裕静静[1]2017年在《非线性方程（组）的迭代算法研究》文中指出在很多工程领域应用中经常涉及到非线性方程(组)求解问题,如何高效快速地求解非线性方程(组)已然是一个非常重要的研究方向。近年来,基于Newton迭代法和弦截法进行改进,得到收敛阶更高的算法是该方向的一个大趋势。根据对解非线性方程(组)的高阶算法的研究背景和研究现状的调研,本文介绍了几类经典迭代算法以及一些基于经典算法改进的迭代算法。在解非线性方程迭代算法研究方面,本文基于Newton迭代法和Chebyshev算法,提出了一族Newton-Chebyshev型的迭代算法,且经过收敛性分析表明该算法是2p+2阶收敛的。具体分析了该族算法中收敛阶分别为12、16、18的叁个特例算法,并通过计算比较它们的效率指数,结果表明特例算法效率较高,也说明这族迭代算法的优越性。在解非线性方程组迭代算法研究方面,将Newton迭代法分别与Runge-Kutta方法和求解非线性方程的King算法的思想结合,本文提出了两类五阶收敛的迭代算法。通过详细计算给出这两类算法的效率指数,以及一些已知算法的效率指数。并且将本文算法的效率指数与其它算法进行效率比率i,jR的比较分析,可知本文算法具有较高的计算效率。最后用数值实验验证了本文提出的求解非线性方程(组)的几类算法的有效性与优越性。
郭巧[2]2015年在《解非线性方程的几类高阶迭代算法及其收敛性分析》文中认为众所周知,在巴拿赫空间中,计算非线性问题是数学分析研究的重要对象之一。而迭代算法一直被认为是求解非线性方程的最有效的方法。而非线性问题一直以来都被数学界学者和工程制造者认为是探究各种社会现象和解决实际问题时所最重要的部分。数学在发展,科技在进步,各类非线性问题越来越引起数学家们的兴趣和关注。迭代算法的优劣取决于迭代收敛阶、收敛速度、效率指数甚至是初始值的选取等方面。而对于非线性方程乃至于方程组的求解又被认为是解决各类工程计算问题和研究数理推导中最主要的问题。因此,研究高阶迭代算法对于求解非线性方程、非线性方程组甚至于近代数学研究都具有重要的理论意义和应用价值。本文共分为五部分：第一部分介绍迭代法的研究背景、概念以及相关定义定理。第二部分对一些极具有代表性的迭代算法作了详细介绍,如经典牛顿迭代法、变形牛顿迭代法；叁阶收敛的Chebyshev迭代法、Halley迭代法、超Halley迭代法；以及四阶收敛的Jarratt 型迭代法等等.第叁部分以第一部分和第二部分为基础提出了一种新的利用Thiele-连分式的方法求解非线性方程的迭代方法。在此基础上,构造出叁阶和四阶收敛速度的Thiele-连分式迭代算法并对其收敛性进行了分析和推导。最后给出数值实例,进一步证明该迭代算法效率指数和收敛速度均优于另外几种非线性迭代。第四部分构造出一种新的基于函数值Pade逼近的[1/n]阶迭代算法。对其收敛阶数给出了证明并通过数值实例验证其收敛阶数和效率指数均优于另外几种迭代。第五部分通篇总结,展望未来,并对以后拟开展的工作提出了一些建议。
闫建瑞[3]2015年在《求解非线性方程组迭代算法的若干研究》文中研究表明非线性方程组的数值解法是计算数学中的重要研究方向之一,在很多实际问题中也有广泛的应用.近些年来该领域发展较快,先后提出了多种求解非线性方程组的数值解法.最经典的方法就是迭代法,本文主要探讨求解非线性方程组的迭代算法,共分四部分工作.绪论,概述了求解非线性方程组的发展和研究现状,简单介绍一些已有的求解非线性方程组的经典数值解法.最后,介绍了本文的内容安排.第一章,首先介绍了几种常见的解非线性方程组的迭代方法,包括Newton迭代方法、Ostrowski迭代方法等,然后利用权函数法提出了一种求解非线性方程的7阶迭代方法,并给出了收敛性证明,该方法在每步迭代的过程中需要计算3个函数值和1个导数值,故其效率指数为1.627.通过与其他几个方法作数值比较,数值结果表明本文提出的新方法是有效的.第二章,利用权函数法提出了一种求解非线性方程单根的8阶迭代方法,并给出了收敛性证明,该方法避免了求2阶导数,且在每步迭代的过程中需要计算3个函数值和1个导数值,故其效率指数为1.682.通过与其他几个方法作数值比较,数值实验表明所提出的算法是可行有效的.第叁章,提出了两种求解非线性方程组的5阶迭代方法,并对其收敛性给予了证明,最后给出了4个数值实验,通过与其他几个方法作数值比较,数值实验表明所提出的算法是可行有效的.第四章,提出了两种求解非线性方程组的高阶迭代方法,并对其收敛性给予了证明,最后给出了4个数值实验,通过与其他几个方法作数值比较,数值结果表明本文方法是可行有效的.第五章,对本文的工作进行了总结,指出今后进一步开展研究工作的设想、展望、建议以及尚待解决的问题.
