛算法,通过与非协变、非保结构算法的对比,展示了协变辛算法在保证长期数值稳定性以及数值结果坐标独立性方面的优势,另外,协变辛算法的内禀能量变步长属性有利于提高模拟粒子能量变化过程的数值效率和精确度;基于带电粒子协变哈密顿量,利用生成函数法和分裂法,构造了适用于含时相对论粒子模拟的显式高阶辛算法;针对相对论性弗拉索夫-麦克斯韦系统,本文基于正则辛Particle-in-Cell(PIC)算法理论,构造了适用于高能量等离子体模拟的相对论性正则辛PIC算法。作为一种典型的相对论多尺度等离子体物理过程,托卡马克中的逃逸电子物理对于未来聚变堆的安全运行具有关键的意义。本文利用保体积算法对高能逃逸电子多尺度全轨道动力学行为进行了大规模数值研究,证明了回旋中心理论假设在逃逸电子过程的失效,并发现了一种剧烈的、源于托卡马克磁场环几何的无碰撞投掷角散射效应,这一效应导致了逃逸电子磁矩守恒的破坏和不同于回旋中心理论结果的能量极限规律。对于逃逸电子不同时间尺度的物理过程,本文给出了精细的物理图像,研究了初始相空间采样和托卡马克装置主要参数对逃逸电子长期动量演化结构、能量积分效应、能量平衡时间以及无碰撞投掷角散射的影响。针对ITER装置参数,本文应用神威·太湖之光超级计算对存在磁波纹扰动的逃逸电子物理过程进行了 107采样点、1011时间步的大规模统计模拟研究,发现磁波纹场对于约束逃逸电子束流和降低能量极限有明显的作用。为促进保结构粒子算法的发展与大规模应用,本文设计并实现了具有模块化、标准化和可扩展性的保结构算法软件平台——"Accurate Particle Tracor(APT)"。APT支持标准化I/O和多种并行方式,集成多种带电粒子几何算法,并已在神威太湖之光集群得到大规模应用。同时,APT作为软件平台,其可扩展脚本系统可以方便对源程序进行算法、物理模组等的扩展,方便整合不同领域的研究成果。
龚丽红[2]2014年在《某类非完整力学系统的保结构算法》文中研究说明在实际的力学计算中非完整系统更加广泛和一般.由于受到外力的影响及耗散的存在,使得计算步骤将变得十分复杂,积分时间越来越长,与此同时产生的误差也相应增大.在这种情况下传统沿用的算法已不再适用,所以寻求一种新的能保持问题解的精确性的算法就成了十分迫切的需要.当力学系统受到非完整约束时,完整系统的辛算法理论将不再适用,这主要是因为此时相空间上的辛结构无法保持所导致的.在这种情况下,需要寻求新的保结构数值算法来进行非完整力学系统的数值计算,才能得到较精确的数值结果.与完整系统的Hamilton理论相比较,]Birkhoff的理论框架更为广泛完善,在包含了时间变量t和系统Hamilton量的增广空间上取几何变分,将会得到增广空间上的一般辛结构.此外还对应于一个具有外力条件的Euler-Larange方程,且方程还附带一组能量流公式.不仅如此,方程在标准相空间上仍能得到标准辛流形公式,且与自变量维数无关,而自变量方向上的得到的能量(动量)公式则可看成是自变量的约束条件.由此,增广空间上保持的结构就是由这一约束条件和标准相空间上的辛流形合起来构成.本文第一章为引言部分,主要介绍非完整力学系统及辛算法的起源,保结构算法目前已有的成果和应用现状.第二章主要讨论了基于离散变分原理的Birkhoff辛算法,先简单介绍了Pfaff泛函以及Pfaff变分的一些预备理论,接下来根据离散变分原理得到相应的离散变分形式,进而验证所得离散Birkhoff二形式为闭的二形式.最后引用量子系统中的一个算例验证了算法的可靠性和数值模拟上的优势.第叁章主要讨论了保结构算法在变质量非完整力学系统中的应用,首先给出变质量非完整系统的基本形式与相关理论,然后对其进行Birkhoff化,最后从增广空间上变分出发,论证了变质量Tzenoff方程可应用Birkhoff辛算法计算在理论上的可行性.第四章对全文的内容做了简单的总结,并展望了保结构算法在非完整力学系统中应用有待研究的若干方面.
