一、一个Sierpinski垫片Hausdorff测度的初等证明（论文文献综述）
罗辉[1]（2018）在《一类自相似集Hausdorff测度的计算》文中指出分形几何是20世纪70年代发展起来的一门新的学科,主要研究的对象是不规则几何图形,例如奇形怪状的云彩,分子无规则运动的轨迹,蜿蜒曲折的海岸线等。而它的思想和方法已经渗透到各个学科之中,即使分形几何这门学科有广泛的应用,但是就本身理论研究并不是特别容易,尤其是分形集的Hausdorff维数和测度的计算,尽管是自相似集,Hausdorff测度的计算也是特别困难。本文主要讨论平面上一类自相似集S和三维空间一类自相似集W的Hausdorff测度的计算。全文总共分为四章。第一章:论述与本文有关的背景及分形的现状。第二章:对分形集的基本定义以及相关的引理作了详细的叙述。第三章:首先在平面上构造一类自相似集S,然后对S进行上下界估计,得到S的Hausdor测度的准确值,即H1（S）=（?）,同时还得到一个推论,当相似比为1/r（0<1/r<1/5）且s = logr3 + log3/5/log1/r时,得到Hs（S）=（（?））s,其中s为Hausdorff维数。第四章:考虑在单位立方体内生成的一类自相似集W,分别利用自然覆盖原理和质量分布原理得到上界为（?）和下界为（?）,从而H1（W）=（?）。
郑冰蓉,李楚玲,许绍元[2]（2016）在《一个Sierpinski垫片的Hausdorff测度的准确值的计算》文中认为研究了一个Sierpinski垫片的Hausdorff测度,利用自相似集Hausdorff测度的上限估计的有效方法,得到Sierpinski垫片的Hausdorff测度的一个上界,然后应用垂直射影的方法得到Hausdorff测度的一个下界,从而得到该Sierpinski垫片的Hausdorff测度的准确值.
聂饶荣[3]（2014）在《自相似集的Hausdorff测度与上凸密度的估计与计算》文中研究表明本论文主要研究分形几何中一类自相似集Hausdorff测度的计算以及顶点处上凸密度的估计,并给出直线上一类自相似集存在最好覆盖的一个充要条件以及满足开集条件的自相似集的几乎处处最好覆盖为最好覆盖的几个充分条件.全文共分为四章.第一章主要介绍了分形的研究背景及现状,并对分形的基本定义和引理作了较为详细的叙述.第二章考虑单位立方体内生成的一类自相似集的Hausdorff测度的计算问题.在相似比满足一定条件下,证明了自然覆盖为实现上凸密度1的最好形状,即自然覆盖为最好覆盖,从而得到该类自相似集的Hausdorff测度的精确值为（√3）s,其中s为Hausdorff维数.第三章通过证明一类Sierpinski地毯各个顶点最好形状的集合族为该地毯的一个覆盖,进而证明该类Sierpinski地毯内任一点的上凸密度均不小于其顶点处的上凸密度,推广了最近的一些结果.第四章首先利用直线上自相似集的最好形状为闭区间这一重要特点,得到直线上一类自相似集存在最好覆盖的一个充要条件,之后得到满足开集条件的自相似集的几乎处处最好覆盖为最好覆盖的几个充分条件.
孙善辉,武以敏,李壮壮[4]（2013）在《正四面体生成的一般Sierpinski块的Hausdorff测度的估计》文中研究指明首先引入了正四面体生成的一般Sierpinski块的概念及其构造,给出正四面体生成的一般Sierpinski块的Hausdorff维数,并对其Hausdorff测度研究现状进行了分析;通过构造出一个新的迭代数列,得到了估计正四面体生成的一般Sierpinski块的Hausdorff测度的更好的公式,并计算得出了相关结果.
