一、自适应有限元方法在凹角域椭圆问题上最佳误差估计(英文)（论文文献综述）
杜亚茹[1]（2021）在《矩形8节点样条有限元的L2超收敛分析》文中认为有限元方法是数值计算的有力工具,也是处理复杂工程问题的重要手段.在有限元方法的研究领域中,有限元的超收敛性是其中的重要内容之一.目前,三角形二次元的有限元超收敛性可由单元正交分析法证明;正规族矩形元的L2投影的超收敛结果也已经被证明,它的L2投影的超收敛点是相应一维超收敛点的乘积型.样条有限元方法是近年来结合样条方法和有限元方法发展起来的一类新的数值方法,样条有限元方法发挥了样条函数满足一定分片连续性,逼近精度高的优点,并且可以通过B网方法精确计算样条基函数的导数和积分,从而简化有限元刚度矩阵的计算.本文基于矩形8节点样条单元上的插值基函数,借助单元正交分析法,证明了矩形8节点样条单元关于L2投影的超收敛性.结论是,将矩形域Ω剖分成均匀的矩形单元,设Th为所有单元顶点,边中点以及单元中心点的集合.对给定的函数u,由矩形8节点样条单元所得在Ω上的L2投影记为uh,插值函数记为uI,则在区域Ω上有一致超收敛估计（uh-uI）（z）=O（h4）（z∈Ω）以及点集Th上的L2投影的超收敛性（u-uh）（z）=O（h4）.特别,在齐次本质边界条件下,这些性质直到边界都是有效的.最后,本文通过几个数值算例验证了矩形8节点样条单元在点集Th上的超收敛性.
张杝丹[2]（2020）在《二阶椭圆问题Crouzeix-Raviart元的梯度重构方法及超收敛性》文中研究说明Crouzeix-Raviart元（简称CR元）最初由Crouzeix和Raviart研究不可压缩粘性流体Stokes方程时提出.本文针对椭圆方程的CR有限元方法,研究其超收敛性和梯度重构方法.本文第一部分研究了变系数的二阶椭圆问题基于CR元的超收敛.在一致三角形网格上,其中任意两个相邻的三角形形成一个平行四边形.基于CR元和最低阶RT元之间的等价关系,证明精确梯度和后处理梯度之间的误差的收敛阶为3/2.第二部分,我们提出并研究CR元的超收敛点团恢复技术（SCR）.提出的恢复方法重建了一个C0线性梯度.线性多项式逼近是通过在某些采样点处对CR元逼近的最小二乘拟合获得的,然后利用导数得到恢复的梯度.SCR重构算子在四个模式的统一网格上超收敛.通过应用到奇异问题和变系数问题的自适应有限元方法,还证明了基于SCR方法的误差估计子是渐近准确的.
张宇[3]（2020）在《特征值问题的下谱界及多网格离散》文中认为本文从两个角度探索特征值问题的有限元解.一方面,我们讨论下谱界,包括渐近下谱界和可保证下谱界:另一方面,我们讨论多网格离散,包括Ciarlet-Raviart混合法的二网格离散,多网格校正及自适应有限元方法.关于特征值问题的下谱界,首先我们讨论了d（d=2,3,···）维区域上变系数二阶椭圆算子及Stokes算子的渐近下谱界.使用四种非协调有限元（包括Crouzeix-Raviart,推广的Crouzeix-Raviart,旋转Q1及推广的旋转Q1有限元）,我们对非协调有限元特征值近似提出了一种校正方法,并证明了校正后的特征值从下方收敛于准确值.而且该校正值仍然保持与未校正特征值相同的收敛阶.这些新的结果移除了特征函数是奇异以及特征值问题系数是常数的限制.其次,关于d（d=2,3）维区域上变系数Steklov特征值问题和反散射中Steklov特征值问题,我们对Crouzeix-Raviart和推广的Crouzeix-Raviart有限元特征值近似执行新的校正,得到了与二阶椭圆及Stokes特征值问题相似的理论结果.最后,通过使用弱形式的极小极大原理,我们得到了流体力学中两个谱问题的可保证下谱界.该极小极大原理是由算子形式的原理推导而来.这两个谱问题分别是流固振动的Laplace模型和晃动问题.需注意的是,与该问题相关的双线性型在H1（?）中均是半正定的.我们通过对解空间及有限元空间增加限制来解决这一难点.关于多网格离散,首先,对于Rd（d=2,3）中带有固定边界条件的重调和特征值问题包括板振动问题及板屈曲问题,我们研究了Ciarlet-Raviart混合法基于移位反迭代的二网格离散方案.使用该方案可以将细网格上一个特征值问题的解归结为粗网格上一个特征值问题的解以及细网格上一个线性方程组的解.使用未被现有工作所覆盖的新的论证,我们证明了当网格尺寸H>h≥O（H2）时,结果解仍然保持渐近最优收敛精度.其次,我们提出一种多网格校正方案来求解一个新的Steklov特征值问题,即反散射中Steklov特征值问题.用这一方案,在细有限元空间上解一个非对称不定的特征值问题可归结为在细有限元空间上解一系列对称正定的边值问题及在粗有限元空间上解一系列非对称不定的特征值问题.我们证明了特征值及特征函数的误差估计.最后,我们进一步讨论了该问题的后验误差估计及自适应算法.我们对原特征函数、共轭特征函数及特征值引入了误差指示子.并且,使用G（?）rding’s不等式及共轭技巧来给出有限元特征函数误差的能量范数的上界和下界,以此表明指示子的可靠性和有效性.对于上述所考虑的特征值问题及提出的方法,我们均给出了与理论结果相符的数值实验.
