一、一阶非齐次线性微分方程的几种解法（论文文献综述）
李希,赵临龙[1]（2021）在《一类微分方程的解法探讨》文中研究指明对一类微分方程进行变量代换,将其化为伯努利方程、恰当方程形式,给出相应的结果,并对微分方程类型进行讨论,探讨相关联的微分方程,以及给出推广的微分方程的解.
高鹏慧[2]（2020）在《湍流大气和自由空间中位相奇点光束的传输特性研究》文中进行了进一步梳理激光在大气中传输,由于大气湍流扰动的存在,沿光束传输路径上的折射率分布随机变化,这将会导致光束的波前结构遭到破坏,进一步引起光束携带信息的损坏,甚至丢失。位相奇点光束与轨道角动量相关,由于可能的光束轨道角动量数理论上是无上限的,对其的研究在光通信中具有重要的潜在应用价值。位相奇点光束在传输的过程中,受制于湍流的影响,轨道角动量各模态之间将会发生串扰,不利于在接收端对光束携带信息的提取。本文目的是致力于探究出湍流扰动对位相奇点光束波前位相分布的影响,发现位相分布的演化规律,以及位相奇点光束经过湍流传输后的螺旋谱特性。另外,本文也讨论波前位相分布与轨道角动量模态之间的对应关系。在研究位相奇点光束传输时主要基于的理论有:广义惠更斯-菲涅尔原理、惠更斯-菲涅尔衍射积分公式和Rytov近似理论。得到主要结论包括以下几个方面:1、基于广义惠更斯-菲涅尔原理,理论推导得到了线刃型位错光束在湍流大气和自由空间传输中的光强表达式和交叉谱密度函数解析表达式,用以研究了线刃型位错光束的光强演化特性以及线刃型位错的演化规律。从光束的光场分布和线刃型位错的斜率两个方面讨论了线刃型位错光束的传输特性。研究结果表明:通过控制光场分布和线刃型位错的斜率可以调控线刃型位错在空间传输中的演化行为。由于控制条件的不同,线刃型位错在传输的过程中将会稳定传输,消失或者演化为一个光涡旋。线刃型位错光束在湍流大气传输中的光强最终演化为类高斯分布,而在自由空间中传输光束光强分布中始终存在一条光强值为零的线,同样可以通过控制光束参数来调控光强演化为类高斯分布的快慢和光强值为零的这一条线的斜率变化。2、提出了一种新型的位相奇点光束——圆刃型-线刃型位错光束,研究了该光束在湍流大气和自由空间中的传输特性。根据广义惠更斯-菲涅尔原理,给出了该光束在空间传输中的交叉谱密度函数解析表达式。研究了圆刃型位错和线刃型位错空间相对位置分布不同时,这两种位错的空间演化特性以及圆刃型-线刃型位错光束的光强演化特性。研究结果表明:两种位错的空间相对位置不同将会改变它们在空间传输中的演化行为,但是对圆刃型-线刃型位错光束在传输过程中光强最终演化结果的影响可以忽略。因此,可以通过控制这两种位错的空间位置分布来调控它们的演化过程。3、研究了混合位错光束在湍流大气中的传输特性,本文研究的混合位错是由一个光涡旋和一个线刃型位错组成,给出了在源平面光涡旋位相分布的不同对混合位错演化的影响。混合位错在湍流大气中传输,由于光涡旋位相分布的不同,随着传输距离的增加,混合位错光束携带的光涡旋和线刃型位错演化为的一个与其拓扑荷相反的光涡旋发生湮灭,而线刃型位错演化为的另一个与其拓扑荷相同的光涡旋稳定传输,或者混合位错光束中的线刃型位错在传输过程中演化为的一对光涡旋发生湮灭,而光涡旋稳定传输。因此,通过改变光涡旋的位相分布可以调控光涡旋和线刃型位错在空间传输过程中的作用情况。4、基于惠更斯-菲涅尔衍射积分公式和Rytov近似理论,理论推导得到嵌套有位相奇点的椭圆高斯光束在湍流大气传输中轨道角动量模态探测概率的解析表达式。当光涡旋嵌套在椭圆高斯光束中:光涡旋的位相分布是线性变化时,光束携带有单一的轨道角动量模态;光涡旋的位相分布是非线性变化时,光束携带的是多个轨道角动量模态。当斜率为零的线刃型位错嵌套在椭圆高斯光束中,光束携带有两个轨道角动量模态+1和-1,且二者的探测概率相等。在湍流大气传输中,湍流的扰动破坏波前位相分布,引起螺旋谱弥散,产生串音。
吴林霖,卢香竹[3]（2020）在《二阶常系数线性微分方程的解法》文中指出线性微分方程具有悠久的历史,并保持着发展潜力,主要原因是其扎根于各种实际问题。其中,二阶常系数线性微分方程在线性微分方程的研究中具有非常高的地位,其解决方案已较为完善,但面对不同问题时解决方案有所不同。本文探究了二阶常系数线性微分方程的求解方法。
汪庆康[4]（2019）在《浅谈线性微分方程的若干解法》文中认为文章介绍了线性微分方程的一些基本解法,针对不同类型的微分方程的解法,体现了常见微分方程的一般求解规律,从而寻找最优求解法.
