具有超临界项的拟线性Schr?dinger-Poisson系统解的存在性

论文摘要

非线性偏微分方程作为现代数学中的一个重要分支,一直以来都极受关注,在自然科学、物理学以及工程领域中有着广泛的应用.迄今为止,对于偏微分方程解的存在唯一性、多重性及稳定性,包括偏微分方程的初值问题整体解的存在性及渐近行为等都已经有了一定的研究成果.本文所涉及的拟线性Schr?dinger方程作为非线性偏微分方程中最基本也是非常重要的一类分支,其解的存在性及多重性一直是数学家们感兴趣的研究方向.由此,本文利用山路定理、Moser迭代、截断技巧、变量替换方法讨论了一类具有临界和超临界项的拟线性Schr?dinger-Poisson系统解的存在性:其中K ∈ R,λ>0,V ∈ C（R3,R）,f∈C（R,R）本文分为两章,第一章考虑了系统（0.1）具有紧性条件时非平凡解的存在性问题,分别讨论了k>0与k<0的情形,我们假设非线性项f与位势函数V满足如下条件:（V0）V∈（R3,R）,存在V0>0,使得0<V0≤VX且lim|X|→∞VX=∞,X∈R3.（f1）f∈C（R,R）且|f（t）|≤C(1+|t|q-1);（f2）lim（t→0）f（t）/t=0;（f3）0<qF（t）:=q（?）≤f（t）t,t∈R?{0},其中,当k<0时8<g<12,当k>0时4<g<6.在上述条件下,本章首先运用变量替换法克服了相应于系统（0.1）的能量泛函在空间H1（R3）中无定义的困难.其次对变量替换后的非线性项进行截断,证明了截断后方程的能量泛函满足山路结构Cerami条件,并且证明了其能量泛函具有非平凡临界点uk.最后利用Moser迭代方法对uk进行了L∞估计,并获得了（0.1）非平凡解的存在性.主要结论如下:定理1.1.1假设V=1,（f1）-（f3）成立,p≥12且8<q<12.则对任意的κ<0,存在λκ>0使得当λ ∈（0,λκ）时,系统（0.1）有一个非平凡解uκ,λ.定理1.1.2假设（V0）,（f1）-（f3）成立,p ≥ 6且4<g<6.则存在K1>0和λ1>0,便得对任意的k∈（0,K1）和λ ∈（0,λ1）,系统（0.1）有一个非平凡解uk,满足||uk||∞≤（?）.第二章,我们考虑了系统（0.1）缺乏紧性时非平凡解的存在性问题,假设位势函数V与非线性项f满足如下条件:（V0）V∈C（R3,R）,且存在V0,V∞>0,使得对一切V∈R3,有0<V0≤V（x）≤V∞:=lim|x|→∞V（x）.（f0）f∈C1（R,R）,lim（t→0）f（t）/t=0且f（t）t≥0,t∈R;（f1）存在8<q<12,C>0,使得对任意的t∈R,f（t）≤C(1+|t|q-1);（f2）f（t）/t7在（0,+∞）上递增,且在（-∞,0）上递减;（f3）lim|t|→∞f（t）/t7=∞.本章考虑了系统（0.1）在k<0时非平凡解的存在性.首先采用变量替换法解决了由于拟线性项u△u2的存在使得相应能量泛函无合适工作空间的问题.其次,对非线性项进行截断,运用逼近法和集中紧性原理获得了截断后拟线性Schr?dinger-Poisson系统非平凡解的存在性.最后利用Moser迭代方法获得了（0.1）非平凡解的存在性.本章的主要结论为:定理2.1.1假设p≥2 12且（V0）,（f0）-（f3）成立.则对任意的k<0,存在λ>0,使得当λ ∈（0,λK）)时,系统（0.1）有一个非平凡解.

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中文摘要

Abstract

第一章绪论

1.1 研究背景

1.2 研究方法和创新点

第二章具有紧性的拟线性Schr?dinger-Poisson系统非平凡解的存在性

2.1 引言及主要结果

2.2 准备知识

2.3 κ<0的情况

0的情况'> 2.4 κ>0的情况

第三章缺乏紧性条件的拟线性Schr?dinger-Poisson系统非平凡解的存在性

3.1 引言及主要结果

3.2 准备知识

3.3 主要结果的证明

结束语

参考文献

研究成果

致谢

个人简况及联系方式

文章来源

类型: 硕士论文

作者: 孟亚君

导师: 冯晓晶

关键词: 系统,超临界项,迭代,山路定理,共轭方法

来源: 山西大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 山西大学

分类号: O175.29

DOI: 10.27284/d.cnki.gsxiu.2019.001511

总页数: 63

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