徐利洋[4]（2019）在《HopeFOAM间断有限元高阶并行计算框架关键技术研究》文中认为随着高性能计算的不断发展和计算理论的日益成熟,计算流体力学（Computational Fluid Dynamics,CFD）在科学研究与工业应用领域发挥着越来越重要的作用,可以有效降低研发成本、缩短开发周期、优化设计并提供可靠保障,将成为我国经济转型升级和“智能制造2025”中举足轻重的一环。CFD发展至今已广泛应用于实际工程中,而为精细刻画工程中临近边界处的复杂湍流,高精度数值模拟正成为未来CFD发展的趋势,其中高阶精度格式是其中一个重要方向,间断有限元（Discontinuous Galerkin Finite Element Method,DG-FEM）具有守恒性、高阶格式、非结构网格和稳定性等优点,是当前最有潜力的高阶方法之一。CFD并行应用开发横跨物理模型、数值计算、计算机等多领域,但目前面向高阶方法的开发框架匮乏,一定程度制约了高阶方法的发展和应用,为此,本博士课题基于开源软件Open FOAM,设计实现间断有限元高阶计算框架HopeFOAM,同时进行基于框架的不可压流体模拟稳定性、可压流体限制器、高阶并行计算性能优化等关键技术研究,主要工作和创新点如下:·设计实现了高阶间断有限元并行计算框架HopeFOAM（第二章）。深度挖掘有限体积法、有限元法和间断有限元法之间的关系,提出了基于开源有限体积CFD软件Open FOAM来开发间断有限元离散的方案,通过层次化架构来支撑高阶、高性能和可扩展性等特性,设计实现了HopeFOAM的高阶离散核心层、可扩展的离散系统描述层、前后处理工具等层次和重要组成模块,成功实现了完整CFD流程的高阶离散和运算,同时继承并扩展了原始Open FOAM的用户接口,使用户可以接近“零编程”来实现高阶应用开发。·全面分析了间断速度连续压力的不可压流体求解方法的时间、空间稳定性,为高阶间断和连续有限元混合方法（DG-CG）的运用提供依据（第三章）。本文讨论分析了基于DG-CG的INS求解器在小时间步下和高雷诺数下的时空稳定性,借助Pearson Vortex案例成功复现了纯DG下的小时间步不稳定性,同时测试了DG-CG的表现;采用特征值谱方法进一步说明了DG-CG方法的时间迭代稳定性;最后使用Poiseuille案例分析了DG-CG方法在高雷诺数下的空间稳定性,展示了粘性系数、离散阶次、网格尺度对数值稳定性的影响。·提出并实现了HopeFOAM的高阶限制器-探测器通用方案（第四章）。限制器-探测器对于保持高阶方法在激波问题中的稳定性至关重要,然而众多的种类适合于不同的情况,给限制器-探测器的实现和使用带来了困难。本文分析了主流的斜率、矩和WENO限制器,以及minmod、KXRCF探测器,提取并抽象出通用的计算过程,设计实现了基于HopeFOAM的一套统一的限制器-探测器接口,简化扩展开发的难度。在一系列带有激波间断的案例测试中,HopeFOAM表现出了高阶的收敛精度和数值稳定性。·在HopeFOAM中实现了基于Matrix-Free的线性系统性能优化,将有效支撑高阶和高维问题的模拟（第五章）。将Matrix-Free方法引入到HopeFOAM中,扩展了当前基于PETSc的线性系统,开发了针对无矩阵方法的数据成员类,并保持上层用户接口的一致性;实现了基于克罗内克积的高效矩阵向量乘法,有效缓解了访存限制,并设计了基于矩阵分块的显式向量化操作来提高处理器计算能力的利用率。在案例测试中,Matrix-Free方法具有良好的可扩展性,相比于传统的实现方法,在二维显式模拟中最高获得7倍加速比,而三维下加速比达到32倍。
侯典明[5]（2019）在《若干奇性问题和梯度流模型的高阶数值方法》文中认为本文研究了两大类偏微分方程的高阶数值方法,其中一类为具有奇性解的微分-积分方程和分数阶微分方程,另一类为具有梯度流结构的偏微分方程。论文大致分为两大相对独立的部分,前半部分针对一类微分-积分方程和分数阶微分方程,构造并分析了基于Muntz多项式逼近的高效谱方法;后半部分针对几个经典的梯度流方程,基于拓展的辅助变量法构造并分析了无条件稳定的时间离散格式。论文主要内容包含在下面几个章节中:第一章,介绍与本文研究密切相关的背景和研究现状,陈述本文的研究动机和主要内容,并给出本文所需的部分预备知识。第二章,首先给出Miintz Jacobi正交多项式的定义,讨论该多项式的基本性质。然后研究Muntz Jacobi多项式的逼近性质,特别是分析了加权投影算子和插值算子的基本逼近性质。第三章,首先在第一节提出和分析了一类积分微分方程和经典Possion方程的高效Miintz谱方法,给出了收敛结果的证明。收敛性分析结构显示:尽管精确解在边界处可能有奇性,只要选择适当的参数就能保证数值解的谱收敛。本节最后给出的数值算例验证了理论结果的正确性。在第二节我们考虑一类时间分数阶扩散方程,构造了一个Muntz谱方法,即基于Galerkin或Petrov-Galerkin弱形式和Muntz多项式逼近空间的谱方法。理论分析和数值研究表明:对于一般的右端项,数值解具有指数收敛。准确地说,基于Galerkin框架的算法分析和数值算例显示:只要取得合适的参数,数值格式就具有指数收敛。基于Petrov-Galerkin框架的Muntz谱方法尽管没有理论证明,但数值例子显示它具有与G alerkin方法相同的精度。在本章的最后一节,我们设计和分析了一类带弱奇异核的Volterra积分方程的Muntz谱配置点方法,推导了数值解的L∞-和带权L2-误差估计。相比已有方法,我们的方法对Volterra积分方程的典型解具有更高的收敛阶。第四章,考虑具有梯度流结构的一类偏微分方程,提出了一个拓展的标量辅助变量法（Scalar Auxiliary Variable,即SAV）,并借此构造了无条件稳定的时间离散格式。新方法的有效性在于将梯度流方程分解成几个非耦合的常系数Possion方程,后者可以用已有的任何快速算法求解。我们严格证明了所构造时间格式的无条件稳定性,并通过一系列数值试验验证了理论结果的正确性和算法的有效性。新方法是传统SAV方法的拓展。通过引入一个含参数的附加项,新方法不仅涵盖了传统的SAV,还放松了传统的SAV施加在自由能上的假设:即传统的SAV要求自由能的非线性部分有下界,而新的方法只需假设总的自由能或部分自由能有下界。后者更具有物理合理性,对梯度流模型有更广的适应性。