肖建元[3]2016年在《保几何结构算法在等离子体物理中的应用》文中研究指明哈密顿系统在物理理论中非常常见,其具有的长期保辛结构特性使得其具有很多守恒性、可以长时间稳定地演化并且不发散。这些守恒特性有助于我们讨论和理解物理系统的长期性质,并且更加有效地再现物理系统的本质。等离子体的四种常见的基本模型(单粒子、无碰撞动理论、理想双流体与理想磁流体)都是哈密顿系统。对于这些基本模型建立有效的算法以研究复杂的等离子体行为就显得尤为重要。然而传统基于直接对微分方程进行离散的算法一般会破坏这些哈密顿系统的保守特性,这使得这些算法在模拟长期多时间尺度的物理问题时经常会发散而得不到有用的结果,在20世纪80年代由我国着名数学家冯康及其学派提出的保辛结构算法正是为了解决这一问题。不过这一方法在等离子体数值模拟领域尚未得到广泛应用,这主要是因为等离子体模型多为无穷维非正则哈密顿系统,其保结构算法的构造相对困难。本文从保辛结构算法的理论出发,简要介绍了辛算法的特点及构造方法,归纳并总结了最新针对单粒子系统的保结构算法、并提出了针对Vlasov-Maxwell系统、理想双流体系统与磁流体系统的保辛结构算法。我们还选取了一些基本的物理算例来验证这些算法的正确性与长期保守性。对于带电粒子在已知外电磁场中运动的单粒子模型,由于其一般是一个有限维的正则哈密顿系统,所以现成针对此类系统辛算法的理论很丰富。我们首先利用成熟的变分辛方法构造了带电相对论性与非相对论性粒子的保辛结构算法,然后又利用最近新发现的一种哈密顿分裂法构造了针对这两种单粒子系统的非正则辛算法,最后选取了一个典型的Tokamak中带电粒子运动场景作为算例验证了这些算法的长期守恒性。Vlasov-Maxwell系统是用连续分布函数去描述的等离子体系统,其非常接近原始等离子体的带电粒子-电磁场系统,因此应用也非常广泛。然而由于它是一个无穷维的非正则哈密顿系统,一般而言其保辛结构算法难以实现。不过由于直接模拟离散的Vlasov-Maxwell系统其计算量太大,故一般人们使用大量粒子采样点的Particle-in-Cell方法去模拟Vlasov-Maxwell系统。我们先从粒子-电磁场的拉式量出发并离散与变分,得到了第一种实用的变分辛Particle-in-Cell方法。随后为了构造电磁规范不变(即电荷守恒)与高阶显式的Particle-in-Cell方法,我们创造了方网格多格Whitney插值形式,在此基础上利用离散外微分与哈密顿分裂法等先进的数学工具,实现了显式高阶电荷守恒非正则辛Particle-in-Cell格式。最后实现了相对论情况的变分与电荷守恒辛Particle-in-Cell格式。同样,我们也取了 X-Bernstein波色散关系与Landau阻尼这两个例子来验证这些算法的正确性与长期守恒性。双流体系统是一种将带电粒子视作带电流体的等离子体模型,在无耗散时是哈密顿系统。然而同Vlasov-Maxwell系统类似,双流体系统也是一个无穷维的非正则哈密顿系统。我们使用类似Vlasov-Maxwell系统构造辛算法的思路,从双流体系统的变分理论出发,用方网格多格Wlhitney插值形式、离散外微分以及哈密顿分裂法等方法构造了显式高阶电荷守恒非正则辛双流体格式。我们还用此方法计算与验证了双流体系统各种模式的色散关系以及双流不稳定性。理想磁流体系统是一种等离子简化模型,通过近似将高频的电子演化忽略,这样使得磁流体模型更加适用于低频问题。该模型是一个较双流体系统更复杂的非正则哈密顿系统。