史明宇[1]2010年在《拟正则映射与A调和方程很弱解的若干性质》文中进行了进一步梳理拟正则映射是复变函数(或称解析函数,又称正则函数)的拓广,其在数学、物理和工程技术中有着比解析函数更广泛的应用.这里的拟正则映射就是单(或双)特征矩阵的Beltrami方程组的广义解.在本文第二章中从退化弱拟正则映射的定义出发,得到了其Caccioppoli型估计.由于Caccioppoli型不等式蕴含了弱逆Holder不等式,所以这个结果意味着自我提高的正则性结果.与传统方法不同的是,本文并没有应用Hodge分解等工具,而是利用Sobolev的逐点不等式以及Mcshane扩张定理等结果来进行推导,从而使得证明中的计算以及指数的估计等方面相对简化.与拟正则映射理论密切相关的A-调和方程divA(x,▽u(x))=0其经典弱解的许多性质已经被得到.而经典弱解的一个很自然的推广就是很弱解.A-调和方程很弱解的性质,尤其是正则性和存在唯一性理论在近些年开始引起人们的关注并得到广泛的研究.在本文第叁章中,我们得到了A-调和方程很弱解的比较原理,即在一定条件下,A-调和方程很弱解函数u1，u2如果在其定义域Ω的边界上满足u1≥u2的话,则几乎处处在区域Ω上就有u1≥u2成立.而且当很弱解函数的可积性指数r与弱解可积指数p相同时,即很弱解成为经典弱解的时候,这个结果与经典弱解的比较原理是一致的.同时,这个结果的一个直接推论就是极值原理.在本文第四章中,我们研究的是A-调和方程相关的单障碍问题的很弱解的性质.利用Sobolev逐点不等式构造出一个全局Lipschitz连续的函数,由它充当很弱解定义中的试验函数.从而利用经典的Mcshane扩张定理等结果,我们得到了单障碍问题很弱解的拟最小化性质,且这一结果与经典弱解的相关结果一致.进而我们还得到了很弱解的A-调和方程高阶可积性结果.在讨论齐次单障碍问题很弱解的同时,也给出了与非齐次A-调和方程divA(x,▽u(x))=divF(x)相关的单障碍问题很弱解的拟最小化性质及高阶可积性结果.在本文第五章中,我们研究了双障碍问题的很弱解的性质.利用Sobolev逐点不等式以及经典的Mcshane扩张定理等结果,我们得到了双障碍问题很弱解的拟最小化性质,并进而得到了双障碍问题很弱解的正则性结果.同时,我们也讨论了非齐次双障碍问题的很弱解的相关性质,包括其拟最小化性质以及正则性结果.最后,我们讨论了单障碍问题和双障碍问题的关系,并得到了双障碍问题很弱解的一个收敛的性质.
高红亚[2]2000年在《拟正则映射与相关问题研究》文中指出拟正则映射是复变函数(或称解析函数,又称正则函数)的拓广,它们在数学、物理和工程技术中有比解析函数更广泛的应用([Bek][Fa4]等)。这里的拟正则映射就是单特征矩阵G (x)的Beltrami方程组 D t f( x)Df(x)= Jf2 n(x)G(x) (I) 或双特征矩阵G ( x),H(x)的Beltrami 方程组 D t f( x)H(x)Df(x)= Jf2 n(x)G(x) (II) 的广义解。我们知道,当n =2时,方程组(I)(II)分别等价于具有特征μ(z)的Beltrami 方程 w z = μ(z)wz, μ( z)≤k1 <1 (III) 和双特征μ1 (z)与μ2 (z)的Beltrami 方程 w z = μ1 ( z)wz+μ2(z)wz, μ1 ( z )+ μ2(z)≤k2<1 (IV) 由于方程(III)(IV)是线性的,在五、六十年代,平面拟正则映射及其拓广—广义解析函数理论得到了蓬勃发展,而且不断在微分几何、偏微分方程和力学(例如薄壳理论等)中取得广泛的应用。空间拟正则映射从六、七十年代开始也在逐步发展。但由于其强非线性所带来的困难,长期以来进展缓慢。自从1989 年S.K.Donalson 和D.P.Sullivan“拟共形4 维流形”[DS ]的工作以来,拟正则映射理论取得了突破性进展。T.Iwaniec 和G.Martin[IMar1]应用[DS]的思想方法,研究了偶数维的单