张杨杨[6]（2018）在《非协调有限单元方法对障碍问题的超收敛分析》文中研究指明有限单元方法作为一种被广泛应用的数值技术,主要思想是将求解域进行单元剖分,通过在微小单元上求解离散变分形式再从整体区域上将单元进行迭加。通过构造有限元空间可将实际问题的变分形式离散化,从而得到问题的有限元解。变分不等式问题由于具有比变分等式问题更灵活的边界条件而被作为很重要的研究课题,障碍问题是其中具有代表性的一类。本文基于变分不等式及有限元方法理论知识对障碍问题进行求解,分别使用了的线性元、双线性元和非协调元三种单元形式,并通过理论推导和数值实验得到相应的超收敛结果。本文首先介绍了研究背景,其中包含有限元方法的研究现状、通过列举前人所做的工作来为本文的工作确定方向。根据障碍问题的实际物理意义抽象除了它对应的数学表达式、变分形式以及离散变分形式。在确定了研究方向和研究课题之后,借助理论知识对于使用线性有限单元求解二阶椭圆型障碍问题的超逼近和超收敛结果进行理论推导。在得到了线性元的超收敛结论之后,本文选取了非协调元中的Carey元进行理论推导,其中利用到Carey元中协调部分与线性元之间的对应关系以及非协调部分的积分性质。在得到超收敛结果之后,本文通过选取有/无精确解的两个数值算例进行验证,在此过程中先后进行选取适当算例、建立数值实验流程、查阅单元坐标变换以及基函数、形状函数的相应理论,将数值实验流程中的各个步骤进行编程实现,其中包含区域剖分、求解离散化的单元刚度矩阵和单元荷载并合成,处理右端项和障碍进行求解。其中在使用线性元和双线性元两种单元的情况下获得了和理论结果较为一致的超收敛结果并且求得了使用Carey元的情况下的有限元解的值。通过线性元和非协调元的超逼近和超收敛理论推导,得到了3/2阶的超收敛结果,并且在使用线性元和双线性元两种单元的情况下获得了和理论结果较为一致的超收敛结果以及求得了使用Carey元的有限元解的值。
董海霞[7]（2016）在《求解界面问题的扩展杂交间断有限元方法研究》文中研究说明本学位论文提出并分析了一种求解界面问题的一致网格方法。首先,本文以泊松界面问题为例给出了该算法的基本思想。通过在界面附近构造一个新的分片多项式函数,得到一个界面与网格的边界一致的扩展界面问题。然后,采用杂交间断伽略金有限元方法（HDG）来求解该扩展问题,通过合理地选择数值通量,解在单元边界上的跳跃被自然地引入到了数值格式当中。与现有的方法相比,该方法构造的分片多项式函数是通过一个巧妙的二次Hermite多项式插值,外加一个标准的拉格朗日多项式插值的后处理得到。上述显式构造的多项式能够准确地捕捉到界面上的跳跃信息,而且存在唯一,并以3阶精度逼近原问题精确解的间断部分,更重要的是它与界面的形状及位置无关。另外,它使得扩展界面问题的解具有较高的正则性,从而保证了我们得以用HDG方法高精度求解。最后证明了该方法在L2范数意义下,其精确解及梯度均具有二阶收敛精度。文中涉及各种复杂界面椭圆问题的数值例子也验证了该算法的稳定性及收敛性。基于求解泊松界面问题的成功经验,本文随后研究了抛物界面问题,并重点考虑了移动界面情形。由于界面的位置和形状随着时间不断变化,因此需要在每一个时刻构造逼近解的间断部分的高精度分片多项式,在此基础上,它将原问题转化成界面与网格的边界重合的扩展界面问题。之后,利用HDG方法对扩展界面问题进行空间离散。通过合理设计数值通量,解在单元边界上的跳跃被自然地引入到了数值格式当中,从而保证了离散格式的二阶收敛精度。在时间方向,本文采用经典的向后欧拉格式进行离散,以保证全离散格式的数值稳定性。值得指出的是,每一时刻构造解的间断部分的分片多项式逼近的方法是不变的,只是界面的位置以及界面上的跳跃条件发生了变化,而这种变化只会对每一步要求解的线性方程组的右端产生影响,并不会改变线性方程组的系数矩阵。因此,在计算时只需要在第一个时间步完成对线性方程组系数矩阵的计算和组装,在后面所有时间步,只需要反复使用已经组装好的系数矩阵,从而大幅度提高了算法的计算效率。大量数值实验表明,在笛卡尔网格下,随着界面的移动,该方法不仅稳定,而且能够保证解及其梯度在L2范数意义下具有二阶收敛精度。在对泊松界面问题的研究中,出于理论分析的考虑,只讨论了带有形如[[▽u·n]]仿射跳跃条件的界面问题。为了处理更一般的带间断系数的界面问题,本文引进一种迭代技巧。通过该迭代技巧,一般的带有间断系数的界面问题的解,可以被一系列带有简单仿射跳跃条件的界面问题的解逼近,并且只要选取适当的收敛因子即可保证这种迭代法的收敛性。因此我们只需对这一系列逼近问题采用本文所提出的数值方法就可以实现对一般界面问题的高精度求解。与移动界面问题的求解类似,每一个逼近的界面问题,需要根据其解所满足的跳跃条件构造相应的解的间断部分的分片多项式逼近。为了验证算法的有效性,我们考察了圆环区域上带有一阶吸收边界条件的Helmholtz界面问题。数值实验表明,在拟一致网格下,该数值方法不仅稳定,而且解及其梯度在L2范数的意义下皆具有二阶收敛精度。
