非线性趋化模型和浅水波模型解的适定性

论文摘要

方程解的适定性一直是偏微分方程理论研究领域的前沿和热点问题。通过研究具有奇异或退化的非线性发展方程的这类问题可以解释和预见物理、力学、生物等学科中的一些特有现象。本文考虑了两类非线性发展方程:生物趋化模型方程和浅水波模型方程。对生物趋化模型,研究了一类抛物-椭圆耦合的趋化-竞争模型的初边值问题,得到了光滑解的全局存在性、一致有界性和大时间行为。对浅水波模型,考虑了一种受科里奥利力（科氏力）影响的Camassa-Holm方程（R-CH方程）的柯西问题,在能量空间1H（）下证得了弱解的全局存在性、唯一性以及一般正则性结果,进一步,构造了方程弱解的Lipschitz度量,在此度量下,弱解是Lipschitz连续依赖于初值的。本文主要分为以下五个章节:第一章,绪论。介绍了趋化模型、浅水波模型的研究背景和本文的研究工作。第二章,研究了一类抛物-椭圆耦合的趋化-竞争模型的初边值问题。在非齐次Neumann边界条件下,假设初值满足适当的正则性条件。首先,当方程中参数比值足够小时,证明了初边值问题的解是全局存在且一致有界的;其次,当方程中某些参数充分大时,得到了解按指数（或多项式）衰减到常稳态解,并精确的算出了收敛率。（本章的主要结果发表在Discrete Contin.Dyn.Syst.A,2018（38）:3617-3636.）第三章,考虑了一类重要而又特别的浅水波方程—Rotation-Camassa-Holm方程（R-CH方程）。研究内容分为两部分:第一部分研究弱解的全局存在性,首先,通过定义新的能量变量将原方程化为半线性的常微分系统;其次,利用标准的常微分定理证明半线性系统的解是全局存在且唯一的;最后,对此半线性系统的解作逆变换,即可证明原方程的弱解在能量空间1H（）中是全局存在的。第二部分考虑弱解的唯一性,先引入新变量得到新的半线性常微分方程组,再利用方程右端项的Lipschitz连续性证明此常微分系统解的唯一性,然后利用反证法证明了原方程弱解是唯一的。（本章的主要结果发表在J.Differential Equations,2019（266）:4864-4900.）第四章,构造了R-CH方程弱解的Lipschitz度量。考虑到即使取光滑初值,R-CH方程在有限时间仍会产生波浪破碎（Wave-breaking）现象,故在通常的Sobolev度量下,第三章得到的弱解不是Lipschitz连续的。为了解决这个问题,首先,建立光滑解的Lipschitz度量;其次,运用Transversality引理证明解的一般正则性结果;再次,利用解的一般正则性结果,将光滑解的Lipschitz度量推广到一般弱解的情形;最后,将此Lipschitz度量和其他度量（Sobolev度量,1L度量,Kantorovich-Rubinstein度量）作了比较。第五章,本论文研究工作的总结和今后研究问题的展望。

论文目录

文章来源

类型: 博士论文

作者: 涂馨予

导师: 穆春来

关键词: 趋化模型,方程,大时间行为,科氏力,适定性

来源: 重庆大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 重庆大学

基金: 国家留学基金委“国家建设高水平大学公派研究生项目”

分类号: O175.2

总页数: 114

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