王婷婷[3]2011年在《非齐次A调和方程双障碍问题的若干研究》文中研究表明偏微分方程是一个涉及范围非常广泛的课题，它在现实生活中有着非常重要的应用，物理学和动力学中的许多问题部可以归结为偏微分方程问题。在偏微分方程的理论研究中，A-调和方程的研究是非常重要的，它在位势理论、弹性理论、拟共形分析及物理学等领域部有着相当广泛的应用。A-调和方程的障碍问题在现实生活中也有着广泛而又深刻的应用，在实际问题的应用中，许多物理问题部可归结为障碍变分不等式及其相关的最优控制问题。本文我们对非齐次A-调和方程所对应的双障碍问题进行了研究。作为单障碍问题的推广，我们处理方法既有相似又有所不同。本文主要研究了两种障碍问题，一种是非齐次A-调和方程的(?)-障碍问题，另一种是非齐次A-调和方程的(?)-障碍问题。对于(?)-障碍问题，文章给出了其解的定义，并充分利用相关方程算子的性质，通过选取适当的检验函数，结合Holder不等式、Poincare不等式等基本不等式，得到了关于(?)-障碍问题解的两个结论。首先是非齐次A-调和方程(?)障碍问题解的高阶可积性，所谓的高阶是指我们所得到的关于解的高阶可积性的可积指数高于与方程本身相关的自然指数p；其次是在此基础上建立的解关于变积分指数p的收敛性。对于(?)-障碍问题，在文章中首先我们将非齐次A-调和方程(?)-障碍问题的(弱)解的概念推广到了(?)-障碍问题很弱解，作为障碍问题解的推广，我们得到了(?)-障碍问题的很弱解保持在(?)-中r-Dirichlet的拟极小值点的性质并结合Hodge分解定理证得了其关于障碍函数的收敛性。
汤志珍[4]2013年在《非齐次A-调和方程推广的若干性质》文中指出A调和方程属于非线性椭圆偏微分方程,近年来受到很多学者的研究,在很多方面推广出新的结果,这些结果被广泛地应用在自然科学与工程中,同时它们在一定程度上推动了A调和方程解的定性与定量研究的进展.本文首先研究了A调和方程d*A(x, a+du)=B(x, u, du)的解的Cacdoppoli估计,它是方程d*A(x, du) B(x,du)的一个推广,其次研究了它的一些性质并给出了相应的证明.然后又研究了A调和方程divA(x,▽u)=B(x, u,▽u)的一些正则性,例如它的解Cacdoppoli估计、弱逆Holder不等式；作为一个应用,本文还研究了AΓλ3(λ1,λ2,Ω)权的弱逆Holder不等式.
赵雪微[5]2012年在《微分形式在若干算子作用下的经典不等式的研究》文中研究指明微分形式的研究成果主要应用于偏微分方程、微分几何、代数拓扑、数学物理和物理的广义相对论等诸多领域。作为非线性椭圆偏微分方程的重要一类——A调和方程，特别是有关微分形式的调和方程的研究结果在自然科学和工程技术等方面有着重要的理论意义和应用价值。本文主要是建立满足非齐次调和方程解的张量在几类算子作用下的范数估计式和几类复合算子作用下的Poincaré不等式。文中首先给出了微分形式、调和方程、非齐次调和方程等的概念和相关性质。简单地介绍相关算子，包括同伦算子T、投影算子H、Green算子G、外微分算子d、Laplace-Beltrami算子的定义及相关的理论成果。第二部分是运用Orlicz空间的定义及性质来建立H算子作用下的对于L~p （logL）~α空间上的局部Poincaré不等式，又进一步地讨论了在域L~p （logL）~α(B)内调和张量通过算子作用的Poincaré不等式的加A_1(Ω)单权情形。第叁部分主要是结合算子及复合算子的性质给出复合算子G οd οT和Hο dο T作用于非齐次调和张量的范数估计不等式，然后给出了两种复合算子和作用下的范数估计式的局部加权形式。最后一部分，证明了调和张量在Sharp极大算子M_s~(?)、Green算子G和同伦算子T复合后的有界凸域上的Poincaré不等式，同样建立了复合算子M_s~(?)οGο T作用下的有界凸域上的A_1(Ω)单权的Poincaré不等式，最后，将在全局情形下讨论加权Poincaré不等式。
许金兰[6]2014年在《等几何分析中的若干问题研究》文中研究说明有限元分析技术在土木工程和飞机结构上的成功尝试,使其一经提出便吸引了众多人的眼球。随着科技的迅速发展,有限元的理论和应用也在不断成熟,适应着各个领域发展的需求。但随着几何模型变得越来越复杂,有限元分析预处理阶段的网格划分所需时间越来越长,成为制约有限元分析应用和发展的瓶颈。这促使人们寻求一种新的方法来解决这一关键问题。2005年,Hughes等人提出了等几何分析的概念,通过将CAE分析的几何模型与CAD处理的几何模型相统一,希望能使CAD和CAE达到无缝融合。本文就是在这种背景下,对等几何分析的相关问题进行了研究。