若干个非线性发展方程的求解与解的性质研究

论文摘要

随着科学技术的日益发展,在许多科学领域中建立了比较准确的一大批常（变）系数非线性发展方程（组）数学模型,并获得了孤立子解。为了能更深入的了解此类数学模型的实际意义,构造常（变）系数非线性发展方程（组）的新精确解以及相关问题的研究显得有意义。最近,基于计算机代数系统,在非线性发展方程（组）的求解领域中提出诸多有效的方法。比如:齐次平衡法、双曲正切函数法、Jacobi椭圆函数展开法、辅助方程法和Hirota双线性法等。本文基于辅助方程法,给出函数变换与辅助方程法相结合的方法,构造了非对称变系数的变形Boussinesq方程组、耦合变系数的Novikov方程组和mKdV方程的由多种函数组合的复合型新解。另外,基于Hirota双线性方法,构造了常系数（3+1）维高维孤子方程和变系数（3+1）维K-P方程的多孤子解与怪波解。第一章中简单回顾了孤立子理论的发展、非线性发展方程的几种求解方法以及本文的主要工作内容的概括。第二章中用两种常用辅助方程的相关结论,构造了非对称变系数的变形Boussinesq方程组和耦合变系数的Novikov方程组的多个函数组合的复合型新解,并通过计算系统Mathematica研究解的性质。1.利用两种常微分方程与函数变换相结合的方法,获得了非对称变系数的变形Boussinesq方程组的由指数函数、三角函数和有理函数组合的无穷序列复合型新解。在此基础上,利用符号计算系统Mathematica,分析了复合型解的性质。2.利用两种辅助方程与函数变换相结合的方法,获得了变系数的Novikov方程组的由双曲函数、指数函数、三角函数和有理函数两两组合的复合型新解。这里包括类单孤子解、类双孤子新解以及类双周期解等新解。第三章中给出两个第一类椭圆方程与函数变换相结合的方法,获得了mKdV方程的无穷序列复合型解。这里包括双周期和双孤子解等新解。另外,利用符号计算系统Mathematica,分析了解的性质。第四章中基于Hirota双线性方法,获得了常系数（3+1）维高维孤子方程和变系数（3+1）维K-P方程的多孤子解和怪波解。1.步骤一、通过对数函数变换,将一种（3+1）维高维孤子方程化为双线性形式的方程;步骤二、用级数扰动方法,求解双线性方程的单孤子解、双孤子解和N-孤子解;步骤三、广义有理多项式与试探法相结合,构造了（3+1）维高维孤子方程的怪波解;步骤三、分析解的性质。2.步骤一、用Hirota双线性方法,将（3+1）维变系数K-P方程化简成双线性形式;步骤二、给出变系数的函数变换,构造了怪波解。另外,借助符号计算系统Mathematica分析解的性质。

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第一章绪论

1.1 简述孤立子理论的产生与发展

1.2 简顾非线性发展方程的求解方法

1.2.1 反散射方法

1.2.2 广田双线性方法

1.2.3 齐次平衡法

1.2.4 双曲正切函数展开法

1.2.5 辅助方程法

1.3 本文的主要工作

第二章用辅助方程法研究变系数方程组的求解问题

2.1 变系数的变形Boussinesq方程组的复合型新解

2.1.1 函数变换与变系数的变形Boussinesq方程组

2.1.2 二阶常系数齐次线性常微分方程的解

2.1.3 变系数的变形Boussinesq方程组的复合型新解

2.1.4 变系数的变形Boussinesq方程组的复合型解的性质

2.1.5 结论

2.2 变系数的Novikov方程组几种类型新解及其相互作用

2.2.1 一种辅助方程及其解

2.2.2 两种辅助方程与函数变换相结合的方法

2.2.3 构造变系数的Novikov方程组几种类型的新解

2.2.4 变系数的Novikov方程组新解的性质

2.2.5 结论

第三章辅助方程与变量分离变换相结合的方法

3.1 第一种椭圆方程的B?cklund变换

3.2 mKdV方程的复合型解及其性质

3.2.1 构造m KdV方程的复合型新解

3.2.2 mKdV方程解的性质

3.2.3 结论

第四章 Hirota双线性方法及其应用

4.1 Hirota双线性方法与（3+1）维高维孤子方程的新解

4.1.1 （3+1）维高维孤子方程的双线性形式

4.1.2 级数扰动法与多孤子解

4.1.3 试探函数法与怪波解

4.1.4 怪波解及其性质

4.1.5 结论

4.2 Hirota双线性方法与变系数（3+1）维K-P方程的新解

4.2.1 变系数（3+1）维K-P方程的双线性化

4.2.2 变系数（3+1）维K-P方程的怪波解

4.2.3 K-P解及其解的性质

4.2.4 结论

结语

参考文献

攻读硕士学位期间的科研成果

致谢

文章来源

类型: 硕士论文

作者: 彭亚丽

导师: 套格图桑

关键词: 非线性发展方程,辅助方程法,双线性法,多孤子解,怪波解

来源: 内蒙古师范大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 内蒙古师范大学

分类号: O175.29

总页数: 53

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