这是因为其演化除了保辛结构以外,还具有保磁场结构的性质(即磁冻结效应)。我们从欧拉网格具有约束的磁流体变分原理出发,离散得到辛磁流体算法,并用此验证了磁流体波的色散关系以及算法的长期守恒性质。本文中阐述的等离子体保结构算法实际上是对等离子体哈密顿模型的保辛结构近似。实际上根据辛算法的理论可知这些离散化的系统也是哈密顿系统,因而理论上也具有哈密顿系统的长期保守等性质,这是传统算法所难以企及的。这些具有优良性质的算法有助于我们更准确地模拟和预测等离子体的行为,了解等离子中的复杂物理图像。
蔡加祥[4]2015年在《偏微分方程保结构算法构造及分析》文中研究表明随着科学的快速发展,越来越多的物理、化学和生物过程可以用非线性发展方程或者电磁场方程来描述.在许多情况下这些系统是保守的,因此如何为这些系统设计高效且能保持系统守恒量的算法一直是计算科学的研究热点.本博士学位论文致力于几类非线性发展方程的局部保结构算法(多辛算法,局部能量、动量守恒算法)和叁维Maxwell方程高效保结构算法的研究及其数值分析.主要研究成果包括：1)辛算法以及全局保能量、动量等传统保结构算法在处理偏微分方程时,除了要考察方程是否是保守系统外,还必须考虑边界条件是否适当,只有在适当的边界条件下才可以使用这些保结构算法.为了增加保结构算法的适用范围,我们以耦合非线性Schrodinger系统、Boussinesq系统和Klein-Gordon-Schrodinger系统为研究对象,为其构造了一系列的局部保结构算法,包括多辛算法,局部能量、动量守恒算法.这些局部保结构算法能在任何时、空区域上保持离散的局部守恒律.当边界条件适当时,这些局部保结构算法自然就是全局保结构算法,反之不然.除此之外,我们还分析了其中一些局部保结构算法的非线性稳定性和收敛性.数值实验表明局部保结构算法不但能得到较好的数值解,而且确实能保持系统的局部守恒律和全局守恒律.通过与文献中已有的数值算法比较,展现了本文算法的优点.2)叁维Maxwell方程具有双哈密尔顿结构.应用谱方法离散哈密尔顿函数和哈密尔顿算子,再对所得到的有限维哈密尔顿系统用平均向量场方法求积,从而我们得到求解叁维Maxwell方程的两个格式(下称“AVF(2)”和"AVF(4)"). AVF(2)和AVF(4)自动保持系统的两个哈密尔顿.我们证明了AVF(2)和AVF(4)保持离散的能量、动量和散度.数值色散分析表明它们是无条件稳定的且无耗散的.严格的误差分析表明AVF(2)和AVF(4)分别在时问方向具有二阶和四阶收敛性,在空间方向都具有谱精度.数值实验很好地证实了理论分析结果.3)AVF(2)和AVF(4)是通过直接离散Maxwell方程得到的,计算时编程实现比较复杂.为了设计更高效的保能量算法,我们利用指数算子分裂和组合的技巧分别得到逼近Maxwell方程的时间二阶和四阶分裂方法.这些分裂模型的每个子问题都是哈密尔顿系统且和原问题具有相同的哈密尔顿函数.对每个子问题,分别应用谱方法离散哈密尔顿函数及哈密尔顿算子,进而应用平均向量场方法求积所得的有限维哈密尔顿系统,从而得到时间二阶和四阶分裂格式(下称"S-AVF(2)"和"S-AVF(4)").我们证明了S-AVF(2)和S-AVF(4)能同时保持4个离散能量且是无条件稳定的.此外,利用离散的傅里叶变换,我们还可以将所得格式写成显式形式.借助于能量分析方法,我们得到了S-AVF(2)和S-AVF(4)的误差估计.数值实验证实了理论分析结果.
