关于几类流体方程相关极限的研究

论文摘要

本文我们考虑几类常见的流体方程,研究它们的强解及相关极限问题,也就是,局部解的粘性消失极限和整体解的衰减这两类问题。更确切地说,粘性消失极限问题是指,当粘性系数或扩散系数趋于零时,粘性流体方程的解收敛到无粘性或理想流体方程的解。在有界区域,边界条件将是一个关键,我们主要考虑的是Slip边界下粘性消失极限问题。而整体解的衰减问题是一个大时间行为,是指当时间趋于无穷大时,能量趋于零,本文也包括衰减率和渐近稳定性问题。我们考虑的是二维或者三维全空间下,用常规的Fourier频谱分解法来完成的弱解或强解L2的衰减问题。近年来,这两类问题是流体动力学方程研究的热点,我们围绕相关极限问题展开了一系列研究。第一章我们首先阐述了几类流体模型的背景以及它们之间存在的联系。其次,针对我们研究的相关极限问题的一些成果作了扼要的回顾,另外对这两类极限问题的发展现状作了详细的描述。最后,对本文整体的安排作了简要的说明。第二章我们考虑三维非齐次不可压Navier-Stokes方程的粘性消失极限问题。在Slip边界条件下的有界区域,针对平坦边界,利用Lp理论,结合先前的结果,我们提高了强解的正则性。然后利用代换运算获得了一致界,建立了强解的收敛性。第三章我们首先研究三维非齐次不可压MHD方程的的初边值问题。值得一提的是在这里考虑有界区域Slip边界条件下,只要求初值的一般正则性,并不要求相容性条件,用加权估计,获得了局部强解的存在性及唯一性。最后,讨论了粘性消失极限问题,因为没有得到强解一致界,所以我们要求理想MHD系统强解具有较高的正则性。第四章我们考虑三维不可压Boussinesq方程。首先,我们研究了一般有界区域内,在Slip边界条件下方程的局部强解正则性,然后用能量方法获得了强解的一致界,考虑了粘性消失极限问题,分为部分粘性消失和完全粘性消失两个方面来来证明。第五章我们关注二维热带气候模型强解的衰减性。我们从建立弱解衰减展开工作,然后到强解的衰减性,最后我们把这个结论推广到解的任意阶导数。第六章我们将致力于广义微极方程的解的整体正则性。三维微极方程与三维Navier-Stokes方程一样,在强解的整体存在性上,保持着开放性。在一般Sobolev空间,我们增加了扩散项的阶数,从而得到整体强解并证明了经典解的存在。第七章我们将讨论带阻尼项的微极方程的大时间行为。由于一些线性项的出现,半群方法不能直接应用。我们利用Fourier变换来克服这些困难,并用Fourier频谱分解法,证明了弱解的衰减率和强解的衰减率。并且讨论了初值扰动下的渐近稳定性,以及与经典微极方程解的误差。

论文目录

文章来源

类型: 博士论文

作者: 李红民

导师: 肖跃龙

关键词: 非齐次不可压流体,热带气候模型,微极流体方程,系统,方程,粘性消失极限,解的衰减性,边界条件,弱解,强解,解的存在性,解的唯一性,频谱分解法,能量法,逼近法

来源: 湘潭大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学,力学

单位: 湘潭大学

分类号: O175;O35

DOI: 10.27426/d.cnki.gxtdu.2019.001660

总页数: 113

文件大小: 4063k

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