浅水方程阶梯黎曼问题精确解的求解方法研究

论文摘要

浅水方程（Shallow Water Equations,SWE）的间断问题被称为黎曼问题（Riemann Problem,RP）。黎曼问题又分为齐次黎曼问题和非齐次黎曼问题。其中含底坡源项的黎曼问题被称为阶梯黎曼问题（Step Riemann Problem）,也称非齐次黎曼问题。齐次黎曼问题已经得到了充分的研究,其求解方法有近似黎曼解和精确黎曼解。近似黎曼解有Roe格式,HLL格式以及ASUM格式等,精确黎曼解可以用简单的Newton迭代法来解决,这些都取得了很好的计算结果。而阶梯黎曼问题目前还没有一个好的解决方法。本文尝试利用迭代法解决这一问题。主要工作如下:（1）阶梯黎曼问题是在初始条件的基础上新衍生出两个新的状态,这两个新的状态与两边的初始条件之间存在着数学关系,如果这种关系以激波的形式呈现出来,则新衍生状态的物理量与初始条件的物理量之间满足RH条件;如果这种关系以稀疏波的形式呈现出来,则新衍生状态的物理量与初始条件的物理量之间满足广义黎曼条件。这两种情况的的排列组合构成四种黎曼解的形式。与齐次黎曼问题不同的是,阶梯黎曼问题会衍生出两个新的状态,这两个新衍生状态的物理量之间存在着满足RH条件的关系,会以静态激波的形式呈现出来。这些关系组成方程组,本文的任务就是求解此方程组。（2）研究讨论了使用Newton法求解上述方程组时出现的问题,这些问题体现了 Newton法在求解浅水方程阶梯黎曼问题时的局限性:①Newton迭代法出现不收敛情况;②Newton迭代法收敛至错解处;③Newton法迭代过程中出现雅可比矩阵奇异或接近奇异,迭代难以继续进行下去。针对Newton法的局限性在其他文献中寻找了两种改进算法:中点求积法和连续型修正Newton法来避开Newton法的缺点。其中,中点求积法采用对迭代初值进行优化的方法来达到对Newton法的改进;而连续型修正Newton法则通过对迭代步步长的优化来达到对Newton法的改进。并在几种不同形式的黎曼解下给出了两种算法的算例验证。此外,在算例验证的过程中,采用了简化方程组的方法以加快方程的求解速度。（3）研究讨论了基于Gauss-Newton法的优化型算法——阻尼牛顿法,也即LM算法,并对算法的数值特征进行了研究。介绍了 LM方法阻尼因子的选择及相应配套策略,结合信赖域方法调整自适应因子,从而构成自适应LM算法。详细解释了自适应LM算法的迭代过程;从该数值过程可以看出:通过对阻尼因子的调节,自适应LM方法具有了避开雅克比矩阵近似奇异区的能力,从而能够求解非线性方程组奇异问题。并对算法在较差迭代初值的条件下进行验证。

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文章来源

类型: 硕士论文

作者: 陈伟

导师: 许仁义,张松

关键词: 阶梯黎曼问题,精确求解,中点求积法,自适应算法

来源: 扬州大学

年度: 2019

分类: 基础科学,工程科技Ⅱ辑

专业: 地球物理学,水利水电工程

单位: 扬州大学

分类号: TV13

总页数: 68

文件大小: 3972K

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