宋飞[8]（2016）在《间断、组合多尺度有限元方法的分析与计算》文中研究指明关于多尺度模型问题（包括带奇性多尺度问题）的研究,在科学和工程上有着非常广泛的应用.本文针对多尺度模型问题分别提出了多尺度间断Galerkin方法（包括多尺度间断有限元方法和多尺度间断Petrov-Galerkin方法）；传统有限元和超样本多尺度Petrov-Galerkin方法相结合的组合方法；多尺度间断有限体积元方法.在第二章中,我们研究了多尺度间断Galerkin方法（MsDGM）,包括多尺度间断有限元和多尺度间断Petrov-Galerkin方法.DG方法在处理曲边问题和非一致,非结构网格等情况时更有优势,而且DG格式具有局部守恒性质.这些优点在多尺度问题中有很多应用MsDGM是多尺度方法和DG方法的耦合,其主要思想是在超样本多尺度有限元空间中利用DG格式进行多尺度数值模拟.本章针对多尺度问题分别采用了间断有限元和间断Petrov-Galerkin两种数值求解方法.在DG的格式下,共振误差消失了.另外,Petrov-Galerkin方法可以降低计算复杂性.我们给出了误差分析并进行了数值模拟.数值试验显示数值方法是有效的.在第三章中,我们提出了组合有限元和超样本多尺度Petrov-Galerkin方法（FE-OMsPGM）用于求解奇性多尺度椭圆问题.例如,地下水流模拟中的通道问题或井-区域附近的奇性问题.FE-OMsPGM的基本思想是：先将计算区域分为问题区域和普通区域,其中问题区域是奇性所在的区域.然后在问题区域上利用细网格上的传统有限元方法,在普通区域上利用超样本多尺度Petrov-Galerkin方法,两种区域的交界面上的衔接问题利用加罚技术来处理FE-OMsPGM融合了FEM和OMsPGM的优点,自由度比传统FEM的少,处理奇性问题的效果比OMsPGM的效果好.我们给出了误差分析和相应的数值试验.数值结果显示了FE-OMsPGM的正确性和有效性.在第四章中,我们研究了间断有限体积元方法（DFVEM）.有限体积元方法是一种质量守恒格式,在计算流体动力学中有很广泛的应用.间断有限体积元方法融合了DG和FVEM二者的优点.我们构造了一种新的DFVEM,较之前的DFVEM,不同之处在于控制体的选取.本章研究的目的是为了提出求解多尺度模型问题的多尺度间断有限体积元方法.误差分析和相应的数值试验验证了方法的正确性.在第五章中,我们提出了多尺度间断有限体积元方法（MsDFVEM）求解多尺度问题MsDFVEM是多尺度方法与间断有限体积元方法的一种耦合,其基本思想是在超样本多尺度有限元空间中利用间断有限体积元方法逼近多尺度解,不仅可以准确的抓住小尺度的信息,同时也可以获得粗网格上的质量守恒.MsDFVEM可以看作是MsDPGM的一个小的扰动,因此在MsDPGM的基础上,我们只需对扰动项进行分析,进而给出MsDFVEM的误差分析.
程攀[9]（2011）在《Steklov本征值问题的边界积分方程的高精度算法》文中研究指明本文主要利用机械求积法得到偏微分方程的高精度近似值。与有限元方法、配置法等相比,具有精度高、计算量小,收敛速度快的优点.利用外推或分裂外推进一步提高近似解的精确度,精度可以达到O（h5）甚至O（h7）.特别是分裂外推算法具有平行算法的优点,可在机械求积法的基础上进一步减少计算复杂度.本文分别针对Laplace方程和弹性方程中Steklov特征值问题、具有线性边界条件的弹性问题,以及具有非线性边界条件的Laplace方程进行了求解.得到对应问题的高精度近似解.数值算例说明了此方法的优越性与有效性.首先研究在具有光滑边界的微分方程中引入Steklov特征值问题后,给出特征值问题的求解方法,以及他们在求解微分方程中的应用.利用位势理论, Laplace方程和弹性方程转化为边界积分方程.方程中将具有对数弱奇异积分和柯西奇异积分,机械求积法将被应用来近似这些算子得到线性方程组.根据Anselone聚紧收敛、渐近紧收敛,以及共轭算子的性质,我们得到近似解的误差具有奇数阶渐近展开式,且收敛速度为O（h3）.用外推算法进一步提高近似精度阶为O（h5）,还得到后验误差估计.利用特征向量的正交性与完备性得到边界条件值的广义Fourier级数展开,从而给出微分方程的新的求解方法.其次,集中研究在Laplace方程中具有多角形边界区域的Steklov特征值问题.利用位势理论, Laplace方程可转化为边界积分方程,方程中的积分核与调和函数在角点处都具有奇异性.为了消除积分核与调和函数在角点处的奇异性,我们引入sinp-三角变换,并对积分核与未知特征向量函数进行重组.由聚紧、渐近紧收敛性质,得到近似解的多变量渐近展开式和收敛精度阶O（h03）,利用分裂外推算法更进一步地提高了近似的精确度为O（h05）.最后,利用机械求积方法求解具有线性边界条件的弹性力学问题以及求解具有非线性边界条件的Laplace方程.利用位势理论,具有线性边界条件的弹性力学问题可转化为具有对数奇异和柯西奇异的边界积分方程以及具有非线性边界条件的Laplace方程可转化为非线性的边界积分方程.利用机械求积法得到求解对应解的近似的线性方程组或者非线性近似方程组.据Anselone聚紧收敛、渐近紧收敛得到线性方程组的可解性以及利用Stepleman定理得到了非线性近似方程组解的存在性.并得到解的近似误差的奇数阶渐近展开式.利用外推算法提高收敛的精度阶O（h5）以及得到后验误差.