第二章介绍几种可局部加细的样条,并给出等几何分析的框架,随后把PHT样条用于求解高阶偏微分方程,将利用样条的高阶连续性直接求解和混合有限元方法求解进行了比较。样条函数的光滑性不仅对求解高阶偏微分方程带来了很大的便利,而且得到了相比于混合有限元方法更优的收敛阶。最后对于不同样条得到的刚度矩阵的条件数进行了比较,包括B样条、层次B样条、AST样条、PHT样条。几种可局部加细的样条在有限元分析中的表现不尽相同,对应得到的刚度矩阵条件数相差很大。由此也体现出了PHT样条存在的一些问题,促使我们进一步改进PHT样条。PHT样条基函数在某些剖分下会出现基函数的衰减,本文第叁章对此现象进行了分析,并提出了新的基函数构造方法。将修正后的基函数用于曲面逼近和有限元分析求解二阶椭圆方程中,有效地改进了原PHT样条基函数出现的问题。同时,新构造的基函数能够更好地用于等几何分析,对应的刚度矩阵的条件数比原PHT样条基函数减小了很多。等几何分析建立在几何区域的样条表示上,虽然避免了传统有限元分析的网格化过程,但等几何分析面临的另一个关键问题就是几何区域的参数化。本文第四章针对等几何分析中区域的参数化问题进行了探索。不同于之前对整个几何区域的单片样条参数化方法,我们将参数化建立在区域剖分的基础上。对区域进行剖分不仅将复杂的几何区域剖分成简单的子区域,便于参数化,而且在等几何方法求解椭圆偏微分方程上的应用也表明了基于剖分的参数化在区域复杂时优于单片的样条参数化。但这种基于剖分的参数化还有更大的改进空间,我们在最后一章给出了未来工作的展望。
高红亚, 陈银珠[7]2002年在《A-调和方程弱解的逆Hlder不等式及其应用》文中研究表明本文给出A 调和方程弱解的逆H lder不等式及其若干应用 .
文海玉[8]2014年在《几类空间上的微分形式的研究》文中研究指明微分形式作为函数更一般意义的推广,近几年己成为在许多数学分支研究中的有力工具,例如在偏微分方程、微分几何、代数拓扑及数学物理中都可以找到微分形式的应用.而对于应用在自然科学及工程技术应用领域中的微分系统,例如在拟共形映射、量子场论、弹性理论及非线性位势理论等分支领域中,在为其系统解的定性与定量分析中A-调和方程理论提供了行之有效的理论工具.特别是在拟共形映射的研究中,发现其坐标函数在高维情形下,就是关于微分形式的A-调和方程的解.所以,对微分形式的A-调和方程的研究受到许多数学工作者的广泛探讨,并在近些年发展非常迅速,受到数学及工程领域越来越多的关注.本文的主要目的是在几类空间上研究微分形式及几类非齐次A-调和方程的解的性质.我们分别在不同权函数对应的不同测度的Banach空间Lp(Ω,Λl,μ),有界平均振动BMO空间,局部Lipschitz空间,满足的φp条件的Orlicz空间Lφ(Ω,Λl)上建立了若干微分形式及A-调和张量的加权积分不等式.同时讨论了一些重要算子,如同伦算子T、Green算子G、投影算子H、Laplace-Beltrami算子△及复合算子的嵌入性及有界性.而且所有结果均在局部和全局范围内进行了讨论.本文的主要研究工作介绍如下：1.对几类双权函数进行了研究.介绍了Lp(Ω)空间上的Ar,λ(Ω)权、Arλ(Ω)权、Ar(λ,Ω)权和Λrλ3(λ1,A2,Ω)权的定义,在Iwaniec,Nolder和Ding的研究基础上,将关于微分形式的非齐次共轭A-调和方程A(x,g+du)=h+d*u的重要结论推广到不同双权领域,同时建立了关于复合算子Tο△οG加双权的局部Poincare不等式,并将局部结果分别在有界凸域和Ls-平均域上进行了全局性的推广2.定义了Orlicz空间上的A(φ1(x),φ2(x),τ,Ω2)权,通过选取不同的Young函数φ1,φ2及参数τ,使己存在的Lp(Ω)空间上的许多双权函数成为A(φ1(x),φ2(x),τ,Ω)权的特例,从而使权函数的形式更一般化,适用范围更广泛.作为权函数的应用,建立了关于非齐次A-调和方程d*A(x,dω)=B(x,dω)解的双权Poincare不等式,Caccioppoli不等式及弱逆Holder不等式.同时论证了复合算子ToH的加Orlicz双权的Sobolev-Poincare嵌入定理,并将局部结果推广到全局区域紧的Riemann流形上3.函数的有界平均振动BMO空间及Lipschitz空间己存在很好的结果,本文将研究微分形式的BMO空间及局部Lipschitz空间.