一类拟线性椭圆型方程解的存在性

论文摘要

本文主要通过引进变量代换和临界点理论研究一类拟线性椭圆型方程非平凡解的存在性及其相关性质.该类方程来源于等离子物理学中的超流体膜方程,具有丰厚的物理背景,近几十年来受到国内外数学研究者的广泛关注.由于拟线性项的存在,使得方程对应的泛函在通常的Sobolev空间不好恰当定义,经典的变分理论不能直接应用.本文希望引入新的变量替换来研究一类一般拟线性椭圆型方程在超线性条件下解的存在性及其渐近行为,并进一步考虑凹凸非线性情形非平凡解的存在性.具体的研究工作如下:在第3章中,通过建立改进的变量替换,将一般拟线性椭圆型方程转化为半线性椭圆型方程,转化后所得方程对应的泛函在通常的Sobolev空间有意义,但是非线性项相应变得复杂.首先对非线性项利用变换的性质进行整理,而后利用变分法中的临界点理论,研究转化所得半线性椭圆型方程正解的存在性.最后通过对解进行估计和变量替换函数的性质,从而证明新得到的半线性椭圆型方程的正解就是原拟线性椭圆型方程的正解.该结果拓宽了现有相关文献中关于非线性项指数的范围.进一步,针对常数位势的情形,利用变量代换和约束变分理论,得到了一类一般拟线性椭圆型方程基态解的存在性,并研究了基态解的渐近行为.第4章主要研究包含凹凸非线性项的一般拟线性椭圆型方程正解的存在性.通过变量替换,将一般拟线性椭圆型方程转化成半线性椭圆型方程,由于原方程的非线性项包含凹凸非线性项,因此变换后所得的非线性项更复杂.利用山路引理、Lions紧性引理等,得到了含凹凸非线性项情形下一般拟线性椭圆型方程正解的存在性.第5章主要对本文内容进行了总结和展望.本文主要创新点是被改进的变量替换,从而使得所研究方程非线性项中的指数范围变得更广泛.但是,对于非常位势情况下正解的渐近性质尚未取得实质性进展,对含凹凸非线性项的拟线性椭圆型方程中的结果也可以进一步改进.

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文章来源

类型: 硕士论文

作者: 张翔

导师: 张贻民

关键词: 变分法,山路引理,拟线性椭圆型方程,变量替换,正解

来源: 武汉理工大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 武汉理工大学

分类号: O175.25

DOI: 10.27381/d.cnki.gwlgu.2019.001838

总页数: 53

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