孔新雷[5]2014年在《Birkhoff系统的保结构算法及离散最优控制》文中进行了进一步梳理本文以离散变分原理为主线,借助离散变分技巧构造了Birkhoff系统的保结构算法、广义Birkhoff系统的离散变分差分格式、约束Birkhoff系统的保结构算法以及Birkhoff系统的离散最优控制理论.首先,研究了Birkhoff系统保结构算法的构造方式.通过直接离散Pfaff–Birkhoff变分原理诱导出与之对应的离散Birkhoff方程,作为原有连续系统的数值差分格式,该方程组是自然保辛的.由此得到的Birkhoff系统的保结构算法,由于保持了原有连续系统的内在辛结构和变分特性,在模拟动力学系统的运动时更加有效.针对单摆运动方程、Lotka–Volterra系统以及线性衰减振子方程的数值模拟结果表明,与传统的差分格式相比,文中所构造的Birkhoff系统的保结构算法在收敛性、稳定性以及保守恒量方面具有明显优势;与通过其他构造方式所得到的保结构算法相比,由离散变分原理所得到的保结构算法在同阶精度的情况下更加精确.其次,讨论了广义Birkhoff系统高效差分格式的构造方法.本文通过修正Pfaff–Birkhoff变分原理,给出了能够直接诱导广义Birkhoff方程的Pfaff–Birkhoff–D’Alembert原理.通过直接离散Pfaff–Birkhoff–D’Alembert原理,诱导了相应的离散广义Birkhoff方程.当满足一定的非退化条件时,所得到的离散广义Birkhoff方程就确定了原始连续系统的一种数值离散格式——离散变分差分格式.这种离散变分差分格式,尽管不再是严格意义上的保辛算法,但由于兼顾了连续系统的近似变分结构,在模拟动力学系统的运动时比传统差分格式更加精确.数值验证表明,广义Birkhoff系统的离散变分差分格式不仅能够有效地模拟动力学系统的运动行为,而且可以精确预示系统的能量演化趋势.然后,将广义Birkhoff系统的离散变分差分格式应用于最优控制问题,提出了Birkhoff系统的离散最优控制理论.通过对目标泛函、受控方程以及固定边界条件的直接离散,将Birkhoff系统的最优控制问题转化为一个有限维的非线性最优化问题.其约束条件中的离散受控方程正是之前所构造的广义Birkhoff系统的离散变分差分格式.与采用传统差分格式离散最优控制问题相比,本方法能够诱导更接近实际的最优化问题,进而给出更加精确的离散最优控制,并且在离散划分充分细密的情况下,所求得的离散最优控制能够满足实际问题的需要.最后,研究了约束Birkhoff系统保结构算法的构造方法.与传统的离散方式不同,在构造约束Birkhoff系统的保辛格式时,本文直接离散与之对应的条件极值问题,再由此诱导具有自然保辛性质的离散约束Birkhoff方程.如此构造的保结构算法在执行时,不仅需要知道被模拟系统在初始时刻的状态,而且需要指定系统在其下一节点处的状态.然而,精确指定系统在该节点处的状态使之严格满足约束方程通常是非常困难有时甚至是不可能的.为此,文中相应地提出了一种自然、有效并且合理的解决这种初始化问题的方案.
王雨顺, 王斌, 秦孟兆[6]2008年在《偏微分方程的局部保结构算法》文中研究指明讨论偏微分方程的局部保结构算法,它是原来的整体保结构算法的自然推广.当边界条件适宜时,局部保结构算法自然是整体保结构算法,但整体保结构算法却不一定是局部保结构算法.局部保结构算法的概念能解释不同保结构算法之间的差异性,也能为分析和构造性能较好的保结构算法提供理论基础.不仅如此,合适的边界条件不再是局部保结构算法可应用于偏微分方程的必要条件,从而拓宽了保结构算法的适用性.还讨论了局部保结构算法的应用和系统构造问题,得到了非线性Klein-Gordon方程的一些新的格式.
宋明哲[7]2017年在《两类无限维动力学系统的多辛方法研究》文中认为冯康先生最早提出了保结构算法的思想,他的科研团队发展丰富了辛几何算法并在解决Hamilton系统的系列问题中取得的许多具有影响力的成果,随着人们的广泛关注,辛算法的基本理论和在多领域的应用上的日趋成熟。Bridges,Reich,Marsden,Patrick,Shkoller等人将求解Hamilton常微分方程的辛算法的思想进行推广,针对Hamilton偏微分方程提出了多辛算法。如今,随着多辛算法的蓬勃发展,大量重要的偏微分方程都被证实可以运用多辛形式进行描述,并通过多辛算法进行数值模拟,比如:非线性Schr?dinger方程、Maxwell方程、KdV方程、广义Kadomtsev-Petviashvili方程、非线性波动方程、Zakharov-Kuznetsov方程,Sine-Gordon方程以及一些椭圆方程。