首先,研究了关于方程d*A(x,dω)=B(x,dω)的解的性质,给出了若干关于解在BMO范数及Lipschitz范数下的结论,如建立了关于方程d*A(x,dω)=B(x,dω)的A-调和张量在BMO范数及Lipschitz范数下的加权Poincare不等式；给出了在BMO范数及Lipschitz范数下关于方程d*A(x,dω)=B(x,dω)的解的等价形式.其次,推广了共轭A-调和张量的加权的Hardy-Littlewood不等式的形式,得到了关于方程A(x,du)=d*u的共轭A-调和张量的不同形式的在Lp范数、BMO范数及Lipschitz范数下的加权Hardy-Littlewood不等式.4.我们知道Orlicz空间理论是研究偏微分方程的重要工具,本文将微分形式的Lp-范数估计推广到一类Orlicz空间上的的范数估计.结合一类满足φp条件的Young函数,定义了一类关于微分形式的满足φp条件的Orlicz空间Lφ(Ω,Λl,并在此空间上讨论了微分形式及A-调和张量的性质.首先,在微分形式的的Orlicz空间Lφ((Ω,Λl)上通过Orlicz最大算子的有界性讨论了同伦算子T的有界性,同时在局部区域建立了关于方程d*A(x,dω)=B(x,dω)的A-调和张量的Poincare不等式,Caccioppoli不等式及弱逆Holder-型不等式,而后在Lφ(Ω)平均域上进行了全局区域的Orlicz范数估计.其次,还讨论了一类满足φp条件的Orlicz范数下的双权,通过定义作用在微分形式上的C-Z奇异型积分算子P,给出算子P在加此类双权下的强(p,p)型不等式.最后,给出满足φp条件的两个Young函数的例子.
毕卉[9]2011年在《作用在微分形式上的算子范数不等式及其应用》文中指出微分形式作为研究当代数学的一个有力工具出现在偏微分方程、代数拓扑、微分几何等许多领域中.同时,微分形式的出现也为数学物理,包括量子场论、基本粒子物理等学科的研究方法带来了革命性的变化.特别是近十几年来,将微分形式看做函数的推广,利用偏微分方程的研究手段对一类用算子表示的A-调和方程的研究进展迅速.关于微分形式的A-调和方程中的算子A是满足一定结构条件的映射,一些熟悉的偏微分方程,诸如p-调和方程等都可以看作是A-调和方程的特例,因此具有极大的研究价值.然而,对其相应的算子理论的研究却才刚刚起步.本文主要研究在加权的Lp空间和Orlicz空间中微分形式在同伦算子T、Green算子G、位势算子P、以及同伦算子与投影算子的复合算子T - H作用下的可积性问题,同时对A-调和方程的解给出了在这些算子作用下的加权积分不等式.本文的主要工作如下:首先,在R. P. Agarwal和S. Ding等人研究工作的基础上,证明了在Lp(log L)α-空间中Green算子的局部Poincare′型不等式,进而在更一般的测度空间上,对非齐次A-调和方程的解给出了关于Green算子的带参数的局部加权不等式,并进一步将这一结果发展到了Lφ(μ)-域上,得到了Green算子的全局加权Lp(logL)α-范数估计.其次,在一类更广泛的测度空间中,对复合算子T - H建立了有界凸区域上的加权范数对比不等式,并对一类属于函数类G(p,q,C)的Young函数,建立了在复合算子作用下的加权局部Orlicz范数不等式及Lφ(μ)-平均域上的全局不等式.最后构造了几个属于函数类G(p,q,C)的Young函数,进而对A-调和方程的解给出了一些具体的估计.然后,考虑到同伦算子T在对微分形式的Lp理论的研究中所起到的关键作用,本文首先证明了关于同伦算子的加Ar权的局部Lp范数不等式,进而将这一不等式发展到了全局,对n < p <∞的情况证明了同伦算子在加权Lp空间的有界性.接着建立了关于同伦算子的强(p,q)型不等式以及加幂型权的强(p, q)型不等式.同时作为应用,对一些具体的微分形式在同伦算子作用下的可积性问题进行了讨论.最后,将位势算子的定义推广到了微分形式上,对一类满足特殊条件的核函数,建立了关于位势算子的弱(p, p)型双权不等式.同时,利用位势算子对函数的强(p, p)型估计,证明了位势算子作用于微分形式的加Ar,λ双权的强(p, p)型不等式及其参数形式和全局形式.并且作为应用,对特殊的核函数给出了位势算子在全局上的范数估计.
