一类拟线性薛定谔方程解的存在性及渐近性质

论文摘要

拟线性薛定谔方程来源于等离子物理、耗散量子力学等物理模型,关于拟线性薛定谔方程驻波解的存在性及其性质的研究是国内外数学研究者最近几十年关心的热点之一.本文主要研究一类来源于高功率超短激光物质中的拟线性薛定谔方程,需要克服的困难主要是方程对应的能量泛函在通常的Sobolev空间H1（RN）中没有定义,现有的结果主要是利用变量代换和临界点理论考虑非线性项满足（AR）条件时方程非平凡解的存在性.本文将研究非线性项不满足（AR）条件时方程非平凡解的存在性以及解的渐近行为.具体的研究工作和创新点如下:首先,考虑了常数位势情形时拟线性薛定谔方程基态解的存在性,将经典的Berestyck-Lions场方程结果推广到了该类拟线性薛定谔方程.进一步,针对现有解的存在性结果均是考虑非线性项满足（AR）条件的情形,在有界位势情形下,利用变量代换将拟线性薛定谔方程转化成半线性椭圆型方程,再结合临界点理论得到了非线性项不满足（AR）条件时拟线性薛定谔方程非平凡解的存在性.其次,研究了一般拟线性薛定谔方程的正径向对称解,讨论不同的参数取值范围下变量代换公式的基本性质,利用约束变分的思想得到了拟线性薛定谔方程基态解的存在性、径向对称性以及指数衰减性.进一步,针对该类方程暂时没有关于解渐近行为的结果,本章采用Moser迭代的方法对方程的解进行一致L∞估计,由此证明了方程的解L∞有界,并结合变分原理得到了方程基态解当拟线性项系数趋于零时的渐近行为.最后,对本文内容进行了总结和展望,特别是由于此类拟线性薛定谔方程的L2约束解暂时未见,因此本章对于求解拟线性薛定谔方程L2约束解所需要的Gagliardo-Nirenberg不等式进行了论证推导,并希望接下来能利用这些不等式确定方程L2约束解的存在性与非线性项指数之间的关系.

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文章来源

类型: 硕士论文

作者: 邱雯

导师: 张贻民

关键词: 拟线性薛定谔方程,临界点理论,基态解,集中紧引理,渐近行为

来源: 武汉理工大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 武汉理工大学

分类号: O175.29

DOI: 10.27381/d.cnki.gwlgu.2019.001467

总页数: 57

文件大小: 1281K

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