武鹏[4]2008年在《解非线性方程的高阶迭代算法及其收敛性分析》文中提出非线性问题一直是近代数学研究的主流之一,而迭代法是求解Banach空间中非线性方程F(x)=0问题的最有效的方法。随着数学研究本身的发展和大型计算机的出现及完善,各种非线性问题日益引起科学家和工程技术人员的兴趣和重视。特别是有关近代物理和科学工程计算中的一些关键问题,归根结底都依赖于某些特定的非线性方程的求解。而迭代法的优劣对于非线性问题的求解速度的快慢和结果的好坏有很大的影响。近几十年来,计算机的迅猛发展有力地推动着数值分析的研究工作。一些经典的方法经过严格的实践检验后,显露出了若干缺陷,而这些缺陷在碰到计算量非常大的实际问题时,显得尤为突出。在大规模计算中,计算效率至关重要,人们往往对不同的问题选择不同的算法,以尽可能的避免使用低效率的算法。因此,我们在考虑算法收敛阶的同时,对算法在计算过程中每一步的计算量也尤为关心。所以从实际出发,进行具有高计算效能迭代算法的研究有重要的科学价值和实际意义。全文共分四部分。第一章概述了迭代法几个世纪的发展情况,介绍了一些具有代表性的迭代方法以及相关的迭代法的基本理论。近几十年来,数值工作者们不断的提出一些新的迭代格式,事实上这些新方法大多是根据实际情况的需要对经典的迭代格式进行修正和变形,因此Newton法等一系列经典的迭代法就成为我们讨论新的迭代方法的起点。数学家们对这些方法都做了很深入的研究,关于这方面的文章着作也是数不胜数,其中有非常丰富的理论结果和证明技巧是可以借鉴的。第二章提出了一族求解非线性方程的高阶收敛的迭代方法,并用基本的数学分析的方法对其收敛性进行了分析和证明。这里所说的高阶收敛不同于在第一章里提到的叁阶、四阶等具有固定收敛阶的高阶方法,而是指迭代法的具体形式和收敛阶数都会随着条件的变化而变化的。从理论上来讲,只要条件具备,这类型的迭代法是可以达到任意阶收敛的。一般来说,迭代法的收敛阶越高,条件和形式相应也会越复杂。比如Euler迭代族和Halley迭代族,这两族方法是可以达到高阶收敛的,但也必须计算高阶导数值。这一章里我们给出的新方法在迭代过程中不需要计算函数的高阶(二阶或二阶以上)导数值,只需要计算函数的一阶导数值,就可以达到较高的收敛阶。相比之下,我们的方法在达到相同收敛阶的同时,计算复杂性明显降低。尤其是在多维空间下求解的时候,就会有更明显的优势。另外我们还给出了一些具体的数值例子来进一步说明此方法在不需要计算高阶导数的情况下,同样可以达到很快的收敛速度。第叁章我们通过将Newton法与其它迭代法组合,得到了两族新的迭代法。本章的重点是介绍其构造方法和讨论其收敛性问题。所谓的组合就是用两个相同的或不同的迭代法构造出一个新的迭代法,这个新的迭代法里综合利用了原迭代法中的函数和导数的信息。两个迭代法组合后,其收敛阶自然也会相应有所提高,但是计算代价也可能会相应增加不少。而本章所构造的组合迭代法只需要多计算一个函数值,就可以使收敛阶在原迭代法的基础上提高了λ(1＜λ≤2)阶,同时还避免了计算二阶或二阶以上的导数值的麻烦。