孟勇[5]（2019）在《非线性偏微分方程几种解法的研究》文中研究说明非线性偏微分方程作为非线性科学的主要内容之一,是被用于描述客观世界随空间、时间变化而产生复杂的物理现象的数学模型。几十年来,通过相关研究者的努力,对于非线性偏微分方程的求解已经创造了如达布变换法、对称约化法、同伦摄动法等众多方法,本文将针对于其中几种求解方法进行拓展与延伸,使之通过该方法获得更多类型的新解。其具体包括如下几方面:第一章:对非线性偏微分方程研究背景与相应知识进行介绍。同时,对本文取得的研究成果进行简略说明。第二章:对函数展开法进行扩展,首先将解由原来的向正次幂展开对称延拓到负幂次项,然后将展开式中所有的自变量进行完全形式的分离,从而丰富了非线性偏微分方程的精确解。最后以（′/2）-展开法和（F/G）-展开法为例分别求解了（2+1）-维Broer-Kaup-Kupershmidt方程与（2+1）-维分数阶Nizhnik-Novikov-Veselov方程,并给出了它们的特殊孤子的结构激发解。第三章:使用Hirota双线性导数法先将广义（3+1）-维浅水波方程的Lump型孤子解与呼吸波解进行组合叠加,从而显示出Lump型孤子被扭结孤立波吞噬过程。然后再将（2+1）-维Sawada-Kotera方程的单孤子解和Lump型孤子解进行组合叠加,从而探究这两种类型解在相互作用过程中表现出来的碰撞、反弹、吸收、分裂等粒子性特征。此外,Lump型孤子在双条纹孤子的影响下,只在一瞬间出现,然后立即消失,于是Lump型孤子就变成了共振怪波。通过理论计算和数形结合的方法求得这种新型怪波的运动轨迹、存在时间、面积、体积等等特征量,以便对这种类型怪波有深入的了解。第四章:通过重正规化方法分别求解了分数阶Klein-Gordon方程在强弱非线性条件下的一级解析近似解。然后当无需特殊考虑非线性项参数大小的情况下,直接采用线化和校正方法求出方程的一级近似解,并对两种方法所得结果进行比较。第五章:总结与展望。
郭玉琼[6]（2018）在《基于化归思想的几种常微分方程解法研究》文中指出利用数学化归思想,能够为常微分方程提供更为简化的解题路径,是优化求解流程的有效措施。为了进一步分析其应用方向和方法,对齐次常微分方程和变系数线性方程的几种解法进行了深入探讨,以便为构建化归思想解题策略提供理论参考。
何尚凯[7]（2018）在《浅谈一阶线性微分方程的解法》文中研究表明本文主要讨论求解一阶线性微分方程积分因子法和常数变易法。
王爽,赵临龙[8]（2018）在《二阶线性非齐次常微分方程的几种解法讨论》文中认为对一道二阶线性非齐次常微分方程进行讨论,给出5种解法,并对二阶线性方程进行讨论,给出可解的形式。
赵楠,赵临龙[9]（2017）在《二阶变系数线性微分方程解法的应用》文中提出根据二阶变系数线性微分方程系数的特征,运用了几方法对方程进行了分析解答。
赵云[10]（2017）在《一类Volterra积分—微分方程的解析解研究》文中指出Volterra积分-微分方程频繁出现在生物学、物理学、工程等实际问题的数学建模中。由于该类数学模型带有未知核函数的积分项,可更好的反映系统的非局部及记忆反馈性质,相比传统的偏微分方程似乎更接近模拟实际问题。因此对Volterra型积分-微分方程的理论与解法研究为当今的一个热点课题。本文对一类带有广义Mittag-Leffler函数型、幂律函数型及指数因子型记忆核的Volterra型积分-微分方程的解析解展开研究:（1）在无界区域上分别讨论了带有三种记忆核的高维非齐次抛物型Volterra积分-微分（Parabolic Volterra Integro-Differential,PVI-D）方程的解析解。基于积分变换及特殊函数得到了包含广义Mittag-Leffler函数、Fox-H函数、积分算子以及积分形式的无穷级数解表达式。其次得到了带有幂律型记忆核的一维齐次PVI-D方程在初值为狄克拉-?函数下的解析解。最后对带有幂律型记忆核的齐次PVI-D方程的解析解进行数值模拟,模拟结果表明解析解在x（28）0处达到峰值,其图像呈Gaussian对称形态且具有Gaussian缓慢衰减分布特征。（2）在半无界区域上考虑了带有三种记忆核的一维非齐次PVI-D方程的解析解。