杨军征[10]（2011）在《有限体积—有限元方法在油藏数值模拟中的原理和应用》文中提出本文在对有限元和有限体积两种数值离散方法的原理研究的基础上,提出了一种结合有限元和有限体积法求解油藏流体渗流模拟计算的算法：首先利用解耦算法将模型压力和饱和度分开求解,分别得到压力方程和饱和度方程,利用有限元方法对压力方程进行求解,对于饱和度方程中的对流项采取有限体积方法进行计算,而其他项仍用有限元方法计算。在用有限体积方法计算饱和度方程的对流项时,采用有限元网格的重心型对偶剖分网格作为有限体积的控制体积；为了便于利用有限元方法编程,本文提出了一种新的求解思路：在计算时并不按照有限体积方法对每个节点的流量进行求解,而是采用有限元思想,先计算每个有限元单元内所有节点在该单元内的部分流量,然后在总体合成时利用有限元的叠加原理分别叠加形成有限元节点方程的右端项,继而求出饱和度在有限元网格节点上的值,通过这种方法对饱和度方程进行了推导,最后得到一个类似有限元弱形式的结合有限元和有限体积方法的表达式,这样就可以避免同时开发有限元和有限体积程序分别计算相应部分,而在一个有限元平台上就可以开发结合有限元和有限体积方法的油藏数值模拟器。利用该算法对油水两相渗流问题进行了模拟计算,结果表明该算法能很好地结合有限元和有限体积的优势,既能充分发挥有限元适应性强的优点,又解决了单独使用有限元方法时遇到的饱和度计算困难的问题；本文提出的算法还可以有效地减少存储量、降低计算量。在此基础上,利用结合有限元和有限体积法对裂缝性油藏的渗流问题进行了初步研究,并对几个裂缝问题进行了模拟计算,结果表明该方法能较好地模拟含复杂裂缝的渗流问题,对裂缝性油藏数值模拟的实际应用具有一定的指导意义。
二、自适应有限元方法在凹角域椭圆问题上最佳误差估计(英文)（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、自适应有限元方法在凹角域椭圆问题上最佳误差估计(英文)（论文提纲范文）
（1）矩形8节点样条有限元的L2超收敛分析（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 引言 |
| 1 绪论 |
| 1.1 研究背景和现状 |
| 1.1.1 样条有限元方法的研究概况 |
| 1.1.2 有限元超收敛方法的研究概况 |
| 1.2 本文的主要工作 |
| 2 样条有限元方法介绍 |
| 2.1 多元样条方法简介 |
| 2.1.1 多元样条函数和光滑余因子协调法简介 |
| 2.1.2 B网表示方法 |
| 2.1.3 基于三角化四边形剖分的样条和样条空间S_d~r(Q_T) |
| 2.1.4 平面四边形样条单元族 |
| 2.2 四边形8节点样条单元 |
| 3 有限元超收敛方法介绍 |
| 3.1 Sobolev空间 |
| 3.1.1 空间W~(m,p)(Ω) |
| 3.1.2 Sobolev恒等式 |
| 3.1.3 多项式空间的商范数及Bramble-Hilbert引理 |
| 3.2 离散的δ函数和L~2投影 |
| 3.3 研究超收敛的若干方法 |
| 3.3.1 单元正交分析法 |
| 3.3.2 其它方法 |
| 4 矩形8节点样条有限元的L~2超收敛分析 |
| 4.1 参考单元上的8节点样条基函数及其性质 |
| 4.2 参考单元上8节点样条插值算子的误差项 |
| 4.3 参考单元上的插值余项与检验函数的内积估计 |
| 4.4 定理4.1的证明 |
| 4.5 数值实验 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 攻读硕士学位期间发表学术论文情况 |
| 致谢 |
（2）二阶椭圆问题Crouzeix-Raviart元的梯度重构方法及超收敛性（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 引言 |
| 1.1 研究背景及现状 |
| 1.2 预备知识 |
| 1.3 模型问题及引理 |
| 1.4 本文主要工作 |
| 第2章 椭圆方程Crouzeix-Raviart元的超收敛性 |
| 2.1 二阶椭圆问题的Crouzeix-Raviart元 |
| 2.2 Crouziex-Raviart元的超收敛分析 |
| 2.3 数值实验 |
| 第3章 Crouzeix-Raviart元的超收敛点团梯度重构 |
| 3.1 模型及Crouzeix-Raviart元 |
| 3.2 超收敛点团恢复方法 |
| 3.3 一致网格上重构方法的超收敛性 |
| 3.4 数值实验 |
| 总结 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 个人简历、在学期间发表的学术论文与研究成果 |
（3）特征值问题的下谱界及多网格离散（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 第一部分 绪论及准备知识 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 特征值问题研究背景及意义 |
| 1.2 国内外研究现状 |
| 1.3 本文工作 |
| 第二章 常用空间及符号 |
| 2.1 函数空间及范数的定义 |
| 2.2 有限元空间的定义 |
| 2.3 数值结果中常用符号 |
| 第二部分 特征值问题的下谱界 |
| 第三章 变系数二阶椭圆及Stokes算子的渐近下谱界 |
| 3.1 特征值问题及相关非协调有限元法 |
| 3.2 非协调元解误差估计及Poincaré不等式 |
| 3.3 特征值问题的渐近下谱界 |
| 3.4 数值实验 |
| 第四章 Steklov特征值问题的渐近下谱界 |
| 4.1 特征值问题及其相关非协调有限元方法 |
| 4.2 非协调元解的误差估计及迹不等式 |
| 4.3 特征值问题的渐近下谱界 |
| 4.4 数值实验 |
| 第五章 流体力学中特征值问题的可保证下谱界 |
| 5.1 抽象特征值问题及相关性质 |
| 5.2 抽象特征值问题的可保证下谱界 |
