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空间分数阶KGS方程与分数阶扩散方程的数值方法

2020-12-02阅读(166)

空间分数阶KGS方程与分数阶扩散方程的数值方法

论文摘要

分数阶微积分在生物学、生态学、力学、材料学及控制系统等领域中起着越来越重要的作用。本文主要研究空间分数阶Klein-Gordon-Schr（?）dinger（KGS）方程组的守恒差分格式、Fourier谱格式,空间分数阶Schr（?）dinger方程的辛差分格式,及一类两边分数阶扩散方程的谱配置方法。在第二章,给出一些符号和分数阶算子的定义以及文中需要的一些引理。在第三章,首先给出带低次Yukawa作用的空间分数阶KGS系统在零边界条件下的守恒差分格式。在空间方向采用分数阶中心差分格式,在时间方向采用Crank-Nicolson/蛙跳格式。该格式是解耦的、线性的,并且满足离散质量和能量守恒律。进一步,分析了格式的稳定性和收敛性,表明收敛阶为O（h2+τ2）。最后给出数值例子验证算法的有效性和理论的正确性。在第四章,讨论带高次Yukawa作用的空间分数阶KGS系统的守恒差分格式。在空间方向采用分数阶中心差分格式,在时间方向采用Crank-Nicolson/蛙跳格式。所给出的格式是第三章中格式的修正,是解耦的,并且满足离散质量和能量守恒律。证明了格式的存在性和唯一性,讨论了格式的稳定性和最大模收敛性,并表明收敛阶为O（h2+τ2）。最后给出数值例子验证算法的有效性和理论的正确性。特别研究了分数阶阶数和高次项系数对某些孤波解行为的影响,并通过直观图像观察到一些有趣的现象,如量子次扩散和局部高振荡现象。在第五章,考察周期边界条件下带低次Yukawa作用的空间分数阶KGS系统的守恒Fourier谱格式。首先,在空间方向选择Fourier谱方法进行离散,得到该系统的半离散格式,并分析了该半离散系统的守恒性和收敛性。然后,在时间方向,采用Crank-Nicolson/蛙跳格式进行离散。证明了数值格式在离散状态下满足质量和能量守恒律,并分析了数值格式的稳定性和收敛性,表明收敛阶为O（τ2+N-r）。最后给出数值例子进行验证,特别研究了分数阶阶数α,β对某些孤波解行为的影响。在第六章,考察一维空间分数阶Schr（?）dinger方程的辛差分格式。首先,在空间方向,基于已有的二阶中心差分方法和四阶紧致方法,分析了空间分数阶Schr（?）dinger方程半离散化系统的辛守恒律。构造了一个四阶中心差分格式来对分数阶Schr（?）dinger方程进行空间离散,表明可以得到一个哈密顿系统。然后,利用辛中点格式对时间方向进行离散。通过数值实验验证算法的有效性。在第七章,研究了一类两边分数阶扩散方程的谱配置格式。因为此类分数阶方程的解在端点处具有奇异性,用经典多项式基函数不能很好地逼近方程的解。首先给出基于非经典Jacobi多项式关于高斯点的插值,并通过一些引理得到分数阶导数的微分矩阵。然后,分析了该谱配置格式的稳定性和收敛性。最后,通过几个数值算例验证了该基函数在求解一些分数方程中的有效性和适用性,包括两边分数阶方程、多项左边分数阶方程和时空分数阶扩散方程。

论文目录

  • 摘要
  • Abstract
  • 第一章 绪论
  •   §1.1 整数阶KGS系统
  •   §1.2 分数阶KGS系统
  •   §1.3 整数阶、分数阶KGS系统的研究进展及本文研究的主要问题
  •   §1.4 本文的主要工作安排
  • 第二章 预备知识
  •   §2.1 常用记号
  •   §2.2 分数阶导数的定义
  •   §2.3 一些有用的引理
  • 第三章 分数阶KGS系统的线性隐式守恒差分格式
  •   §3.1 分数阶KGS系统的守恒差分格式
  •   §3.2 稳定性和收敛性分析
  •   §3.3 数值例子
  •     §3.3.1 单孤立波
  •     §3.3.2 孤立波碰撞
  •     §3.3.3 广义分数阶KGS系统
  • 第四章 高次分数阶KGS系统的守恒差分格式
  •   §4.1 高次分数阶KGS系统的守恒差分格式
  •   §4.2 存在性和唯一性
  •   §4.3 收敛性和误差估计
  •   §4.4 解耦迭代算法
  •   §4.5 数值例子
  •     §4.5.1 低次分数阶KGS系统
  •     §4.5.2 广义分数阶KGS系统
  • 第五章 空间分数阶KGS方程的守恒Fourier谱方法
  •   §5.1 基于Fourier谱方法的空间半离散
  •   §5.2 分数阶KGS系统的全离散格式
  •   §5.3 全离散格式的收敛性和误差估计
  •   §5.4 数值例子
  •     §5.4.1 单孤立波
  •     §5.4.2 孤立波碰撞
  • 第六章 空间分数阶Schr（?）dinger方程的辛差分格式
  •   §6.1 空间分数阶Schr（?）dinger方程
  •   §6.2 空间分数阶Schr（?）dinger方程两个差分格式的保辛性
  •     §6.2.1 二阶中心差分格式
  •     §6.2.2 四阶紧差分格式
  •   §6.3 空间分数阶Laplacian算子的四阶中心差分格式
  •   §6.4 半离散系统
  •   §6.5 全离散系统
  •   §6.6 数值例子
  • 第七章 一类两边分数阶扩散方程的谱配置方法
  •   §7.1 准备工作
  •     §7.1.1 Jacobi多项式的性质
  •     §7.1.2 一些有用的引理
  • α'>  §7.2 分数阶微分矩阵Dα
  •     §7.2.1 θ=0时的分数阶微分矩阵
  •     §7.2.2 θ=1时的分数阶微分矩阵
  •     §7.2.3 0<θ<1时的分数阶微分矩阵
  •   §7.3 误差分析
  •   §7.4 数值例子
  •     §7.4.1 两边分数阶扩散方程
  •     §7.4.2 其它分数阶微分方程
  • 总结与展望
  • 参考文献
  • 致谢
  • 个人简历
  • 在学期间发表的学术论文与承担的项目

    • 文章来源

    类型: 博士论文

    作者: 王俊杰

    导师: 肖爱国

    关键词: 空间分数阶方程,分数阶边值问题,有限差分法,谱方法,辛方法

    来源: 湘潭大学

    年度: 2019

    分类: 基础科学

    专业: 数学

    单位: 湘潭大学

    基金: 国家自然科学基金面上项目(No.11671343),湖南省研究生科研创新项目(No.CX2017B264)

    分类号: O241.3

    DOI: 10.27426/d.cnki.gxtdu.2019.001669

    总页数: 145

    文件大小: 7581k

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