敖香[5]（2012）在《两类分形集的Hausdorff测度的估计》文中研究说明分形几何是20世纪70年代中期发展起来的一门新兴科学，它为研究自然界中一些不规则集合提供了新的思想，方法和技巧，引起了人们极大的关注和兴趣。美国着名科学家J.A.Wheeler说过：“明天谁不熟悉分形，谁将不能被称为是科学上的文化人。”Hausdorff测度与维数是分形几何中两个基本且重要的概念，对它们进行计算与估计自然成为分形几何的主要问题之一。然而，计算一个分形集的Hausdorff测度与Hausdorff维数是非常困难的，尤其是Hausdorff测度的计算。对于满足开集条件的自相似集，它的Hausdorff维数已经完全解决，其Hausdorff维数等于其相似维数；但其Hausdorff测度的准确值的计算仍然是很困难的，也仅有几种特殊的且维数小于1的Hausdorff测度被确定，对于维数大于1的分形，至今还没有算出一个分形集的Hausdorff测度的准确值。本文主要研究泛“方形花状”和Sierpinski地毯这两类具有自相似性的分形集的Hausdorff测度的估计值。第一章简要的介绍了文章的研究背景。第二章介绍测度论的相关知识，Hausdorff测度与维数的定义及性质，质量分布原理，自相似集与开集条件的定义及相关性质。第三章讨论泛“方形花状”的Hausdorff测度的上、下界估计。第四章讨论Sierpinski地毯的Hausdorff测度的上、下界估计。本文的创新之处在于研究相似比为1/5的泛“方形花状”分形集时，通过对其分形变换的分析，得到上界估计公式，并应用此公式得出一个较好上界估计值；利用自相似性质及质量分布原理，通过细致计算得到一个较好下界估计值；研究Sierpinski地毯时，选取特殊覆盖得到了较文献[31]更好的上界估计值，借用文献[27]的结果得到下界估计值。
王谦[6]（2010）在《若干类自相似集的Hausdorff维数与测度研究》文中研究指明分形集的Hausdorff维数与测度的估测与计算是当前分形几何研究的一个重要问题.分形几何中的自相似集是一类最重要、最典型,也是目前研究最为广泛和深入的分形集,尤其是s-集,它的Hausdorff维数等于自相似维数,但其Hausdorff测度的计算成果仍凤毛麟角.本文主要针对Sierpinski垫片和Sierpinski地毯的分形特点,并基于最优覆盖的Hausdorff测度的计算理论,研究其Hausdorff测度值.主要工作具体如下：第二部分主要介绍了Hausdorff维数和测度的基本概念及其性质,以及一些计算Hausdorff测度和维数的常用技巧,如质量分布原理等.第三部分系统阐释了自相似分形集的生成,并针对满足开集条件的自相似集,给出其Hausdorff维数计算方法,和基于最优覆盖的Hausdorff测度的计算理论.第四部分通过构造适当的覆盖集,得到了Sierpinski垫片S, Sierpinski地毯C×C, Sierpinski垫片类Sλ（1／3<λ≤1／2）与Sierpinski地毯Cλ（1／4<λ≤1／3）Hausdorff测度的上界估测公式,并利用计算机编程实现求解,改进了S和C×C的Hausdorff测度上界分别为0.817918996…和1.5018469….且利用基于最优覆盖的Hausdorff测度的计算理论,得到了Sierpinski垫片类Sλ（0<λ≤1／3）及Sierpinski地毯Cλ（0<λ≤1／4）的Hausdorff测度的准确值分别为1和(21/2)s.本文获得的主要结果与现有文献的证明过程和上界估测方法有本质的不同.此方法还可以类比推广到对泛Sierpinski垫片和Sierpinski海绵的Hausdorff测度的计算研究中去.
许荣飞[7]（2010）在《一类长方形Sierpinski垫片的Hausdorff测度与上凸密度》文中认为在平面上,由长为1,宽为a[1/2≤a≤1]的长方形生成的一类自相似集,也就是一个Sierpinski垫片。在满足强分离条件及维数小于1的条件下,证明了自然覆盖为其实现上凸密度1计算的最好形状,自然覆盖即是最好的覆盖。作为它的直接推论,可以得到该类自相似集的Hausdorff测度的精确值。
李毅侠,董新汉[8]（2009）在《不动点为正m面体顶点的一类压缩函数满足开集条件的研究》文中提出设{Sj}nmj=1是R3上由Sj（a）=aj+λ（a-aj）,j=1,2,…,nm定义的压缩函数系,其中nm表示正m面体的顶点数,aj∈R3表示正m面体的顶点,0<λ<1.给出了一个关于λ的条件,使得压缩函数{Sj}nmj=1当λ∈(0,ρm]时满足开集条件,当λ=ρm时满足相触条件.同时,给出了当0<λ≤ρm时,压缩函数{Sj}nmj=1的吸引子Km的Haus-dorff维数.
许绍元,张爱萍[9]（2008）在《关于Sierpinski垫片的Hausdorff测度的上限估值》文中进行了进一步梳理该文利用自相似集的部分估计原理,得到了Sierpinski垫片的Hausdorff测度的上限估值为0.8356151,这是迄今为止利用手工计算的最好结果.