| 5.3 流体力学中两个特征值问题的可保证下谱界 |
| 5.4 数值实验 |
| 第三部分 特征值问题的多网格离散 |
| 第六章 重调和特征值问题Ciarlet-Raviart混合法的二网格离散 |
| 6.1 特征值问题及基本误差估计 |
| 6.2 基于移位反迭代的二网格离散方案 |
| 6.3 基于子空间迭代的二网格离散 |
| 6.4 数值实验 |
| 第七章 反散射中Steklov特征值问题的多网格校正 |
| 7.1 特征值问题及基本误差估计 |
| 7.2 一步校正 |
| 7.3 多网格校正方案 |
| 7.4 数值实验 |
| 第八章 反散射中Steklov特征值问题的自适应算法 |
| 8.1 基本误差估计 |
| 8.2 后验误差估计 |
| 8.3 边残差指示子 |
| 8.4 自适应算法及数值实验 |
| 第四部分 后记 |
| 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读博士期间主要研究成果 |
（4）HopeFOAM间断有限元高阶并行计算框架关键技术研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.1.1 高性能计算与编程墙 |
| 1.1.2 计算流体力学与软件平台 |
| 1.1.3 高阶并行计算框架研究的意义与挑战 |
| 1.2 相关工作 |
| 1.2.1 CFD并行应用开发模式与框架 |
| 1.2.2 高阶数值离散方法 |
| 1.2.3 高阶并行计算性能优化现状及趋势 |
| 1.3 研究内容 |
| 1.3.1 间断有限元计算框架设计:高阶可扩展的软件核心 |
| 1.3.2 基于HopeFOAM的高阶应用稳定性研究 |
| 1.3.3 基于HopeFOAM的 Matrix-Free性能优化技术 |
| 1.4 主要创新 |
| 1.5 论文组织 |
| 第二章 间断有限元计算框架设计:高阶可扩展的软件核心 |
| 2.1 HopeFOAM间断有限元并行计算框架设计 |
| 2.1.1 间断有限元方法离散原理概述 |
| 2.1.2 Open FOAM计算框架概况 |
| 2.1.3 HopeFOAM计算框架需求与设计 |
| 2.2 HopeFOAM高阶离散核心设计 |
| 2.2.1 间断有限元基函数设计 |
| 2.2.2 网格与自由度管理设计 |
| 2.2.3 场数据结构设计 |
| 2.2.4 基于PETSc的高阶线性系统设计 |
| 2.3 可扩展离散系统描述接口设计 |
| 2.3.1 基于DSL的高阶离散系统描述接口 |
| 2.3.2 高阶面通量计算接口设计 |
| 2.4 HopeFOAM高阶计算前后处理工具设计 |
| 2.4.1 并行划分与合并工具设计 |
| 2.4.2 基于参数方程的高阶曲面描述方法 |
| 2.4.3 基于误差的自适应后处理工具设计 |
| 2.5 实验与分析 |
| 2.5.1 平台部署 |
| 2.5.2 二维问题验证 |
| 2.5.3 三维问题验证 |
| 2.6 本章小结 |
| 第三章 基于HopeFOAM的间断速度连续压力INS求解方法稳定性研究 |
| 3.1 基于HopeFOAM的间断速度连续压力INS求解器设计与实现 |
| 3.1.1 连续有限元离散方法 |
| 3.1.2 HopeFOAM中连续有限元离散实现方案 |
| 3.1.3 不可压流控制方程和间断速度连续压力离散方法 |
| 3.2 DG-CG方法在INS问题中的时间稳定性分析 |
| 3.2.1 小时间步不稳定性分析 |
| 3.2.2 特征值谱分析 |
| 3.3 DG-CG方法的空间稳定性分析 |
| 3.3.1 Inf-sup稳定性分析 |
| 3.4 DG-CG方法精度与效率分析 |
| 3.4.1 时空离散精度 |
| 3.4.2 运行效率分析 |
| 3.5 本章小结 |
| 第四章 基于HopeFOAM的高阶限制器-探测器设计 |
| 4.1 HopeFOAM高阶限制器-探测器需求分析 |
| 4.2 基于HopeFOAM的高阶限制器-探测器设计 |
| 4.2.1 限制器-探测器通用算法流程 |
| 4.2.2 基于HopeFOAM的高阶限制器设计 |
| 4.2.3 基于HopeFOAM的激波探测器设计 |
| 4.3 基于HopeFOAM的高阶限制器-探测器实现 |
| 4.3.1 基于HopeFOAM的 WENO重构高阶限制器实现 |
| 4.3.2 基于HopeFOAM的 KXRCF激波探测器实现 |
| 4.4 实验与验证 |
| 4.4.1 限制器验证 |
| 4.4.2 探测器验证 |
| 4.5 本章小结 |
| 第五章 基于HopeFOAM的 Matrix-Free性能优化技术 |
| 5.1 HopeFOAM线性系统求解性能瓶颈分析 |
| 5.2 基于HopeFOAM的 Matrix-Free线性系统设计 |
| 5.2.1 克罗内克积 |
| 5.2.2 显式向量化运算 |
| 5.2.3 线性系统数据结构与接口设计 |
| 5.3 基于HopeFOAM的 Matrix-Free方法应用 |
| 5.3.1 Matrix-Free方法在显式求解中的应用 |
| 5.3.2 Matrix-Free方法在隐式求解中的应用 |
| 5.4 实验与验证 |
| 5.4.1 Matrix-Free方法显式求解验证 |
| 5.5 本章小结 |
| 第六章 结束语 |
| 6.1 研究工作总结 |
| 6.2 课题研究展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 作者在学期间取得的学术成果 |
（5）若干奇性问题和梯度流模型的高阶数值方法（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究现状 |
| 1.2 研究动机 |
| 1.3 研究内容及结构安排 |
| 1.4 预备知识 |
| 第二章 M(?)ntz Jacobi正交多项式及其基本逼近结果 |
| 2.1 M(?)ntz Jacobi正交多项式及其性质 |