基于Fourier-Sine变换、Laplace变换、Fourier-Cosine变换及Mittag-Leffler函数和Fox-H函数的性质得到了由广义Mittag-Leffler函数、Fox-H函数组成的无穷级数解与无限域边界条件下的解析形式相似。（3）研究了带有三种记忆核的一维、二维、三维非齐次PVI-D方程分别在有界限区间、圆域、球域上的解析解。基于分离变量、积分变换及特殊函数得到了由带有三角函数、积分算子、广义Mittag-Leffler函数、Bessel函数及Legendre函数的多重无穷级数解析表达式。最后对带有幂律型记忆核的二维齐次PVI-D方程在圆域上的解析解进行数值模拟,模拟结果表明解析图像呈帽状且具有缓慢耗散的特征,同时给出曲面等高线变化图可清楚看到能量耗散过程,等高线浓密与稀疏的分布决定能量耗散程度。（4）在无界、有界区域上分别考虑了一类带有三种时间记忆核的非齐次Fokker-Planck方程的解析解,基于分离变量法和积分变换得到了相应的解析表达式。
二、一阶非齐次线性微分方程的几种解法（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、一阶非齐次线性微分方程的几种解法（论文提纲范文）
（1）一类微分方程的解法探讨（论文提纲范文）
| 一、解法研究 |
| 二、讨论结果 |
| 三、进一步研究 |
（2）湍流大气和自由空间中位相奇点光束的传输特性研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 符号对照表 |
| 缩略语对照表 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 位相奇点光束的研究背景及意义 |
| 1.2 国内外研究现状 |
| 1.2.1 位相奇点的产生和演化以及位相奇点光束的光强特性研究 |
| 1.2.2 位相奇点光束的螺旋谱相关特性研究 |
| 1.3 论文结构及创新点 |
| 1.3.1 论文内容安排 |
| 1.3.2 论文主要创新点 |
| 第二章 湍流大气和自由空间中光束传输的理论基础 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 湍流大气的统计理论 |
| 2.2.1 大气折射率 |
| 2.2.2 湍流大气功率谱模型 |
| 2.3 湍流大气和自由空间中光传输理论 |
| 2.3.1 随机波动方程 |
| 2.3.2 随机波动方程的几种解法 |
| 2.4 光束在传输过程中的大气效应 |
| 2.4.1 波前畸变 |
| 2.4.2 螺旋谱弥散 |
| 2.5 结论 |
| 第三章 湍流大气和自由空间中线刃型位错光束的传输特性 |
| 3.1 线刃型位错在湍流大气和自由空间中的演化特性 |
| 3.1.1 引言 |
| 3.1.2 线刃型位错演化特性 |
| 3.2 线刃型位错光束在湍流大气和自由空间中的光强演化 |
| 3.2.1 引言 |
| 3.2.2 线刃型位错光束的光强演化 |
| 3.3 本章小结 |
| 第四章 湍流大气和自由空间中圆刃型-线刃型位错光束的传输特性 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 圆刃型-线刃型位错光束 |
| 4.3 圆刃型-线刃型位错光束在湍流大气和自由空间中的传输特性 |
| 4.3.1 线刃型位错通过圆刃型位错中心的情形 |
| 4.3.2 线刃型位错未通过圆刃型位错中心的情形 |
| 4.3.3 两种刃型位错同时传输与圆刃型位错独自传输比较研究 |
| 4.4 本章小结 |
| 第五章 线刃型-螺旋型混合位错在湍流大气传输中的演化特性 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 混合位错光束在湍流大气中的传输特性 |
| 5.2.1 无量纲参数a= ±2 时混合位错在湍流大气中的演化行为 |
| 5.2.2 无量纲参数a= ±0.1 时混合位错在湍流大气中的演化行为 |
| 5.3 结论 |