本文基于Bridges和Reich从Hamilton力学角度提出的多辛方程和多辛结构的理论基础,针对无限维Hamilton动力学系统,以低维波动方程为例,构造了其相应的多辛结构,得到并验证了其多辛守恒律以及局部能量和动量守恒律,这些守恒律均能较好地反映出系统方程的守恒性质并避免边界条件给算法适用性带来的影响。在此基础上,对Preissmann多辛离散格式在一维和二维多辛Hamilton偏微分方程上的具体情形进行了讨论,验证了离散多辛守恒律。对两类无限维动力学系统Sine-Gordon方程和KdV方程进行了多辛格式的构造,并通过计算机仿真,对这两种偏微分方程存在的孤子解进行了数值模拟,从模拟结果可以看出,本文中构造的多辛格式能够较好地模拟出Sine-Gordon方程和KdV方程的相关解且具有较高的精度,验证了多辛算法在处理无限维动力学系统时具有的有效性和良好的长时间数值稳定性,为保结构算法在无限维动力学系统上的实践和应用提供了参考。
余华平[8]2004年在《保结构算法的研究》文中进行了进一步梳理这篇硕士论文总结了我们在哈密尔顿系统保结构算法方面的一些研究工作。首先我们在经典哈密尔顿系统jet辛差分格式[8]的基础上，给出了一般哈密尔顿系统的jet辛差分格式的定义。并利用带有变系数辛矩阵的一般哈密尔顿系统中构造辛差分格式的生成函数法的思想，来建立由一般的反对称矩阵所确定的微分二形式与生成函数的关系，再利用哈密尔顿—雅可比方程来构造jet辛差分格式。另外我们还证明了[9]中的DEL(离散Euler-Lagrange方程)存在一个离散形式的几何结构，它沿着解是不变的，这个结构可以通过对离散的作用量函数求导得到。由此，我们也就证明了此格式的jet辛性质。利用这个结构我们还证明了此DEL方程满足离散的动量守恒形式。
佚名[9]2015年在《纪念冯康教授开创辛几何算法叁十周年学术活动在南京大学隆重举行》文中研究说明1984年全国"双微"会议上冯康院士首次提出了"哈密尔顿系统的辛几何算法".这一开创性的研究在国际上产生了巨大的影响.叁十年来,保结构算法的理论研究取得了长足进展,"保结构"的思想对"高振荡微分方程、延迟与随机微分方程"等的算法构造及相关B-级数理论研究产生深远影响,并在天文学、力学、物理学、化学、生物学、分子动力学、油气勘探、热核聚变等科学与工程领域得到了日益广泛的应用.为了缅怀冯康院士在该领域所做出的杰出
周福运[10]2014年在《KdV方程局部保结构算法的复合构造及“保结构算法模拟器”软件的开发》文中进行了进一步梳理局部保结构算法是保结构算法在偏微分方程上的推广,它在很大程度上拓宽了保结构算法的适用范围.本文利用局部保结构算法的复合构造方法,系统的讨论了KdV方程的局部保结构算法,给出了KdV方程一系列的多辛守恒格式、局部能量守恒格式和局部动量守恒格式.这些格式,不仅包含已有的被广泛应用的算法,也给一些新的算法.论文还给出多个试验结果,说明了新构造算法的有效性和优越性.经过近十年的发展,保结构算法在数值模拟偏微分方程上取得很大的成功,已经积累很多长时间计算稳定,计算精度高的算法.然而,工程人员和一些科学研究人员在实际应用这些保结构算法模拟具体的偏微分方程时,经常会感到很困难.因此,我们利用VC++和Matlab各自的优点,基于COM组件,设计了一套专门的软件,可以方便的模拟一些常用的方程.使用者只需要选择不同的方程类型,输入具体的参数和初值、边界值条件,软件就可以给出数值模拟解和目标时刻的图形.
参考文献：
[1]. 相对论性保结构粒子算法在等离子体多尺度过程中的应用[D]. 王雨雷. 中国科学技术大学. 2017
[2]. 某类非完整力学系统的保结构算法[D]. 龚丽红. 北方工业大学. 2014
[3]. 保几何结构算法在等离子体物理中的应用[D]. 肖建元. 中国科学技术大学. 2016
[4]. 偏微分方程保结构算法构造及分析[D]. 蔡加祥. 南京师范大学. 2015
[5]. Birkhoff系统的保结构算法及离散最优控制[D]. 孔新雷. 北京理工大学. 2014
[6]. 偏微分方程的局部保结构算法[J]. 王雨顺, 王斌, 秦孟兆. 中国科学(A辑:数学). 2008
[7]. 两类无限维动力学系统的多辛方法研究[D]. 宋明哲. 西北工业大学. 2017
[8]. 保结构算法的研究[D]. 余华平. 中国工程物理研究院. 2004
[9]. 纪念冯康教授开创辛几何算法叁十周年学术活动在南京大学隆重举行[J]. 佚名. 高等学校计算数学学报. 2015
[10]. KdV方程局部保结构算法的复合构造及“保结构算法模拟器”软件的开发[D]. 周福运. 南京师范大学. 2014