黎曼流形上一类抛物型Hessian方程的第一初边值问题

论文摘要

Hessian方程是一类完全非线性偏微分方程。在求解微分几何中的许多问题时,因为其形式上只与解的Hessian矩阵的特征值相关,所以这类问题都可以通过计算转化为解一个完全非线性Hessian方程,例如共形几何中的k-Yamabe问题、Minkowski问题和预设曲率问题等等。因此研究此类方程解的存在性和正则性,在解决一些几何问题时具有非常重要的理论意义和应用价值。基于Hessian方程的独特性与重要性,本文根据相关文献的研究思路,推广了黎曼流形上一类Hessian方程的容许解的先验估计。研究内容包含梯度估计、|ut|估计和二阶导数的内部估计。本文主要做了以下三个方面的工作:首先,建立对M=M×(0,T]上的抛物型Hessian方程的梯度估计。作为此类方程的推广,在本文研究的方程中,张量A[u]和非齐次项ψ都包含u和▽u,在添加一些假设后,又对A和ψ添加了增长性条件,从而得到了u的梯度估计。其次,对所研究的方程进行了关于t的估计,在这部分的证明过程中,为了消去Lφ估计中会出现一个常数项,提出了一个技术性假设,即令Ai=0和ψu=0.同已有的方法类似,我们在假设下解存在的情况下,通过构造函数W来完成|ut|的估计。最后,建立了该方程容许解的二阶内部估计。为了得到较为完善的内部估计,利用严格下解来构造闸函数,考虑函数W在MT内部达到最大值的情况,并通过最大值原理得出相应地结论。

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文章来源

类型: 硕士论文

作者: 杨泽

导师: 包革军

关键词: 方程,完全非线性抛物型方程,黎曼流形,问题,第一初边值问题

来源: 哈尔滨工业大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 哈尔滨工业大学

分类号: O175.8

DOI: 10.27061/d.cnki.ghgdu.2019.004941

总页数: 46

文件大小: 919K

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