| 第六章 涡旋光束和线刃型位错光束在湍流大气传输中的螺旋谱特性 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 涡旋光束和线刃型位错光束的螺旋谱特性研究 |
| 6.2.1 非正则涡旋光束在湍流大气传输中的螺旋谱特性研究 |
| 6.2.2 线刃型位错光束在湍流大气传输中的螺旋谱特性研究 |
| 6.2.3 正则涡旋光束在湍流大气传输中的螺旋谱特性研究 |
| 6.3 轨道角动量模态的模式概率密度分布 |
| 6.4 本章小结 |
| 第七章 总结与展望 |
| 7.1 研究结论 |
| 7.2 研究展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 作者简介 |
（3）二阶常系数线性微分方程的解法（论文提纲范文）
| 1二阶常系数线性微分方程解的相关定理 |
| 1.1二阶常系数线性微分方程的概念 |
| 1.2二阶常系数齐次线性微分方程解的叠加性 |
| 1.3二阶常系数非齐次微分方程的解法 |
| 2二阶常系数线性微分方程的几种解法及应用 |
| 2.1二阶常系数齐次线性微分方程的解法 |
| 2.1.1特征根是两个实根的情形 |
| 2.1.2特征根有重根的情形 |
| 2.2二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 |
| 2.2.1类型1 |
| 2.2.2类型2 |
（4）浅谈线性微分方程的若干解法（论文提纲范文）
| 1 引言 |
| 2 一阶线性微分方程的解法 |
| 2.1 变量分离法 |
| 2.2 常数变易法 |
| 2.3 积分因子法 |
| 3 高阶线性微分方程的解法 |
| 3.1 线性微分方程的一般理论 |
| 3.2 常系数齐次线性微分方程的特征根法 |
| 3.2.1 特征根为单根 |
| 3.2.2 特征根为重根 |
| 3.3 常数变易法 |
| 3.4 常系数非齐次线性微分方程解法 |
| 3.4.1 比较系数法 |
| 3.4.2 拉普拉斯变换法 |
| 3.5 降阶法 |
| 3.5.1 方程不显含未知函数x, 即F (t, x′, x", …, x (n) ) =0的解法. |
| 3.5.2 方程不显含自变量t, 即F (x, x′, …, x (n) ) =0的解法. |
| 3.6 二阶线性微分方程的幂级数法 |
| 4 结论 |
（5）非线性偏微分方程几种解法的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 介绍研究背景与相关知识 |
| 1.2 本文的主要工作 |
| 1.3 本文的思路和创新 |
| 1.3.1 研究方法与思路 |
| 1.3.2 特色与创新 |
| 第二章 函数展开法 |
| 2.1 方法介绍 |
| 2.2 扩展的(G'/G~2)-展开法求解(2+1)-维BKK方程 |
| 2.3 推广的(F/G)-展开法求解(2+1)-维分数阶NNV方程 |
| 2.4 小结与讨论 |
| 第三章 双线性导数法 |
| 3.1 方法简介 |
| 3.2 广义(3+1)-维浅水波方程的相互作用解 |
| 3.2.1 方程的Lump解 |
| 3.2.2 方程的呼吸解 |
| 3.2.3 方程的相互作用解 |
| 3.3 (2+1)-维SK方程的相互作用解 |
| 3.3.1 方程的单孤子解 |
| 3.3.2 方程的Lump解 |
| 3.3.3 Lump孤子与单孤子的相互作用 |
| 3.3.4 共振怪波 |
| 3.4 本章小结 |
| 第四章 近似解析方法 |
| 4.1 重正规化方法 |
| 4.2 线化和校正方法 |
| 4.3 本章小结 |
| 第五章 总结与展望 |
| 5.1 全文总结 |
| 5.2 今后的相关工作 |
| 参考文献 |
| 在校研究成果 |
| 致谢 |
（6）基于化归思想的几种常微分方程解法研究（论文提纲范文）
| 一、常微分方程中的化归思想 |
| 二、齐次常微分方程解题过程中的化归思想 |
| (一) 变量分离与替换 |
| (二) 转化齐次方程路径 |
| 三、变系数线性方程解法中的数学化归思想 |
| (一) 一阶变系数简化方案 |
| (二) n阶变系数降阶简化模式 |