费华[10]（2008）在《两类分形集的Hausdorff测度》文中研究说明20世纪80年代,曼德勃罗特（B.B.Mandelbrot）创立了分形几何,它提供了研究不规则几何对象的思想,方法与技巧。由于大量的不规则几何对象出现在自然科学的不同领域中,而人们发现不规则几何集合往往提供了许多自然现象的更好的描述,近年来,分形几何这一新兴学科在数学、物理、化学、生物等学科中获得巨大成功,同时,不同学科中提出的大量问题刺激了分形几何的深入发展。本文讨论平面上两类分形集的Hausdorff测度的计算问题.第一类是系统地研究了各种相似比的泛“方形花状”的Hausdorff测度:当相似比在区间(0,1/4]上,通过质量分布原理和泛“方形花状”自相似集的开集条件有效地估计了它的Hausdorff测度下界;并通过构造特殊的覆盖和利用Hausdorff测度的性质,得到泛“方形花状”Hausdorff测度的上界估计;同时给出了相似比为1/4时“方形花状”的Hausdorff测度一个更好的上下界估计。另一类则讨论了相似比为1/4“康托尘”的Hausdorff测度:利用Sierpinski地毯的Hausdorff测度和几何相似性,得到它的Hausdorff测度值;同时根据Hausdorff测度的李卜希兹不变性给出了较好的下界;并通过构造估计公式来得到它的Hausdorff测度较好的上界。本文分为五章,第一章介绍了文章的研究背景。第二章介绍Hausdorff维数和Hausdorff测度的定义及一些相关的定理。第三章介绍了满足开集条件的自相似集的一些相关性质。第四章讨论泛“方形花状”的Hausdorff测度,结果见（表一）:第五章介绍了“康托尘”的Hausdorff测度。
二、一个Sierpinski垫片Hausdorff测度的初等证明（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、一个Sierpinski垫片Hausdorff测度的初等证明（论文提纲范文）
（1）一类自相似集Hausdorff测度的计算（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| §1.1 引言 |
| §1.2 预备知识 |
| §1.3 Hausdorff测度及其维数 |
| 第二章 平面上自相似集S的Hausdorff测度的计算 |
| §2.1 分形集S的构造 |
| §2.2 对S的Hausdorff测度的上下界进行估计 |
| 第三章 三维空间上分形集W的Hausdorff测度的计算 |
| §3.1 分形集W的构造 |
| §3.2 对W的Hausdorff测度的上下界进行估计 |
| 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
（2）一个Sierpinski垫片的Hausdorff测度的准确值的计算（论文提纲范文）
| 1预备知识 |
| 1.1一个三分Sierpinski垫片的作图 |
| 1.2三分Sierpinski垫片的定义 |
| 2主要结果 |
（3）自相似集的Hausdorff测度与上凸密度的估计与计算（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 分形研究背景及现状 |
| 1.2 分形基本概念 |
| 第二章 一类正六面体的 Hausdorff 测度的计算 |
| 2.1 Hausdorff 测度研究现状 |
| 2.2 一类正六面体的 Hausdorff 测度的计算 |
| 2.3 应用 |
| 第三章 一类 Sierpinski 地毯顶点处上凸密度的估计 |
| 3.1 上凸密度有关定理概述 |
| 3.2 一类 Sierpinski 地毯顶点处上凸密度的估计 |
| 第四章 几乎处处最好覆盖与最好覆盖 |
| 4.1 直线上满足开集条件自相似集的相关定理 |
| 4.2 直线上的满足开集条件自相似集存在最好覆盖的充要条件 |
| 4.3 几乎处处最好覆盖是最好覆盖的充分条件 |
| 4.4 应用 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 攻读学位期间的研究成果 |
（5）两类分形集的Hausdorff测度的估计（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 1 绪论 |
| 1.1 分形几何的产生和发展 |
| 1.2 分形几何的特征性质及度量 |
| 1.3 对分形的研究 |
| 1.4 分形的发展前景 |
| 2 预备知识 |
| 2.1 Hausdorff 测度和维数 |
| 2.1.1 测度论基础知识 |
| 2.1.2 Hausdorff 测度及其性质 |
| 2.1.3 Hausdorff 维数及其性质 |
| 2.2 质量分布原理 |
| 2.3 自相似集与开集条件 |
| 2.3.1 压缩映射与不变集 |
| 2.3.2 自相似维数与开集条件 |