接着,我们运用这一组合方法构造出几个具体的迭代法,并通过计算一些数值实例和其它迭代法进行比较,不难发现这类组合方法比起一些要求相同计算代价的迭代法,有更高的计算效率。第四章介绍了一个变形的Jarratt方法。变形后的迭代法可以避免计算导数值的逆。我们用优序列的技巧在kantorovich条件下对这一变形的迭代法的收敛性分析进行了讨论,给出了其半局部收敛性定理。此变形的迭代法在迭代过程中不需要计算任何导数的逆,这在实际问题的计算中,可以大大提高计算效率。
刘晴[5]2015年在《求解非线性方程组的迭代方法的探究》文中研究指明非线性方程组求解问题是计算数学中的一个重要研究领域。随着科学技术的日益发展,求解非线性方程组的迭代方法也不断更新,各种高阶、高效的方法不断被提出。本文主要介绍叁种求解非线性方程组的迭代方法：1.在Newton迭代法和Chebyshev迭代法基础上提出了一种新的迭代方法,从理论上证明了该方法有较高的收敛阶,并给出了四个实例,将本文的方法与现存的几种迭代方法进行了比较。实验表明,我们的方法有明显的优势。2.通过改进Sharma和Gupta等人提出的迭代方法得到了一种新的迭代方法,从理论上证明了该方法具有五阶收敛性。利用数值实例,将我们的方法与现存的几种迭代方法进行了比较。实验结果表明,当n≥2时,无论是在收敛速度方面,还是在效率指数方面,我们的方法都有明显的优势。3.提出了一种新的解非线性方程组的迭代方法,并在理论上证明了它的可行性。在数值实例部分,将我们的方法与Newton迭代法,Cordero等人提出的四阶迭代法和五阶迭代法进行了比较。实验结果表明,我们的方法有明显的优势。就效率指数而言,当n≥2时,我们提出的方法效率高于其他叁种方法。
刘向军[6]2013年在《解非线性方程的不含导数的多点记忆迭代算法》文中研究指明在利用数学工具研究自然现象、社会现象或解决工程技术等问题时很多问题都可以归结为非线性方程f(x)=0的求解问题.在理论研究和实际应用中,对非线性方程问题的求解都占了很重要的地位.迭代法是求解非线性方程f(x)=0的根是最常见也是最重要的一类方法,而迭代法的优劣对求解非线性方程问题速度的快慢和结果的好坏都有很大的影响。众所周知,利用函数的高阶导数信息可以方便地构造高阶收敛的迭代格式.但在很多情况下计算高阶导数很费时或是不可能,因此研究不用导数信息的高性能迭代方法研究具有重要的科学价值和实际意义.本文主要研究求解非线性方程单根的不用求导信息的迭代算法.本文基于两点迭代算法,构造了一种非常有效的不含导数的记忆型的叁点算法.通过选取不同的参数,得到了收敛阶为10、11、(11+(?))/2≈11.35、12阶的迭代算法,而收敛阶的升高并没有增加额外的函数值计算.因此与其它已有方法相比,新的迭代算法更有效.文中证明了算法的有效性和相应的定理,最后通过数值试验进一步验证了算法的有效性和正确性.
