偏序集和半群的谱对偶理论研究

论文摘要

1937年,Stone研究了布尔代数的谱,建立了布尔代数范畴和Stone拓扑空间范畴的对偶等价.接着Stone将研究对象由布尔代数推广到分配格上,证明了分配格和格同态构成的范畴与spectral空间和spectral映射构成的范畴对偶等价.随后许多学者研究了各种序结构或者代数结构上的谱,比较著名的结论有环,分配交半格,带单位元的半格,分配并半格,有界格,分配偏序集等等.最近依然有很多结构上的谱吸引学者们的关注.本文中我们研究了偏序集,半格,格,半群和序半群上的谱,并且给出了许多结果.在第三章中,令P是一个无底元的偏序集.我们关注的拓扑空间是P的所有素半理想上赋予壳核拓扑构成的拓扑空间.观察到这个空间中所有非空超紧开子集的族构成了此拓扑的一个基,并且一一对应于P中的元素.这一发现启发我们定义了一个新的拓扑空间,PP*-空间,它正是无底元偏序集的对偶空间.我们建立了范畴PS,它的对象是无底元的偏序集,态射为保序的且素半理想的逆仍是半素理想的映射.证明了范畴PS和范畴PP*T是对偶等价的,其中PP*T是以PP*-空间作为对象和满足非空超紧开子集的逆仍是非空超紧开子集这个性质的映射为态射的范畴.类似的我们分别得到有底元的偏序集,半格和格的拓扑对偶表示.此外,我们还得到了无底元偏序集的对偶空间是弱sober的,但并不总是sober的,而带底元的偏序集的对偶空间是sober的这些有关性质的结果.特别地,无底元半格的对偶空间是弱sober的,而不是sober的.在第四章中,主要探讨交换半群S中素理想上的壳核拓扑,称由S的所有素理想构成的集合带有壳核拓扑的拓扑空间为S的谱,记为Spec（S）.分别给出了无零元和有零元两种情况.我们证明了拓扑空间X同胚于一个无零元交换半群S的谱Spec（S）,当且仅当X是SF-空间,此空间通过满足某些拓扑性质来刻画;拓扑空间X同胚于一个带零元交换半群S的谱Spec（S）,当且仅当X是SP-空间.接下来,证明了无零元交换半群范畴和SP*-空间范畴之间存在一对伴随;带零元交换半群范畴和SP-空间范畴之间存在一对伴随.第五章不仅发展了序半群的素理想理论,而且研究了序半群中素理想上的壳核拓扑的许多拓扑性质.首先,为了保证素理想的存在,我们研究了一类序半群,用SIP表示,并给出了此类序半群的特征刻画,证明了如果S是交换序半群或超正则序半群,那么S∈SIP.随后介绍了素理想的壳核拓扑,研究了分离公理,紧性和连通性等拓扑性质,并且给出了此拓扑空间的刻画.接下来将重点放在子空间M（S,I）,即由序半群S中包含理想I的极小素理想上.证明了如果S∈SIP,则拓扑空间MM（S,I）是T2的,完全不连通的,完全正则的且所有既开又闭的集合构成此拓扑的一个基,并且如果S是一个伪补交换序半群,那么极小素理想空间MM（S）是一个Stone空间.最后给出了该子空间的拓扑性质,讨论了该子空间与序半群S之间的联系.在第六章中,研究了序半群中素L-模糊理想的谱理论.给出并讨论了 L-模糊理想和L-模糊素理想的概念.随后得到了序半群的L-模糊谱空间.研究发现此拓扑空间是T0并且是sober的.此外,还研究了该拓扑空间的一些同胚空间.最后,我们得到了从交换序半群范畴到sober拓扑空间范畴的一个反变函子.

论文目录

文章来源

类型: 博士论文

作者: 吴唤荣

导师: 李庆国

关键词: 偏序集,半格,半群,序半群,素理想,壳核拓扑,拓扑,拓扑对偶

来源: 湖南大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学,数学

单位: 湖南大学

分类号: O153.1;O152.7

DOI: 10.27135/d.cnki.ghudu.2019.002092

总页数: 81

文件大小: 2853K

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