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总体最小二乘问题及相关理论研究

2020-12-02阅读(396)

总体最小二乘问题及相关理论研究

论文摘要

本文给出了在Gene-Golub条件下求解总体最小二乘问题（TLS）的Lanczos双对角化过程的收敛性分析,在Saad给出的结果基础上,建立了Lanczos方法收敛性的新理论误差界.通过考虑该过程产生的近似系统与TLS问题原系统之间的误差,分析了如何有效地给出该算法的停止准则.针对核问题的极小化性质,我们采用Lanczos双对角化算法来解决病态的TLS问题,并估计截断的总体最小二乘问题（TTLS）解与投影的TLS解之间的误差.我们发现尺度总最小二乘（STLS）问题的扩展极小向后误差和真实的极小向后误差与其核心问题的的扩展极小向后误差和真实的极小向后误差相等.对于扩展极小向后误差的渐近估计情况也是如此.由于核问题规模较小,这样可以有效地减少向后误差的计算量.我们还通过Lanczos的双对角化过程对STLS问题的向后误差进行了实用而经济的估计,给出了如何利用我们的结果来方便地得到最小二乘（LS）和数据最小二乘（DLS）问题的相应结果.并提出了求解STLS问题的实用停止准则.在许多线性参数估计问题中,可以采用混合最小二乘-总体最小二乘法（MTLS）求解.本文给出了MTLS问题的扰动分析,这在之前还没有被系统地考虑过.先给出了MTLS问题的范数型、混合型和分量型条件数,发现TLS问题和LS问题的范数型、混合型和分量型条件数统一于MTLS问题的范数型、混合型和分量型条件数.在一阶扰动分析中,我们给出了基于范数型条件数的上界.为了克服范数型条件数计算中遇到的问题,给出了一个更有效地计算MTLS问题的相对误差的上界.作为求解线性参数估计问题的两种估计方法,比较了MTLS问题和LS问题的解和残量之间的有趣联系.在科学计算和工程的许多应用中,人们必须解多右端的大型稀疏线性方程组.通常,我们使用残差作为停止条件,但小残差并不意味着精确的近似解.因此,在这种情况下,考虑极小化扰动误差可能更为充分.基于上述考虑,结合TLS问题求解极小扰动和对应的解这一思想我们提出了块极小联合向后扰动算法（BMinPet）.结合迭代每一步要求极小化矩阵（A,B）的扰动矩阵范数,给出了多右端系统的停止准则.这一算法是Kasenally和Simoncini（1997）对非对称线性系统极小扰动算法（Minpert）的推广.从计算量的角度出发,给出了便于计算的块极小联合向后扰动范数的上下界.作为一个副产品,我们提出了广义的对称规度函数ψΦ（F,G）.还研究了BMinPet方法与相关方法的关系.数值算例表明,与BFGMRES-S（m,pf）,GsGMRES,Bl-BiCG-rQ,BGMRES和BArnoldi相比,BMinPet在解决大型稀疏病态问题方面具有优势.

论文目录

  • 中文摘要
  • 英文摘要
  • 符号表
  • 第一章 绪论
  •   1.1 总体最小二乘问题的背景及研究进展情况
  •   1.2 本文的研究内容、研究方法与创新点
  •   1.3 本文结构安排
  • 第二章 总体最小二乘问题的Lanczos双对角化算法分析
  •   2.1 投影的TLS问题
  •   2.2 收敛性
  •   2.3 终止准则
  •   2.4 估计TTLS解的误差界
  •   2.5 数值例子
  •   2.6 本章小结
  • 第三章 尺度总体最小二乘问题向后误差估计
  •   3.1 尺度总体最小二乘问题和对应的核问题的向后误差
  •     3.1.1 扩展的极小向后误差
  •     3.1.2 渐进估计
  •   3.2 Lanczos双对角化和核问题
  • κ,γ,θ）'>  3.3 估计η（χκ,γ,θ）
  • κ,γ,θ）的实际的界'>    3.3.1 关于η（χκ,γ,θ）的实际的界
  • κ,γ,θ）的渐进估计'>    3.3.2 η（χκ,γ,θ）的渐进估计
  •   3.4 LS and DLS问题的极小向后误差估计
  • κ'>  3.5 有效地估计终止准则ζκ
  •   3.6 数值例子
  •   3.7 本章小结
  • 第四章 混合最小二乘-总体最小二乘问题的扰动分析
  •   4.1 QR-SVD算法和加权方法
  •   4.2 MTLS问题的条件数
  •     4.2.1 范数型条件数
  •     4.2.2 混合和分量型的条件数
  •   4.3 MTLS解的扰动分析
  •   4.4 MTLS解和LS解之间的关系
  •   4.5 数值例子
  •   4.6 本章小结
  • 第五章 基于块Arnoldi算法的非对称多右端线性系统的块极小扰动算法
  •   5.1 BMinPert算法和相关结果
  •     5.1.1 参数化和算法的准备工作
  •     5.1.2 BMinPert算法
  • χm的最小元的上下界'>    5.1.3 Ωχm的最小元的上下界
  • Φ（F,G）函数'>    5.1.4 ψΦ（F,G）函数
  •   5.2 BMinPert算法的理论方面
  •     5.2.1 BMinPert算法崩溃分析
  •     5.2.2 BMinPert解的分析
  •     5.2.3 终止准则
  •   5.3 进一步思考
  •     5.3.1 关于逼近解的进一步思考
  •     5.3.2 实际的执行
  •   5.4 数值例子
  •   5.5 本章小结
  • 第六章 总结与展望
  •   6.1 总结
  •   6.2 展望及未来工作
  • 参考文献
  • 在学期间的研究成果
  • 致谢

    • 文章来源

    类型: 博士论文

    作者: 杨占山

    导师: 郑兵

    关键词: 尺度总体最小二乘问题,核问题,子空间,双对角化,向后误差,块方法,非对称线性系统,病态问题,正则化,混合最小二乘总最小二乘,加权总最小二乘,条件数,扰动分析,扰动界

    来源: 兰州大学

    年度: 2019

    分类: 基础科学

    专业: 数学

    单位: 兰州大学

    分类号: O241.5

    总页数: 137

    文件大小: 2954K

    下载量: 172

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