陈红[7]2009年在《非线性方程的加速算法》文中认为近几十年来,随着数学研究本身的发展和大型计算机的出现及完善,各种非线性问题日益引起科学家和工程技术人员的兴趣和重视,目前国内外对非线性科学的研究正处于蓬勃发展阶段,非线性数值分析的理论与方法正发挥着越来越重要的作用,求解非线性数学,物理问题(包括常微,偏微边值问题,积分方程,微分方程等)、非线性力学,非线性优化,数值经济学等问题,又是非线性科学中最基本的问题,而上述问题最终都归结为求解非线性方程。因此研究方程的求解方法有着十分重要的意义。在创立微积分的十七世纪,Newton和Halley分别发明了现在普遍以他们的名字命名的迭代法,现阶段也有许多专家学者致力于寻求求解非线性方程迭代法的研究。本文讨论求解非线性方程的加速算法。在工程应用和科学计算中,常常会把问题简化、归纳得到一个给出数值结果的数学表达式,这个数学表达式常表示为方程。求解方程f ( x ) =0的根是应用数学中一个重要的问题。数值分析中在求解非线性方程的单根的各数值解法的基础是简单迭代法,它通过某个迭代式反复校正根的近似值,使之逐步精确化直到满足预订的精确值为止。但是数值分析中求解非线性方程的方法(对分法、线性插值法、牛顿法等)都有各自的缺点。因此需要设计有效的加速算法,使之能够更好的解决生活中和科学中的问题。全文共分五部分。第一部分主要介绍有关求解非线性方程的研究背景及意义和国内外的研究现状,指出了求解非线性方程是当今科学工作者研究的热点。第二部分介绍一些预备知识,包括相关的定义及定理。第叁部分讨论用建立在幂平均基础上的牛顿法求解方程的多重根的收敛性问题,证明了用此方法求解方程重根是线性收敛的,并且若知道了根的重数,可改进其迭代公式使其二阶收敛,同时该文结论部分说明了用幂平均牛顿法求解方程的多重根时,幂指数越小,收敛速度越快。第四部分提出了一个求解非线性方程的一般加速模式.在迭代式中引入一元函数H (T ),当H (T )满足一定条件时,可在任意一个P(p大于等于3)阶收敛的迭代式的基础上再增加一步使其加速生成P+3阶收敛的迭代法.新的迭代法不仅提高了收敛的阶和效率指数,且包含了若干最近提出的非线性方程的迭代算法为特例.数值实例说明了新方法的有效性.第五部分是小结内容,总结前面所提到的求解非线性方程的迭代解法及在研究过程中一些思考,同时也指出了在以后的研究过程中所要注意的问题和研究的方向。
刘静[8]2004年在《解非线性方程组高阶迭代算法的收敛性分析》文中认为求解Banach空间中非线性方程 F(x)=0算法问题,一直是数值工作者所研究的问题。迭代法是求解非线性方程的一个重要算法。现在,迭代法的研究日益成为解决各种非线性问题的核心,迭代法优劣的选择直接影响到各种非线性问题的结果的良好,所以迭代法的研究有着十分重要的科学价值和实际意义。 在众多迭代法中有经典的二阶收敛的Newton迭代,叁阶收敛的Chebyshev迭代、Halley迭代、超Halley迭代及其变形等。本文主要对一族免二阶导数计值迭代方法的收敛性及其在Kantorovich条件下的收敛性进行了分析,全文共分五章。 第一章,我们主要对几种迭代方法的收敛性进行了讨论。总结了各种迭代法和它们的收敛条件及证明各种迭代法收敛的技巧。 第二章,用优序列方法研究了变形Chebyshev迭代在γ-条件下的收敛性。同时,我们证明了此迭代法不但可以避免二阶导数计值而且具有叁阶收敛的性质。最后通过积分方程实例比较了它和Newton法,导数超前计值的变形Newton法,避免导数求逆的变形Newton法的每步误差。 第叁章,从带一个参数的叁阶迭代族出发,构造了一族免二阶导数计值带两个参数的迭代族,用其去逼近Banach空间中非线性算子方程的解。通过运用递归技巧,给出了这族迭代法叁阶收敛的收敛理论。 第四章,我们通过运用新的递归关系的技巧,讨论了在与Newton法收敛相同的Lipschitz条件下,上述迭代族的收敛性,并给出了非线性方程解的存在惟一性的定理。 第五章,数值例子。