| 2.2 M(?)ntz Jacobi正交多项式的最佳逼近误差估计 |
| 第三章 几类奇性问题的M(?)ntz谱方法 |
| 3.1 一类积分微分方程和经典Possion方程的M(?)ntz谱方法 |
| 3.2 一类时间分数阶扩散方程M(?)ntz谱方法 |
| 3.3 一类弱奇异Volterra积分方程的M(?)ntz Jacobi谱配置点方法 |
| 第四章 梯度流的一类拓展的SAV的高效数值方法 |
| 4.1 梯度流模型 |
| 4.2 拓展的SAV方法 |
| 4.3 空间谱离散和格式的实现 |
| 4.4 数值结果 |
| 参考文献 |
| 在学期间发表的学术论文与研究成果 |
| 致谢 |
（6）非协调有限单元方法对障碍问题的超收敛分析（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 第一章 引言 |
| 1.1 选题背景 |
| 1.2 研究现状与存在问题 |
| 1.3 研究方案与技术路线 |
| 1.4 一些约定 |
| 1.5 预备知识 |
| 1.5.1 Sobolev空间极其相关理论 |
| 1.5.2 有限元方法的基本理论以及障碍问题 |
| 1.5.3 Sobolev空间中的格林公式 |
| 1.5.4 线性插值和面积坐标 |
| 1.5.5 有限元的超收敛性 |
| 1.5.6 有限元法分析过程 |
| 1.5.7 线性元的介绍 |
| 1.5.8 非协调元的介绍 |
| 1.5.9 引理 |
| 第二章 线性有限单元分析 |
| 2.1 超逼近 |
| 2.1.1 超收敛 |
| 2.1.2 数值实验 |
| 第三章 非协调有限单元分析 |
| 3.1 Carey元的介绍 |
| 3.2 收敛和超逼近估计 |
| 3.3 超逼近 |
| 3.4 超收敛 |
| 3.5 非协调元数值实验 |
| 3.5.1 障碍问题解的求解 |
| 3.5.2 超逼近分析 |
| 结论 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
（7）求解界面问题的扩展杂交间断有限元方法研究（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 界面问题的研究现状与方法 |
| 1.2 本文的主要研究内容 |
| 第二章 杂交间断伽略金方法介绍 |
| 2.1 背景介绍 |
| 2.2 相关空间及其范数的介绍 |
| 2.3 杂交间断伽略金方法的基本框架 |
| 第三章 杂交间断伽略金方法求解椭圆界面问题 |
| 3.1 泊松界面问题及其正则性估计 |
| 3.2 贴体网格的HDG方法 |
| 3.3 拟一致网格下的HDG方法 |
| 3.3.1 扩展问题 |
| 3.3.2 HDG格式 |
| 3.3.3 分片多项式函数u_(a,h)的构造及误差估计 |
| 3.3.4 数值算例 |
| 3.3.5 误差分析 |
| 3.4 数值算例 |
| 3.4.1 圆形界面 |
| 3.4.2 复杂界面 |
| 第四章 杂交间断伽略金方法求解抛物界面问题 |
| 4.1 问题描述 |
| 4.2 扩展问题 |
| 4.3 分片多项式函数u_(a,h)的构造 |
| 4.4 HDG格式 |
| 4.5 数值算例 |
| 4.5.1 与时间无关的界面 |
| 4.5.2 移动界面 |
| 第五章 杂交间断伽略金方法求解Helmholtz界面问题 |
| 5.1 问题描述 |
| 5.2 扩展问题及迭代算法 |
| 5.3 函数u_(a,h)的构造 |
| 5.4 HDG格式 |
| 5.5 数值算例 |
| 第六章 总结和未来工作展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读博士学位期间完成的论文 |
（8）间断、组合多尺度有限元方法的分析与计算（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 模型问题 |
| 1.3 多尺度有限元方法 |
| 1.4 多尺度间断Gakerkin方法 |
| 1.5 组合有限元和超样本多尺度Petrov-Galerkin方法 |
| 1.6 间断有限体积元方法 |
| 1.7 多尺度间断有限体积元方法 |
| 1.8 本文的主要工作安排 |
| 第二章 多尺度间断Galerkin方法 |
| 2.1 超样本多尺度Petrov-Galerkin方法 |
| 2.2 间断有限元方法的一般框架 |
| 2.3 多尺度间断Galerkin方法 |
| 2.3.1 多尺度间断有限元方法 |
| 2.3.2 多尺度间断Petrov-Galerkin方法 |
| 2.4 MsDGM的误差分析 |
| 2.4.1 均匀化理论和多尺度展开 |
| 2.4.2 准备知识 |
| 2.4.3 MsDFEM的稳定性分析 |
| 2.4.4 MsDPGM的稳定性分析 |
| 2.4.5 主要结论 |
| 2.5 数值试验 |
| 2.5.1 求解带有振荡系数的多尺度问题 |
| 2.5.2 超样本单元的尺寸对误差的影响 |
| 2.5.3 求解L-型区域上的多尺度问题 |
| 2.6 本章小结 |
| 第三章 组合有限元和超样本多尺度Petrov-Galerkin方法 |
| 3.1 FE-OMsPGM的框架 |
| 3.2 FE-OMsPGM的误差估计 |
| 3.2.1 稳定性分析 |
| 3.2.2 主要结论 |
| 3.3 数值试验 |
| 3.3.1 FE-OMsPGM的正确性 |
| 3.3.2 超样本单元的尺寸对误差的影响 |
| 3.3.3 求解L-型区域上的多尺度问题 |
| 3.3.4 求解具有高对比通道的多尺度问题 |
| 3.3.5 求解井-奇性多尺度问题 |
| 3.4 本章小结 |
| 第四章 新的间断有限体积元方法 |
| 4.1 新的DFVEM的格式 |
| 4.2 DFVEM的误差估计 |
| 4.3 数值试验 |
| 4.4 本章小结 |
| 第五章 多尺度间断有限体积元方法 |
| 5.1 MsDFVEM的格式 |
| 5.2 MsDFVEM的稳定性分析和误差估计 |