李裕莲[10]2011年在《角形域上Neumann边值问题小波自然边界元法研究》文中提出小波自然边界元法是近几年发展起来的一种新型用于求解偏微分方程的数值计算方法。目前关于它的研究结果还相对较少，但这种方法从一开始就展现了它独特的优点和强劲的生命力。论文主要是研究小波基函数在自然边界元方法中，应用于求角形区域上调和方程Neumann边值问题的数值解。目的是解决自然边界元方法中，计算奇异积分时存在的困难，从而减小计算量，提高计算精度。其基本思想是首先引入保角映射得到角形区域上的自然积分方程，将微分方程经过自然边界归化得到与之等价的变分问题，再利用Galerkin-wavelet方法或小波插值法将其离散，得到具有独特优点的刚度矩阵，这样就能大大减小计算量。同时对数值解的误差估计作了进一步的分析。给出的算例表明了各种小波自然边界元方法的可行性和有效性。首先，综述了边界元方法的发展历史、研究现状，然后对边界归化方法、小波分析及保角映射的基本理论进行了概述，并分析了该课题的研究意义。同时介绍了调和方程在典型域上通过自然边界归化所得的自然边界积分方程和Poisson积分公式，以及一般单连通区域上的自然边界归化及其对角形域，扇形域与矩形域的应用。其次，论文针对角形域上调和方程的Neumann边值问题在求解过程中遇到的强奇异积分的困难，论文充分利用Shannon小波在频域上有限带宽的优良性质，采用Shannon小波边界元方法求解，使问题简化且得到的数值解比较精确。同时论文又充分利用了拟小波基在时域中光滑性高、快速衰减且具有插值性的特点，使其与自然边界元方法相结合，再引入了保角映射，有效解决了角形域上调和方程边值问题时存在的奇异积分困难。最后，论文采用Hermite叁次样条多小波边界元方法对角形域上调和方程的Neumann边值问题做了进一步的探讨，并通过算例验证了该方法的有效性。
参考文献：
[1]. 拟正则映射与A调和方程很弱解的若干性质[D]. 史明宇. 湖南大学. 2010
[2]. 拟正则映射与相关问题研究[D]. 高红亚. 上海交通大学. 2000
[3]. 非齐次A调和方程双障碍问题的若干研究[D]. 王婷婷. 哈尔滨工业大学. 2011
[4]. 非齐次A-调和方程推广的若干性质[D]. 汤志珍. 江西师范大学. 2013
[5]. 微分形式在若干算子作用下的经典不等式的研究[D]. 赵雪微. 哈尔滨工业大学. 2012
[6]. 等几何分析中的若干问题研究[D]. 许金兰. 中国科学技术大学. 2014
[7]. A-调和方程弱解的逆Hlder不等式及其应用[J]. 高红亚, 陈银珠. 应用数学. 2002
[8]. 几类空间上的微分形式的研究[D]. 文海玉. 哈尔滨工业大学. 2014
[9]. 作用在微分形式上的算子范数不等式及其应用[D]. 毕卉. 哈尔滨工业大学. 2011
[10]. 角形域上Neumann边值问题小波自然边界元法研究[D]. 李裕莲. 燕山大学. 2011
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