曾喆昭[9]2008年在《神经网络优化方法及其在信息处理中的应用研究》文中认为论文全面地介绍了神经网络研究的发展历史及其意义、神经网络研究内容、神经网络应用前景、神经网络基本概念等,重点阐述了BP神经网络还存在的各种局限性及其改进方法。针对线性方程组求解问题,论文提出了基于矩阵元素的神经网络模型算法、基于向量空间的神经网络模型算法以及基于LDU分解的神经网络模型算法,证明了叁种模型算法的收敛性,为神经网络学习率大小的确定建立了理论依据。在权值调整中采用龙贝格(Romberg)修正法,有效避免了BP算法存在局部极小的问题。仿真研究结果表明,所提出的基于神经网络算法的线性方程组求解方法不仅具有高的计算精度,而且不涉及逆矩阵运算,因而是有效的计算方法。针对非线性方程和非线性方程组的求解问题,论文分别对神经网络模型和算法作了探索性研究,证明了算法的收敛性,为神经网络学习率大小的确定建立了理论依据。在权值调整中引入了动量项,有效加快了网络收敛速度。仿真研究结果表明,本文研究的求解非线性方程和非线性方程组的神经网络算法具有收敛速度快、计算精度高、收敛性不依赖初始值等特点。针对数值积分问题背景,论文对神经网络模型和算法作了一系列探索性研究,分析了神经网络算法的收敛性,为神经网络学习率大小的选择建立了理论依据,创造性地建立了数值积分与神经网络权值之间的关系。仿真研究结果表明,所提出的数值积分方法具有计算精度高,计算速度快的特点。针对微分方程初值问题的求解,论文探索性研究了求解微分方程初值问题的神经网络模型算法,并分析了算法的收敛性,为神经网络学习率大小的确定建立了理论依据。仿真结果表明,解微分方程初值问题的神经网络算法可以对微分方程初值问题的解建立数学模型,因而可以计算出任意给定点处的函数值,这是任何差分方法无法做到的。针对FIR(Finite Impulse Response)线性相位数字滤波器优化设计问题,提出了以余弦基函数cos( nω)为隐层神经元激励函数的神经网络模型算法,证明了神经网络算法的收敛性,为神经网络学习率大小的确定建立了理论依据。此外,本文将四种情况下的FIR线性相位数字滤波器的优化设计进行了有效统一,算法的通用性强。仿真实验结果表明,所提出的FIR线性相位数字滤波器优化设计方法有效避免了求逆矩阵的问题,因而有效克服了高阶FIR线性相位数字滤波器的优化设计瓶颈。针对信号的频谱分析问题背景,本文探索性研究了基于傅立叶基函数的神经网络模型算法,研究了算法的收敛性,为神经网络学习率大小的确定给出了理论依据。所提出的基于神经网络算法的信号处理方法(频谱分析、随机噪声滤波)不涉及复数的乘法运算和复数的加法运算,计算精度高,特别适合基于DSP芯片的软、硬件实现。最后,本文介绍了神经网络算法在传感器中的应用实例。使用傅立叶基函数神经网络算法拟合曲线的方法,对传感器灵敏度-温度特性曲线进行了拟合。研究结果表明,用傅立叶正交基函数神经网络算法拟合的曲线十分光滑,拟合精度高。基于正交基神经网络算法的传感器误差补偿方法具有高的补偿精度,计算量小,收敛速度快,与最佳直线拟合法、最小二乘法多项式曲线拟合法、非线性反函数补偿法以及其它神经网络的非线性补偿等方法相比具有明显的优势,因而是一种有效的传感器误差补偿方法。利用正交基神经网络与最小二乘递推算法相结合的多传感器信息融合方法对参数进行检测时,不需要知道传感器量测数据的任何先验知识,就可以通过神经网络训练估计出分布式参数的值。该方法既可以提高参数的检测精度,同时也具有很好的稳定性,计算量小,便于计算机实时处理,因而是一种有效的多传感器信息融合方法。
