非结构网格上求解守恒律的具备保极值和保正的中心间断伽辽金法

论文摘要

本文主要研究非结构网格上求解二维双曲守恒律的中心间断伽辽金方法。中心间断伽辽金方法(central discontinuous Galerkin,CDG)结合了间断伽辽金(discontinuous Galerkin,DG)方法和中心方法的特点,是求解双曲守恒律的一系列高精度数值计算方法。CDG方法继承了DG方法的特性。由于CDG方法中基函数在单元界面上的间断性,CDG方法具备高精度、高度可并行性以及易于构造高阶格式的优点。并且,CDG方法结合了中心方法的思想,建立在两套交错重叠的网格上。这使得CDG方法具备更好的稳定性,并且无需在单元界面上使用黎曼函数。然而,由于需要在两套网格上分别建立近似解,CDG方法在数值计算和误差的理论分析上都存在困难。首先,目前关于CDG方法的工作大部分都建立在结构型的矩形网格上。而网格的结构性限制了方法的适用范围,使得CDG方法只能用于求解简单几何区域上的问题。因此,本文给出了一种非结构重叠网格的定义和构造方法,进一步在此非结构重叠网格上建立了高阶中心间断伽辽金方法,用于二维求解双曲守恒律。对于求解线性双曲守恒律,证明了所构造的非结构重叠网格上的CDG方法具备L2稳定性。接着通过一系列数值算例,对CDG方法进行了网格收敛性验证以及精度验证。为了验证非结构网格的适用性,求解了复杂区域上的不同问题。第二点,标量双曲守恒律的解具备保极值的特性,即标量双曲守恒律的解始终保持在最大值和最小值之间。因此,求解二维的标量双曲守恒律的数值方法应当能够保证数值解满足保极值性。本文基于DG方法中关于保极值方法的设计思路,设计了非结构重叠网格上求解标量守恒律的保极值的CDG方法。为了设计满足保极值性质的CDG方法,本文提出了数值解的单元均值的保极值原理,使得CDG方法在满足一定条件的情况下,数值解的单元均值满足保极值性。接着设计了保极值限制器,利用数值解的单元均值来修正数值解本身,使得数值解可以满足保极值性。第三,欧拉方程作为一类工程应用中常见的双曲守恒律,其数值解中的部分物理量,密度项和压力项,要求在计算过程中保持为正值。因此,设计出能够保持密度项和压力项为正值的计算方法对于求解欧拉方程具有重要意义。使用与保极值CDG方法类似的设计思路,本文设计了非结构重叠网格上求解欧拉方程的满足保正性质的CDG方法。为了设计满足保正性质的CDG方法,本文提出了数值解单元均值的保正原理,使得CDG方法在满足一定条件的情况下,数值解的单元均值满足保正性质。接着设计了保正限制器,利用数值解的单元均值来修正数值解本身,使得数值解可以满足保正性质。本文通过分别将使用限制器和未使用限制器的数值结果作对比,对非结构网格上的保极值和保正的CDG方法进行了有效性验证和误差分析。

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文章来源

类型: 硕士论文

作者: 胡彬彬

导师: 王坤

关键词: 双曲守恒律,中心间断伽辽金,非结构网格,保极值,保正

来源: 重庆大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学,数学

单位: 重庆大学

分类号: O241.82

总页数: 71

文件大小: 3898K

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