| 3 泛“方形花状”分形集的 Hausdorff 测度 |
| 3.1 分形集的构造 |
| 3.2 分形集的 Hausdorff 测度的上界估计 |
| 3.3 分形集的 Hausdorff 测度的下界估计 |
| 4 Sierpinski 地毯的 Hausdorff 测度 |
| 4.1 Sierpinski 地毯的构造 |
| 4.2 Sierpinski 地毯的 Hausdorff 测度的上界估计 |
| 4.3 Sierpinski 地毯的 Hausdorff 测度的下界估计 |
| 4.4 变形的 Sierpinski 地毯—Cantor 尘 |
| 5 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 附录：攻读硕士学位期间取得的科研成果 |
| 致谢 |
（6）若干类自相似集的Hausdorff维数与测度研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 目录 |
| 1 引言 |
| 2 Hausdorff测度与Hausdorff维数 |
| 2.1 Hausdorff测度及其性质 |
| 2.2 Hausdorff维数及其性质 |
| 2.3 质量分布原理与常用技巧 |
| 3 自相似分形集 |
| 3.1 自相似集的生成 |
| 3.2 自相似集的Hausdorff维数计算方法 |
| 3.3 自相似集的Hausdorff测度计算方法 |
| 4 若干类自相似集的Hausdorff测度研究 |
| 4.1 Sierpinski垫片S的Hausdorff测度 |
| 4.2 Sierpinski垫片类S_λ的Hausdorff测度 |
| 4.3 Sierpinski地毯C×C的Hausdorff测度 |
| 4.4 Sierpinski地毯C_λ的Hausdorff测度 |
| 5 结束语 |
| 参考文献 |
| 附件A 计算机运行主程序 |
| 致谢 |
| 在学期间的研究成果及发表的论文 |
（7）一类长方形Sierpinski垫片的Hausdorff测度与上凸密度（论文提纲范文）
| 1 相关引理 |
| 2 定理及证明 |
| 3 例子 |
（10）两类分形集的Hausdorff测度（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 1 绪言 |
| 2 Hausdorff 测度和维数 |
| 2.1 Hausdorff 测度及其性质 |
| 2.2 Hausdorff 维数及其性质 |
| 2.3 豪斯道夫维数与盒维数的联系 |
| 3 自相似集与开集条件 |
| 3.1 压缩映射与不变集 |
| 3.2 自相似维数与开集条件 |
| 4 泛“方形花状”分形集的Hausdorff 测度 |
| 4.1 分形集的构造 |
| 4.2 分形集的Hausdorff 测度下界估计 |
| 4.3 分形集的Hausdorff 测度上界估计 |
| 5 “康托尘”的Hausdorff 测度 |
| 5.1 分形集的构造 |
| 5.2 “康托尘”的Hausdorff 测度精确值 |
| 5.3 “康托尘”的Hausdorff 测度简单估计 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
四、一个Sierpinski垫片Hausdorff测度的初等证明（论文参考文献）
- [1]一类自相似集Hausdorff测度的计算[D]. 罗辉. 湘潭大学, 2018(02)
- [2]一个Sierpinski垫片的Hausdorff测度的准确值的计算[J]. 郑冰蓉,李楚玲,许绍元. 韩山师范学院学报, 2016(06)
- [3]自相似集的Hausdorff测度与上凸密度的估计与计算[D]. 聂饶荣. 南昌大学, 2014(02)
- [4]正四面体生成的一般Sierpinski块的Hausdorff测度的估计[J]. 孙善辉,武以敏,李壮壮. 重庆工商大学学报(自然科学版), 2013(02)
- [5]两类分形集的Hausdorff测度的估计[D]. 敖香. 重庆师范大学, 2012(11)
- [6]若干类自相似集的Hausdorff维数与测度研究[D]. 王谦. 浙江师范大学, 2010(04)
- [7]一类长方形Sierpinski垫片的Hausdorff测度与上凸密度[J]. 许荣飞. 科学技术与工程, 2010(02)
- [8]不动点为正m面体顶点的一类压缩函数满足开集条件的研究[J]. 李毅侠,董新汉. 湖南师范大学自然科学学报, 2009(02)
- [9]关于Sierpinski垫片的Hausdorff测度的上限估值[J]. 许绍元,张爱萍. 淮北煤炭师范学院学报(自然科学版), 2008(04)
- [10]两类分形集的Hausdorff测度[D]. 费华. 华中科技大学, 2008(05)
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