曾梅兰[10]2015年在《解非线性方程组的若干优化算法与应用研究》文中认为最优化理论与方法是一门应用性很强的学科,它研究如何从某些实际问题的众多可行方案中找出最优解.而非线性方程组的求解是最优化理论的重要组成部分.非线性方程组的求解在金融、贸易、管理、科学研究等国民经济的许多领域中有着广泛的应用.本论文主要是求解非线性方程组的若干优化算法与应用研究,提出了基于分式模型的解非线性方程组的信赖域法和新割线法,首次把求解非线性方程组的方法应用到求张量Z-特征值问题,提出了求对称张量Z-特征对的拟牛顿法和共轭梯度法,证明了这些算法的相关收敛性,并进行了数值计算分析,还研究了本文提出的几种算法在金融投资问题中的实际应用.整篇论文共分为八章.第一章主要介绍了本文的研究背景和意义、预备知识、研究现状和主要研究内容.第二章对求解非线性方程组的几种常用方法进行了概述.第叁和第四章是求解非线性方程组的算法研究.在第叁章我们提出了基于分式模型的解非线性方程组的信赖域法,证明了算法的性质,以及全局和局部二阶收敛性,并给出了该方法与信赖域牛顿法的数值对比实验结果和分析.实验结果表明对于那些曲率剧烈变化的非线性函数,分式模型逼近的效果好于一次模型.以此为基础,我们在第四章提出了基于分式模型的解非线性方程组的新割线法.该方法适用于那些雅可比矩阵难以计算的非线性方程组.在局部误差界的条件下,证明了算法的全局和局部超线性收敛性,并给出了该方法与拟牛顿法的数值对比实验结果和分析.实验结果表明新割线法对于某些问题比拟牛顿法更有效.第五和第六章是求解非线性方程组算法的应用研究,把求解对称非线性方程组的方法应用到求对称张量的Z-特征值.在第五章我们将求对称张量的特征对问题转化为求解非线性方程组的问题,证明了其非线性方程组的雅可比矩阵为对称矩阵,提出了求对称张量Z-特征对的拟牛顿法,证明了算法的全局和局部超线性收敛性,并给出了数值对比实验结果与分析.数值结果表明该方法对于求对称张量的Z-特征对在某种程度上比平移幂方法(SS-HOPM)更有效.在第六章我们将解对称非线性方程组的修正的FR共轭梯度法的线搜索技术进行改进,提出了求对称张量Z-特征对的修正的FR共轭梯度法,证明了算法的全局收敛性,并给出了数值对比实验结果与分析.实验结果表明该方法对于求对称张量的Z-特征对是有效的.第七章主要研究了本文提出的解非线性方程组的几种算法在金融投资问题中的实际应用.第八章对本文提出的算法进行了总结,并提出了一些值得进一步研究的问题.
参考文献：
[1]. 非线性方程（组）的迭代算法研究[D]. 裕静静. 合肥工业大学. 2017
[2]. 解非线性方程的几类高阶迭代算法及其收敛性分析[D]. 郭巧. 合肥工业大学. 2015
[3]. 求解非线性方程组迭代算法的若干研究[D]. 闫建瑞. 福建师范大学. 2015
[4]. 解非线性方程的高阶迭代算法及其收敛性分析[D]. 武鹏. 浙江大学. 2008
[5]. 求解非线性方程组的迭代方法的探究[D]. 刘晴. 合肥工业大学. 2015
[6]. 解非线性方程的不含导数的多点记忆迭代算法[D]. 刘向军. 兰州大学. 2013
[7]. 非线性方程的加速算法[D]. 陈红. 杭州电子科技大学. 2009
[8]. 解非线性方程组高阶迭代算法的收敛性分析[D]. 刘静. 浙江大学. 2004
[9]. 神经网络优化方法及其在信息处理中的应用研究[D]. 曾喆昭. 湖南大学. 2008
[10]. 解非线性方程组的若干优化算法与应用研究[D]. 曾梅兰. 南京航空航天大学. 2015
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