| 四、结语 |
（7）浅谈一阶线性微分方程的解法（论文提纲范文）
| 一、一阶线性微分方程的定义 |
| 二、一阶线性微分的解法 |
| (一) 积分因子法——将非齐次方程转化为全微分形式, 借助辅助函数实现微分转化。= |
（10）一类Volterra积分—微分方程的解析解研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 1 绪论 |
| 1.1 引言 |
| 1.1.1 研究背景及意义 |
| 1.1.2 国内外研究进展 |
| 1.2 预备知识 |
| 1.2.1 Mittag-Leffler（M-L）函数定义及性质 |
| 1.2.2 Fox-H函数的定义及性质 |
| 1.2.3 狄克拉-? 函数的定义及性质 |
| 1.2.4 Bessel函数及球函数正交性定理 |
| 1.3 文章的主要工作和章节安排 |
| 2 无界区域上高维PVI-D方程的解析解研究 |
| 2.1 带有M-L函数型记忆核的解 |
| 2.2 带有幂律函数型记忆核的解 |
| 2.3 带有指数因子型记忆核的解 |
| 2.4 数值模拟 |
| 2.5 本章小结 |
| 3 半无界区域上PVI-D方程的解析解研究 |
| 3.1 带有广义M-L型记忆核的解 |
| 3.2 带有幂律型记忆核的解 |
| 3.3 带有指数因子型记忆核的解 |
| 3.4 本章小结 |
| 4 有界区域上PVI-D方程的解析解研究 |
| 4.1 一维PVI-D方程在有界区间上的解析解 |
| 4.1.1 具有M-L型记忆核的解 |
| 4.1.2 具有幂律型记忆核的解 |
| 4.1.3 具有指数因子型记忆核的解 |
| 4.2 二维PVI-D方程在圆域上的解析解 |
| 4.2.1 具有广义M-L型记忆核的解 |
| 4.2.2 具有幂律型记忆核的解 |
| 4.2.3 具有指数因子型记忆核的解 |
| 4.3 三维PVI-D方程在球域上的解析解 |
| 4.3.1 带有广义M-L型记忆核的解 |
| 4.3.2 带有幂律型记忆核的解 |
| 4.3.3 带有指数因子型记忆核的解 |
| 4.4 数值模拟 |
| 4.5 本章小结 |
| 5 一类Fokker-Planck方程的解析解研究 |
| 5.1 有界区域上Fokker-Planck方程的解析解 |
| 5.1.1 具有广义M-L函数型记忆核的解 |
| 5.1.2 具有幂律函数型记忆核的解 |
| 5.1.3 具有指数因子型记忆核的解 |
| 5.2 无界区域上Fokker-Planck方程的解析解 |
| 5.2.1 具有广义M-L型记忆核的解 |
| 5.2.2 具有幂律型记忆核的解 |
| 5.2.3 具有指数因子型记忆核的解 |
| 5.3 本章小结 |
| 6 总结与展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 附录 |
四、一阶非齐次线性微分方程的几种解法（论文参考文献）
- [1]一类微分方程的解法探讨[J]. 李希,赵临龙. 数学学习与研究, 2021(18)
- [2]湍流大气和自由空间中位相奇点光束的传输特性研究[D]. 高鹏慧. 西安电子科技大学, 2020(02)
- [3]二阶常系数线性微分方程的解法[J]. 吴林霖,卢香竹. 理科爱好者(教育教学), 2020(05)
- [4]浅谈线性微分方程的若干解法[J]. 汪庆康. 赤峰学院学报(自然科学版), 2019(06)
- [5]非线性偏微分方程几种解法的研究[D]. 孟勇. 宁波大学, 2019(06)
- [6]基于化归思想的几种常微分方程解法研究[J]. 郭玉琼. 淮南职业技术学院学报, 2018(05)
- [7]浅谈一阶线性微分方程的解法[J]. 何尚凯. 高考, 2018(26)
- [8]二阶线性非齐次常微分方程的几种解法讨论[J]. 王爽,赵临龙. 民营科技, 2018(03)
- [9]二阶变系数线性微分方程解法的应用[J]. 赵楠,赵临龙. 民营科技, 2017(09)
- [10]一类Volterra积分—微分方程的解析解研究[D]. 赵云. 西安理工大学, 2017(02)