| 5.3 本章小结 |
| 第六章 总结 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间的学术成果 |
| 致谢 |
（9）Steklov本征值问题的边界积分方程的高精度算法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 边界元方法的研究背景和研究现状 |
| 1.1.1 格林公式 |
| 1.1.2 边界积分方程 |
| 1.1.3 边界积分方程的几类求解方法 |
| 1.2 外推与分裂外推 |
| 1.3 Steklov特征值问题 |
| 1.3.1 相关定义 |
| 1.3.2 Steklov特征值的性质 |
| 1.4 本论文结构安排 |
| 第二章 Steklov特征值问题的外推算法及应用 |
| 2.1 Steklov特征值问题 |
| 2.2 机械求积法 |
| 2.3 渐近紧收敛理论 |
| 2.4 误差的渐近展开和Richardson 外推 |
| 2.4.1 误差的渐近展开 |
| 2.4.2 外推算法 |
| 2.5 Steklov特征解的应用 |
| 2.6 数值例子 |
| 结论 |
| 第三章 在多角形区域上的Steklov特征值问题 |
| 3.1 多角形上的Steklov特征值 |
| 3.2 积分核与方程解的奇性 |
| 3.3 机械求积法 |
| 3.4 分裂外推算法 |
| 3.4.1 多参数渐近展开 |
| 3.4.2 分裂外推 |
| 3.5 数值算例 |
| 结论 |
| 第四章 弹性方程中的Steklov特征值 |
| 4.1 弹性力学中的Steklov特征值问题 |
| 4.2 机械求积法 |
| 4.3 渐近紧收敛 |
| 4.4 误差的渐近展开与外推算法 |
| 4.5 Steklov特征解的应用 |
| 4.6 数值算例 |
| 结论 |
| 第五章 机械求积法解弹性力学中的线性边值问题 |
| 5.1 弹性力学中的线性边值问题 |
| 5.2 机械求积法 |
| 5.2.1 Nystr(o|¨)m’s 近似 |
| 5.2.2 渐近紧收敛 |
| 5.3 误差渐近展开和外推 |
| 5.3.1 渐近展开式 |
| 5.3.2 外推算法 |
| 5.4 数值算例 |
| 第六章 利用机械求积法求非线性边界积分方程的外推算法 |
| 6.1 问题引人 |
| 6.2 机械求积法 |
| 6.3 误差渐近展开和外推算法 |
| 6.3.1 渐近紧收敛 |
| 6.3.2 误差的渐近展开 |
| 6.3.3 外推算法 |
| 6.4 数值例子 |
| 结论 |
| 总结与展望 |
| 附录 I |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间的研究成果 |
（10）有限体积—有限元方法在油藏数值模拟中的原理和应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 目录 |
| 第一章 引言 |
| 1.1 研究的目的和意义 |
| 1.2 有限元和有限体积概述 |
| 1.3 有限元和有限体积在油藏数值模拟中的应用 |
| 1.4 结合有限元和有限体积法概述及其应用 |
| 1.5 裂缝性油藏数值模拟的现状和发展 |
| 第二章 有限元法的基本理论 |
| 2.1 微分方程的等效积分形式和加权余量法 |
| 2.2 变分原理和Ridz方法 |
| 2.3 平衡方程和几何方程的等效积分弱形式——虚功原理 |
| 2.4 有限元分析的一般过程 |
| 2.5 有限元的实现 |
| 第三章 有限体积法的基本理论 |
| 3.1 有限体积的基本原理 |
| 3.2 计算区域的离散化 |
| 3.3 控制方程的离散及基本格式 |
| 3.4 流体力学建立有限体积法的物理特性 |
| 3.5 无结构网格有限体积法的具体实现 |
| 第四章 有限体积-有限元法开发油藏数值模拟器的原理 |
| 4.1 油水两相二维数值模拟的有限体积-有限元法 |
| 4.2 油水两相三维数值模拟的有限体积-有限元法 |
| 第五章 有限体积-有限元法开发油藏数值模拟器的程序实现 |
| 5.1 求解过程中用到的主要方法和原理 |
| 5.2 FEPG平台上有限体积-有限元法开发油藏数值模拟器的原理和步骤 |
| 5.3 有限体积-有限元法油藏数值模拟器的开发 |
| 第六章 利用有限体积-有限元法对裂缝性油藏模拟初步 |
| 6.1 天然裂缝油藏一种离散裂缝模型的基本原理及其算法研究 |
| 6.2 天然裂缝油藏二维单相流数值模拟研究 |
| 第七章 全文总结 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 已发表和待发表文章 |
四、自适应有限元方法在凹角域椭圆问题上最佳误差估计(英文)（论文参考文献）
- [1]矩形8节点样条有限元的L2超收敛分析[D]. 杜亚茹. 大连理工大学, 2021(01)
- [2]二阶椭圆问题Crouzeix-Raviart元的梯度重构方法及超收敛性[D]. 张杝丹. 湘潭大学, 2020
- [3]特征值问题的下谱界及多网格离散[D]. 张宇. 贵州师范大学, 2020(12)
- [4]HopeFOAM间断有限元高阶并行计算框架关键技术研究[D]. 徐利洋. 国防科技大学, 2019(01)
- [5]若干奇性问题和梯度流模型的高阶数值方法[D]. 侯典明. 厦门大学, 2019(07)
- [6]非协调有限单元方法对障碍问题的超收敛分析[D]. 张杨杨. 中国地质大学(北京), 2018(08)
- [7]求解界面问题的扩展杂交间断有限元方法研究[D]. 董海霞. 湖南师范大学, 2016(09)
- [8]间断、组合多尺度有限元方法的分析与计算[D]. 宋飞. 南京大学, 2016(08)
- [9]Steklov本征值问题的边界积分方程的高精度算法[D]. 程攀. 电子科技大学, 2011(06)
- [10]有限体积—有限元方法在油藏数值模拟中的原理和应用[D]. 杨军征. 中国科学院研究生院（渗流流体力学研究所）, 2011(07)